Уравнение Гендерсона-Хассельбаха: формула и буфер

Уравнение Гендерсона-Хассельбаха связывает pH буферного раствора с константой диссоциации слабой кислоты и соотношением концентраций сопряжённой пары. Это рабочий инструмент биохимика, клинического лаборанта и студента-химика: им считают pH крови при нарушениях кислотно-основного баланса, проектируют буферы для хроматографии и проверяют, насколько безопасно разбавлять рабочий раствор. Ниже разберём вывод формулы, область применения и расчёт на конкретных примерах. Сначала попробуйте калькулятор - он покажет, как меняется pH при изменении соотношения кислоты и основания.

Вывод формулы

Рассмотрим равновесие слабой кислоты HA в воде:

$$\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}$$

Константа кислотной диссоциации выражается как:

$$K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}$$

Отсюда концентрация ионов водорода:

$$[\mathrm{H^+}] = K_a \cdot \frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A^-}]}$$

Логарифмируем обе части и меняем знак:

$$-\lg[\mathrm{H^+}] = -\lg K_a - \lg\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A^-}]}$$

Используя определения $\mathrm{pH} = -\lg[\mathrm{H^+}]$ и $\mathrm{pKa} = -\lg K_a$, получаем уравнение Гендерсона-Хассельбаха:

$$\mathrm{pH} = \mathrm{pKa} + \lg\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}$$

где $[\mathrm{A^-}]$ - молярная концентрация сопряжённого основания, $[\mathrm{HA}]$ - молярная концентрация слабой кислоты.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл уравнения прост: если отложить pH по оси Y, а $\lg([\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}])$ по оси X, получается прямая с угловым коэффициентом 1 и свободным членом pKa. При равных концентрациях логарифм равен нулю и $\mathrm{pH} = \mathrm{pKa}$ - это точка полунейтрализации, в которой буферная ёмкость максимальна.

Буферная ёмкость и рабочий диапазон

Буфер работает эффективно, пока соотношение $[\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}]$ не выходит за пределы примерно 0,1-10, то есть пока логарифм соотношения лежит между $-1$ и $+1$. Это означает, что рабочий диапазон буфера составляет $\mathrm{pKa} \pm 1$. За пределами этого коридора один из компонентов буферной пары настолько мал, что буфер перестаёт сопротивляться изменению pH.

Количественно буферную ёмкость $\beta$ определяют как производную количества добавленного основания (или кислоты) по pH. При аналитической концентрации буфера $C = [\mathrm{HA}] + [\mathrm{A^-}]$ приближённая формула:

$$\beta \approx 2{,}303 \cdot C \cdot \frac{K_a[\mathrm{H^+}]}{(K_a + [\mathrm{H^+}])^2}$$

Максимум $\beta$ достигается при $[\mathrm{H^+}] = K_a$, то есть при $\mathrm{pH} = \mathrm{pKa}$. Удвоение суммарной концентрации буферных компонентов удваивает ёмкость, не меняя pH.

Рассчитать для своей задачи

Применение в биологии и медицине

Самый важный биологический буфер - бикарбонатная система крови: $\mathrm{H_2CO_3}/\mathrm{HCO_3^-}$ с $\mathrm{pKa} = 6{,}1$ при 37 °C. В физиологических условиях плазма крови содержит $[\mathrm{HCO_3^-}] \approx 24$ ммоль/л, а концентрация растворённой углекислоты определяется парциальным давлением $\mathrm{pCO_2}$:

$$[\mathrm{H_2CO_3^*}] = \alpha \cdot p\mathrm{CO_2} = 0{,}0307 \cdot 40 \approx 1{,}23 \text{ ммоль/л}$$

Подставляем в уравнение Гендерсона-Хассельбаха:

$$\mathrm{pH} = 6{,}1 + \lg\frac{24}{1{,}23} \approx 6{,}1 + 1{,}29 = 7{,}39$$

Именно это значение соответствует нормальному pH артериальной крови. При метаболическом ацидозе снижается $[\mathrm{HCO_3^-}]$, при дыхательном ацидозе растёт $p\mathrm{CO_2}$ - в обоих случаях уравнение Гендерсона-Хассельбаха немедленно предсказывает падение pH.

Лабораторные буферные системы

В аналитической химии и биохимических исследованиях чаще всего используют несколько стандартных систем.

Ацетатный буфер ($\mathrm{pKa} = 4{,}76$) применяют для реакций при pH 3,6-5,8: ферментативный анализ пектиназ, осаждение белков, хроматография кислых белков.

Фосфатный буфер ($\mathrm{pKa_2} = 7{,}21$ для пары $\mathrm{H_2PO_4^-}/\mathrm{HPO_4^{2-}}$) - рабочая лошадка биохимии: подходит для большинства ферментов и клеточных лизатов; именно его берут за основу в PBS (фосфатно-солевой буфер).

Трис-буфер ($\mathrm{pKa} = 8{,}06$ при 25 °C) незаменим при работе с ДНК и РНК, но его pKa сильно зависит от температуры (-0,028 pH/°C), что нужно учитывать при расчётах по уравнению Гендерсона-Хассельбаха.

Для приготовления буфера с нужным pH удобно решить обратную задачу: из уравнения вычислить требуемое соотношение $[\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}]$:

$$\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]} = 10^{\mathrm{pH} - \mathrm{pKa}}$$

Например, чтобы получить фосфатный буфер с $\mathrm{pH} = 7{,}4$ при $\mathrm{pKa} = 7{,}21$:

$$\frac{[\mathrm{HPO_4^{2-}}]}{[\mathrm{H_2PO_4^-}]} = 10^{7{,}4 - 7{,}21} = 10^{0{,}19} \approx 1{,}55$$

Значит, на каждый моль $\mathrm{NaH_2PO_4}$ нужно взять 1,55 моль $\mathrm{Na_2HPO_4}$.

