Уравнение синус-Гордона: солитоны, кинки и бризеры

Уравнение синус-Гордона $\phi_{tt} - \phi_{xx} + \sin\phi = 0$ - одно из самых наглядных нелинейных уравнений математической физики: у него есть точные решения-солитоны, которые не расплываются со временем, переносят целочисленный «топологический заряд» и при столкновениях проходят друг сквозь друга, лишь сдвигаясь по фазе. Ниже разберём, откуда берётся кинк, почему он устойчив, как считается его энергия и чем от него отличается дышащий бризер. Калькулятор ниже строит профиль поля и сразу показывает лоренц-сжатие и массу солитона - можно покрутить скорость и частоту, прежде чем читать вывод.

Что такое уравнение синус-Гордона

В безразмерных переменных уравнение записывается компактно:

$$\phi_{tt} - \phi_{xx} + \sin\phi = 0.$$

Это волновое уравнение с нелинейным «возвращающим» членом $\sin\phi$. Физически оно описывает цепочку маятников на упругой нити: $\phi(x,t)$ - угол отклонения маятника в точке $x$, член $\phi_{xx}$ отвечает за упругую связь соседей, а $\sin\phi$ - за силу тяжести. Та же модель встречается в длинных джозефсоновских контактах, дислокациях в кристаллах и в моделях поля в теории элементарных частиц.

Название - игра слов: линейное уравнение $\phi_{tt} - \phi_{xx} + \phi = 0$ называется уравнением Клейна-Гордона, а замена $\phi \to \sin\phi$ делает его нелинейным, отсюда «sine-Gordon». Линейный родственник подробно разобран в заметке про уравнение Клейна-Гордона: у него нет солитонов, и именно нелинейность $\sin\phi$ рождает локализованные устойчивые волны.

Кинк - топологический солитон

Главное решение - кинк. Ищем бегущую волну $\phi(x,t) = \phi(\xi)$, где $\xi = \gamma(x - vt)$, и получаем явную формулу:

$$\phi(x,t) = 4\,\mathrm{arctg}\,\exp\!\big(\gamma(x - vt)\big), \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}.$$

Поле плавно поднимается от $0$ при $x \to -\infty$ до $2\pi$ при $x \to +\infty$ - это «ступенька» высотой ровно $2\pi$. В картинке с маятниками кинк - это область, где цепочка делает один полный оборот: слева маятники висят вниз, справа - снова вниз, но через полный поворот на $2\pi$.

Рассчитать для своей задачи

Скорость $v$ измеряется в долях скорости звука среды (в полевых моделях - скорости света), поэтому $0 \le v < 1$. Подставив профиль в уравнение, легко проверить, что он точно ему удовлетворяет при любом таком $v$ - это и значит, что кинк бежит без искажения формы.

Топологический заряд и устойчивость

Устойчивость кинка не случайна - она топологическая. Введём заряд

$$Q = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \phi}{\partial x}\,dx = \frac{\phi(+\infty) - \phi(-\infty)}{2\pi}.$$

Для кинка $Q = +1$, для антикинка $Q = -1$, для вакуума (поле всюду равно $0$ или $2\pi$) $Q = 0$. Заряд - целое число, и непрерывной деформацией поля его не изменить: чтобы «развязать» ступеньку, пришлось бы протащить кусок поля через бесконечную энергию. Поэтому одиночный кинк не может просто рассосаться - он либо живёт вечно, либо аннигилирует со встречным антикинком, у которого противоположный заряд.

Антикинк получается заменой знака в экспоненте:

$$\phi(x,t) = 4\,\mathrm{arctg}\,\exp\!\big(-\gamma(x - vt)\big),$$

и поле спускается с $2\pi$ до $0$. Пара кинк-антикинк суммарно имеет $Q = 0$ и может либо разойтись, либо связаться в бризер.

Энергия и лоренц-сжатие

Полная энергия покоящегося кинка ($v = 0$) равна $E_0 = 8$ в наших единицах. Для движущегося кинка интеграл энергии даёт

$$E = \frac{8}{\sqrt{1 - v^2}} = 8\gamma.$$

Это в точности релятивистская формула $E = m\gamma$ с «массой» $m = 8$. Уравнение синус-Гордона лоренц-инвариантно, поэтому кинк ведёт себя как релятивистская частица: при росте скорости его энергия неограниченно растёт, а ширина

$$\Delta \sim \frac{2}{\gamma} = 2\sqrt{1 - v^2}$$

сжимается - то самое лоренцево сокращение. Калькулятор в начале статьи показывает оба эффекта сразу: подвиньте ползунок скорости и проследите, как профиль становится круче, а число энергии растёт.

