Площадь сегмента круга: формула через угол и радиус

Сегмент круга - это часть круга, отсечённая хордой: «шапочка» между прямой хордой и дугой окружности. На первый взгляд формула для его площади выглядит громоздко, но она собирается из двух простых фигур, которые вы уже умеете считать: кругового сектора и треугольника. Ниже разберём, откуда берётся формула площади сегмента круга, как применять её, когда угол задан в градусах и когда в радианах, как найти площадь, если известны только хорда и высота, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как площадь зависит от радиуса и угла, покрутите калькулятор ниже: он рисует сам сегмент и пересчитывает площадь, длину хорды и высоту, а затем мы выведем каждую формулу строго.

Что такое сегмент и чем он отличается от сектора

Важно сразу не путать три похожих фигуры. Сектор - это «кусок пиццы»: область, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Сегмент - это область, ограниченная хордой и дугой, то есть сектор без вписанного в него треугольника. Сама хорда - это отрезок, соединяющий концы дуги. Если провести два радиуса к концам хорды, сектор разобьётся ровно на две части: равнобедренный треугольник у центра и сегмент у дуги.

Рассчитать для своей задачи

Отсюда сразу видна стратегия: площадь сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника. Остаётся записать обе площади через радиус и угол.

Формула площади сегмента через центральный угол

Обозначим радиус круга $R$, а центральный угол, опирающийся на хорду, $\theta$ (в радианах). Площадь сектора с таким углом равна

$S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \theta.$

Площадь равнобедренного треугольника с двумя сторонами $R$ и углом $\theta$ между ними находится по формуле «половина произведения сторон на синус угла»:

$S_{треуг} = \frac{1}{2} R^2 \sin\theta.$

Вычитая одно из другого, получаем главную формулу площади сегмента круга:

$S = \frac{1}{2} R^2 \left( \theta - \sin\theta \right).$

Это и есть рабочая формула: угол $\theta$ обязательно в радианах. Например, при $R = 5$ и $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ (то есть угол $90$ градусов) сектор даёт $19{,}635$, треугольник - $12{,}5$, а их разность $S \approx 7{,}14$. Именно это значение показывает калькулятор по умолчанию.

Рассчитать для своей задачи

Когда угол задан в градусах

Если центральный угол дан в градусах ($\alpha$), его нужно перевести в радианы перед подстановкой, иначе результат будет бессмысленным. Перевод простой:

$\theta = \frac{\pi \alpha}{180}.$

Подставив это в основную формулу, получаем «градусную» запись:

$S = \frac{1}{2} R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{180} - \sin\alpha \right).$

Здесь есть тонкость, на которой спотыкаются чаще всего: в первом слагаемом угол переводится в радианы, а синус во втором слагаемом берётся от исходного угла в градусах (или, что то же самое, от того же $\theta$ в радианах - синус не зависит от единиц, важно лишь правильно настроить калькулятор). Проще держать всё в радианах: один раз перевели и подставили в $S = \tfrac{1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)$.

Как найти площадь по хорде и высоте

В задачах радиус и угол даны не всегда. Часто известны длина хорды $c$ и высота сегмента $h$ - расстояние от середины хорды до дуги (её ещё называют стрелкой прогиба). Эти величины связаны с радиусом и углом так:

$c = 2R \sin\frac{\theta}{2}, \qquad h = R\left(1 - \cos\frac{\theta}{2}\right).$

Из них радиус восстанавливается по формуле

$R = \frac{c^2}{8h} + \frac{h}{2},$

после чего находят центральный угол через $\cos\tfrac{\theta}{2} = 1 - \tfrac{h}{R}$ и применяют основную формулу. Для приближённых расчётов при малой высоте часто пользуются простой оценкой площади сегмента $S \approx \tfrac{2}{3} c\,h$, но это лишь приближение для пологих сегментов, а не точная формула.

Рассчитать для своей задачи

Полукруг и почти полный круг как проверка

Удобный способ не ошибиться в формуле - проверить её на крайних случаях. При $\theta = \pi$ (угол $180$ градусов) хорда становится диаметром, и сегмент превращается в полукруг. Подставляем: $\sin\pi = 0$, поэтому $S = \tfrac{1}{2}R^2 \pi = \tfrac{\pi R^2}{2}$, что в точности равно половине площади круга. При $\theta \to 2\pi$ (угол стремится к $360$ градусов) сегмент охватывает почти весь круг, и формула даёт $S \to \pi R^2$. Если ваша формула не проходит эти две проверки, в ней закралась ошибка.

Частые ошибки

• Угол в градусах подставляют прямо в формулу $\tfrac{1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)$, не переведя в радианы. Первое слагаемое сразу становится в десятки раз больше нужного.
• Путают сегмент и сектор. Если в условии «кусок пиццы» с двумя радиусами - это сектор, его площадь $\tfrac{1}{2}R^2\theta$ без вычитания треугольника.
• Берут малый сегмент вместо большого (или наоборот). Хорда делит круг на два сегмента; угол $\theta$ и угол $2\pi - \theta$ дают разные площади, их сумма равна площади всего круга.
• Считают высоту сегмента равной радиусу. Высота $h = R(1 - \cos\tfrac{\theta}{2})$ всегда меньше радиуса, кроме случая полукруга, где $h = R$.
• Забывают про знак при тупом угле. Формула работает для любого $\theta$ от $0$ до $2\pi$, синус сам становится отрицательным при $\theta > \pi$ и корректно увеличивает площадь.

FAQ

Чем площадь сегмента отличается от площади сектора? Сектор ограничен двумя радиусами и дугой, его площадь $\tfrac{1}{2}R^2\theta$. Сегмент ограничен хордой и дугой, это сектор без вписанного треугольника, поэтому из площади сектора вычитают $\tfrac{1}{2}R^2\sin\theta$.

Как найти площадь сегмента, если известны только хорда и высота? Сначала восстановите радиус по формуле $R = \tfrac{c^2}{8h} + \tfrac{h}{2}$, затем найдите угол через $\cos\tfrac{\theta}{2} = 1 - \tfrac{h}{R}$ и подставьте в основную формулу. Для пологого сегмента подойдёт приближение $S \approx \tfrac{2}{3}ch$.

В каких единицах должен быть угол в формуле? Только в радианах. Если угол дан в градусах, переведите его: $\theta = \tfrac{\pi\alpha}{180}$. Это самая частая причина неправильного ответа.

Коротко

Площадь сегмента круга равна площади сектора минус площадь вписанного треугольника, то есть $S = \tfrac{1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)$, где центральный угол $\theta$ берётся в радианах. Если угол задан в градусах, его переводят формулой $\theta = \tfrac{\pi\alpha}{180}$. Когда известны хорда и высота, сначала находят радиус, потом угол, потом площадь. Проверяйте формулу на полукруге ($\theta = \pi$) - она должна давать ровно половину площади круга.