Пример расчёта ацетатного буфера

Разберём типичную задачу: приготовить 500 мл ацетатного буфера с pH = 4,5 и суммарной концентрацией буферных компонентов $C = 0{,}1$ М. pKa уксусной кислоты = 4,76.

Шаг 1. Из уравнения Гендерсона-Хассельбаха находим нужное соотношение:

$$\frac{[\mathrm{CH_3COO^-}]}{[\mathrm{CH_3COOH}]} = 10^{4{,}5 - 4{,}76} = 10^{-0{,}26} \approx 0{,}55$$

Шаг 2. Из системы уравнений ($c_{\mathrm{base}} + c_{\mathrm{acid}} = 0{,}1$ М; $c_{\mathrm{base}}/c_{\mathrm{acid}} = 0{,}55$) находим:

$$c_{\mathrm{acid}} = \frac{0{,}1}{1 + 0{,}55} \approx 0{,}065 \text{ М}, \quad c_{\mathrm{base}} \approx 0{,}035 \text{ М}$$

Шаг 3. Пересчитываем на 500 мл: нужно 0,065 · 0,5 = 0,0323 моль уксусной кислоты и 0,035 · 0,5 = 0,0174 моль ацетата натрия.

Калькулятор выше позволяет проверить этот результат интерактивно: задайте $c_{\mathrm{acid}} = 0{,}065$ М, $c_{\mathrm{base}} = 0{,}035$ М и убедитесь, что pH = 4,5 выходит автоматически. Долевые кривые на правом графике покажут, что кислота в этой точке составляет около 65 % от общей концентрации буфера.

Связанная задача по расчёту констант кислотно-основного равновесия и константе гидролиза разобрана в отдельной статье.

Ограничения и поправки

Уравнение Гендерсона-Хассельбаха строго выведено для идеальных растворов при бесконечном разбавлении. В реальных условиях вступает активность ионов: при ионной силе $I$ концентрации заменяются активностями $a = \gamma \cdot c$, где $\gamma$ - коэффициент активности, вычисляемый по уравнению Дебая-Хюккеля или его расширениям. При $I < 0{,}1$ М поправка на активность невелика (менее 0,05 pH), при $I > 0{,}5$ М пренебрегать ей нельзя.

Второе ограничение: уравнение описывает равновесие при постоянной температуре. Значение pKa зависит от T через уравнение Вант-Гоффа - для трис-буфера эта зависимость особенно ощутима. Третье: в многоосновных системах (фосфорная кислота, цитрат) работают только при pH вблизи одного из ступенчатых pKa; суммарным влиянием других ступеней пренебрегают лишь если они разнесены более чем на 2 единицы pH.

Частые ошибки

• Перепутать числитель и знаменатель. В уравнении $\lg([\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}])$ в числителе стоит сопряжённое основание $\mathrm{A^-}$, а не кислота. Если перепутать, знак логарифма изменится и pH уйдёт не в ту сторону.
• Взять молярные массы вместо молярных концентраций. В расчётной задаче иногда дают граммы вещества - их нужно сначала перевести в моли и затем в концентрации.
• Забыть об ионной силе. При добавлении соли (например, NaCl) коэффициенты активности меняются и реальный pH отличается от рассчитанного.
• Применять уравнение вне диапазона pKa ± 1. При $[\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}] < 0{,}1$ или $> 10$ буферная ёмкость падает, и уравнение формально работает, но буфер практически не функционирует.
• Не учитывать зависимость pKa от температуры. Особенно критично для трис-буфера: приготовленный при комнатной температуре, он имеет другой pH в термостате при 37 °C.

FAQ

Чем отличается уравнение Гендерсона от уравнения Гендерсона-Хассельбаха? Лоуренс Гендерсон в 1908 году записал уравнение в концентрационной форме. Карл Хассельбах в 1916 году переписал его в логарифмическом виде через pH и pKa, сделав его удобным для расчётов. Сегодня под «уравнением Гендерсона-Хассельбаха» понимают именно логарифмическую форму.

Можно ли применять уравнение к многоосновным кислотам? Да, но только вблизи одной из ступеней диссоциации. Для фосфорной кислоты $\mathrm{H_3PO_4}$ три значения pKa: 2,15; 7,21; 12,35. В диапазоне pH 6-8 работает вторая ступень ($\mathrm{H_2PO_4^-}/\mathrm{HPO_4^{2-}}$); влиянием первой и третьей пренебрегают, поскольку они разнесены более чем на 5 единиц pH.

Как пересчитать pH буфера при разбавлении? При разбавлении водой концентрации $[\mathrm{A^-}]$ и $[\mathrm{HA}]$ уменьшаются одинаково, их соотношение не меняется, а значит, pH остаётся практически постоянным (в этом и состоит смысл буфера). Однако буферная ёмкость $\beta$ пропорциональна суммарной концентрации $C$ и при разбавлении снижается - в два раза при двукратном разбавлении.

Коротко

Уравнение Гендерсона-Хассельбаха $\mathrm{pH} = \mathrm{pKa} + \lg([\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}])$ - прямое следствие определения константы диссоциации слабой кислоты. Оно показывает, что pH буфера определяется выбором системы (через pKa) и соотношением концентраций (через логарифм). Буфер эффективен в диапазоне $\mathrm{pKa} \pm 1$, а максимальная ёмкость достигается при $[\mathrm{A^-}] = [\mathrm{HA}]$. В физиологии оно описывает бикарбонатную систему крови; в лаборатории используется для точного приготовления буферов с заданным pH.