Рассчитать для своей задачи

Бризер - дышащий солитон

Помимо бегущих кинков у уравнения есть стоячее решение - бризер. Это связанное состояние кинка и антикинка, которое не разлетается, а колеблется на месте:

$$\phi(x,t) = 4\,\mathrm{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{1 - \omega^2}}{\omega}\,\frac{\sin(\omega t)}{\operatorname{ch}\!\big(\sqrt{1 - \omega^2}\,x\big)}\right).$$

Здесь $\omega \in (0,1)$ - частота «дыхания»: поле периодически раздувается и сжимается, но остаётся локализованным. Топологический заряд бризера равен нулю, поэтому он не защищён топологией, как кинк, - и всё же устойчив как точное периодическое решение. Его энергия меньше, чем у разлетевшейся пары:

$$E_{\text{бр}} = 16\sqrt{1 - \omega^2} < 16.$$

При $\omega \to 1$ амплитуда колебаний падает и бризер «тает» в линейные волны; при $\omega \to 0$ он распадается на далеко разнесённые кинк и антикинк. Переключите в калькуляторе тип на «Бризер» и подвиньте время - профиль начнёт колебаться около нуля.

Солитоны при столкновениях

Уравнение синус-Гордона интегрируемо, и это даёт его солитонам почти невероятное свойство: при лобовом столкновении два кинка проходят друг сквозь друга и восстанавливают форму, получая лишь сдвиг по фазе. Энергия и число солитонов сохраняются - нет ни излучения, ни слипания, как было бы в обычной нелинейной среде. Именно за такое «частицеподобное» поведение волны и назвали солитонами. Метод обратной задачи рассеяния позволяет выписать и многосолитонные решения - наборы кинков, антикинков и бризеров, которые взаимодействуют только парно.

Сдвиг по фазе при столкновении двух кинков со скоростями $v$ имеет явное выражение

$$\Delta = \frac{1}{\gamma}\,\ln\frac{1 + v}{1 - v},$$

и он положителен - это значит, что более быстрый кинк после прохождения сквозь медленный оказывается чуть впереди того места, где был бы без взаимодействия, а медленный отстаёт. Никакой энергии при этом не теряется. Такая «упругость» столкновений - отличительная черта интегрируемых систем; для неинтегрируемых нелинейных уравнений солитоноподобные импульсы при ударе обычно частично излучают энергию в линейные волны и постепенно разрушаются.

Связь с другими интегрируемыми моделями

Синус-Гордона стоит в одном ряду с уравнением Кортевега-де Фриза и нелинейным уравнением Шрёдингера - это классические интегрируемые модели, у каждой свой тип солитона. Объединяет их наличие бесконечного набора сохраняющихся величин и применимость метода обратной задачи рассеяния. Для синус-Гордона есть и преобразование Бэклунда: оно из одного известного решения строит новое с зарядом, увеличенным на единицу, - так из вакуума получается кинк, из кинка двухсолитонное состояние и так далее. Это чисто алгебраический способ генерировать солитоны без интегрирования уравнения.

Частые ошибки

• Путать высоту кинка с $\pi$. Ступенька кинка ровно $2\pi$ (полный оборот маятника), а не $\pi$ - множитель $4$ в $4\,\mathrm{arctg}$ как раз даёт $4\cdot(\pi/2) = 2\pi$.
• Считать $v$ произвольной. Скорость кинка ограничена: $0 \le v < 1$, потому что $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2}$ обязана быть вещественной. При $v \to 1$ энергия уходит в бесконечность.
• Забывать, что бризер не топологический. У бризера $Q = 0$; его устойчивость другая по природе, чем у кинка, и он может распадаться при $\omega \to 0$ или $\omega \to 1$.
• Игнорировать лоренц-инвариантность. Множитель $\gamma$ в профиле - не подгонка, а следствие симметрии уравнения; именно он даёт релятивистскую энергию $E = 8\gamma$.
• Смешивать синус-Гордона с Клейном-Гордоном. Линейное уравнение не имеет солитонов; всё интересное даёт именно нелинейный член $\sin\phi$.

FAQ

Почему решение называется солитоном, а не просто волной? Солитон - это локализованная волна, которая сохраняет форму и скорость и восстанавливается после столкновений с другими солитонами. Обычная волна расплывается из-за дисперсии; у кинка нелинейность $\sin\phi$ точно компенсирует расплывание, поэтому он живёт неограниченно долго.

В чём разница между кинком и антикинком? Они зеркальны: кинк поднимает поле с $0$ до $2\pi$ (заряд $+1$), антикинк опускает его с $2\pi$ до $0$ (заряд $-1$). Формулы отличаются знаком в экспоненте. При встрече их заряды гасятся, и пара может аннигилировать или образовать бризер.

Где уравнение синус-Гордона применяется на практике? В физике длинных джозефсоновских контактов (магнитный поток-вихрь - это кинк), в теории дислокаций кристаллов, в моделях ДНК и в квантовой теории поля как простейшая нелинейная модель с топологическими частицами.

Коротко

Уравнение синус-Гордона $\phi_{tt} - \phi_{xx} + \sin\phi = 0$ нелинейно и лоренц-инвариантно, поэтому его решения-солитоны ведут себя как частицы. Кинк - топологический солитон с зарядом $+1$, ступенька поля высотой $2\pi$, энергией $E = 8\gamma$ и лоренц-сжатием ширины при росте скорости. Антикинк зеркален ему, а бризер - нетопологическое дышащее связанное состояние пары с энергией $16\sqrt{1-\omega^2}$. Все три устойчивы и переживают столкновения, лишь сдвигаясь по фазе.