Уравнение Лиувилля: сохранение фазового объёма

Уравнение Лиувилля описывает, как со временем меняется плотность вероятности в фазовом пространстве механической системы. Его ключевая мысль удивительно проста: фазовая жидкость движется как несжимаемая, поэтому полная производная плотности вдоль траектории равна нулю. Из этого одного утверждения вырастает вся равновесная статистическая механика - от микроканонического ансамбля до связи с энтропией. Ниже разберём, что такое фазовое пространство, как получить уравнение Лиувилля через скобки Пуассона, в чём состоит сама теорема Лиувилля и почему она лежит в основании статистической физики. Если нужно решить конкретную задачу или довести вывод до численного ответа, удобнее собрать постановку в интерактивном разборе ниже.

Фазовое пространство и фазовая плотность

Состояние механической системы с $n$ степенями свободы полностью задаётся набором обобщённых координат $q_1, \dots, q_n$ и сопряжённых импульсов $p_1, \dots, p_n$. Пространство всех таких наборов называют фазовым: одна точка в нём - это одно мгновенное состояние всей системы, а её движение во времени - это фазовая траектория. Для системы из $N$ частиц размерность фазового пространства равна $6N$ (по три координаты и три импульса на частицу).

Когда мы не знаем точное начальное состояние, а только его распределение, вводят фазовую плотность $\rho(q, p, t)$ - плотность вероятности обнаружить систему в окрестности точки $(q, p)$. По смыслу это распределение нормировано:

$$\int \rho(q, p, t)\, d^n q\, d^n p = 1.$$

Можно представить себе огромный ансамбль одинаковых систем, стартующих из разных близких состояний: тогда $\rho$ - это плотность «облака» изображающих точек в фазовом пространстве. Уравнение Лиувилля как раз и описывает, как это облако течёт со временем.

Рассчитать для своей задачи

Скобки Пуассона и эволюция величин

Чтобы записать уравнение для $\rho$, удобен аппарат скобок Пуассона. Для двух функций $f(q,p)$ и $g(q,p)$ их скобка Пуассона определяется как

$$\{f, g\} = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right).$$

Канонические уравнения движения Гамильтона тогда записываются единообразно: $\dot{q}_i = \{q_i, H\}$ и $\dot{p}_i = \{p_i, H\}$, где $H(q,p,t)$ - гамильтониан системы. Для произвольной динамической величины $f(q,p,t)$ полная производная по времени вдоль траектории равна

$$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f, H\}.$$

Этот компактный язык - тот же, что стоит за уравнением Гамильтона-Якоби: и там, и здесь вся динамика прячется в одной функции и канонической структуре фазового пространства.

Вывод уравнения Лиувилля

Изображающие точки в фазовом пространстве не возникают и не исчезают - их число сохраняется. Значит, для плотности $\rho$ выполняется уравнение непрерывности, как для обычной жидкости:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial(\rho \dot{q}_i)}{\partial q_i} + \frac{\partial(\rho \dot{p}_i)}{\partial p_i}\right) = 0.$$

Раскроем дивергенцию и воспользуемся каноническими уравнениями. Ключевой момент: фазовый поток несжимаем, потому что

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i}\right) = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i \partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right) = 0.$$

Смешанные вторые производные гамильтониана сокращаются, и дивергенция скорости фазового потока обращается в нуль. Остаётся

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^{n}\left(\dot{q}_i\frac{\partial \rho}{\partial q_i} + \dot{p}_i\frac{\partial \rho}{\partial p_i}\right) = 0,$$

что в терминах скобок Пуассона есть уравнение Лиувилля:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0.$$

Эквивалентно его можно записать как $d\rho/dt = 0$ - полная производная фазовой плотности вдоль траектории равна нулю.

Теорема Лиувилля и несжимаемость

Утверждение $d\rho/dt = 0$ и есть теорема Лиувилля: вдоль любой фазовой траектории плотность изображающих точек остаётся постоянной. Геометрически это означает, что фазовый объём, занятый выбранной группой точек, сохраняется при эволюции - он может деформироваться, вытягиваться и закручиваться сколь угодно сложно, но его мера не меняется.

Полезна аналогия с несжимаемой жидкостью. Капля чернил в воде при перемешивании растягивается в тонкую запутанную нить, но её объём остаётся прежним. Точно так же фазовая капля сохраняет свой объём, хотя её форма со временем становится всё более изрезанной. Именно эта несжимаемость фазового потока - следствие гамильтоновой структуры, а не дополнительное предположение.

Рассчитать для своей задачи

Равновесие и стационарные распределения

Состояние статистического равновесия - это когда фазовая плотность не зависит явно от времени: $\partial \rho/\partial t = 0$. Из уравнения Лиувилля тогда следует $\{\rho, H\} = 0$, то есть $\rho$ должна быть интегралом движения. Простейший способ это обеспечить - взять $\rho$ функцией только от гамильтониана: $\rho = \rho(H)$. Тогда скобка Пуассона $\{\rho(H), H\}$ автоматически обращается в нуль.

Отсюда вырастают равновесные ансамбли статистической механики. Микроканонический ансамбль соответствует $\rho = \mathrm{const}$ на поверхности постоянной энергии $H = E$ (все доступные микросостояния равновероятны). Канонический ансамбль даёт распределение Гиббса $\rho \propto e^{-H/(kT)}$, которое тоже зависит только от $H$ и потому стационарно. Так уравнение Лиувилля становится отправной точкой для вывода функции распределения и термодинамики из микроскопической динамики.

Сохранение энтропии и парадокс необратимости

Поскольку фазовый объём сохраняется, а $\rho$ постоянна вдоль траекторий, остаётся неизменной и энтропия Гиббса:

$$S = -k \int \rho \ln \rho \, d^n q\, d^n p = \mathrm{const}.$$

Это создаёт известное напряжение: микроскопическая динамика обратима и сохраняет энтропию, тогда как макроскопическая термодинамика требует её роста. Разрешение в том, что наблюдаемая энтропия - это огрублённая (coarse-grained) величина: мы усредняем тонко изрезанную фазовую каплю по конечным ячейкам. Тонкая структура нити, в которую вытягивается капля, перемешивается по всему доступному объёму, и при усреднении эффективная энтропия растёт, хотя точная гиббсова энтропия неизменна. Эта же логика огрубления связывает теорему Лиувилля с эргодической гипотезой и обоснованием статистического подхода.

Квантовый аналог: уравнение фон Неймана

У уравнения Лиувилля есть прямой квантовый аналог. Роль фазовой плотности играет оператор матрицы плотности $\hat{\rho}$, а скобка Пуассона заменяется коммутатором по правилу $\{\,,\,\} \to \frac{1}{i\hbar}[\,,\,]$. Получается уравнение фон Неймана:

$$\frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{H}, \hat{\rho}].$$

В равновесии $[\hat{H}, \hat{\rho}] = 0$, и матрица плотности коммутирует с гамильтонианом - квантовый аналог условия $\{\rho, H\} = 0$. Эта параллель показывает, что структура статистической механики переносится из классики в квантовую теорию почти дословно, через одну и ту же каноническую формулировку.

Частые ошибки

• Путают полную и частную производную: уравнение Лиувилля утверждает $d\rho/dt = 0$ (вдоль траектории), но при этом $\partial \rho/\partial t$ в фиксированной точке, как правило, не равна нулю.
• Считают, что плотность $\rho$ убывает при «размазывании» капли. Точная $\rho$ сохраняется; растёт только огрублённая энтропия из-за усреднения по ячейкам.
• Забывают условие несжимаемости и пытаются добавить «источник» в уравнение непрерывности - для гамильтоновых систем дивергенция фазового потока тождественно нулевая.
• Берут $\rho$ зависящей не только от $H$ и ждут стационарности: для равновесия $\rho$ обязана быть интегралом движения, иначе $\{\rho, H\} \ne 0$.
• Смешивают уравнение Лиувилля для $\rho$ с уравнением для отдельной наблюдаемой $f$: у плотности скобка входит со знаком, дающим $\partial\rho/\partial t = -\{\rho, H\}$, а у величины $df/dt = \partial f/\partial t + \{f, H\}$.

FAQ

В чём разница между уравнением Лиувилля и теоремой Лиувилля? Уравнение Лиувилля - это уравнение эволюции фазовой плотности $\partial \rho/\partial t + \{\rho, H\} = 0$. Теорема Лиувилля - его содержательное следствие: полная производная $d\rho/dt = 0$, то есть фазовый объём сохраняется вдоль траекторий. Это две стороны одного факта.

Почему фазовый поток несжимаем? Потому что скорость фазового потока выражается через производные гамильтониана, и её дивергенция содержит разность смешанных вторых производных $\partial^2 H/\partial q\,\partial p$, которые сокращаются. Несжимаемость - прямое следствие канонической (гамильтоновой) структуры уравнений движения.

Как уравнение Лиувилля связано с распределением Гиббса? В равновесии $\partial \rho/\partial t = 0$, поэтому $\{\rho, H\} = 0$ и $\rho$ зависит только от $H$. Канонический выбор $\rho \propto e^{-H/(kT)}$ удовлетворяет этому условию и даёт распределение Гиббса - основу канонического ансамбля.

Коротко

Уравнение Лиувилля $\partial \rho/\partial t + \{\rho, H\} = 0$ описывает эволюцию плотности вероятности в фазовом пространстве и эквивалентно условию $d\rho/dt = 0$. Оно следует из уравнения непрерывности и несжимаемости фазового потока, которая, в свою очередь, есть следствие гамильтоновой структуры. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма лежит в основе равновесной статистической механики: стационарные распределения зависят только от гамильтониана, что приводит к микроканоническому и каноническому ансамблям. Квантовый аналог - уравнение фон Неймана для матрицы плотности, а кажущееся противоречие с ростом энтропии снимается переходом к огрублённому описанию.