Теорема Вика: как разложить среднее произведения операторов

Когда в квантовой теории поля или статистической физике нужно посчитать среднее от произведения многих операторов рождения и уничтожения, прямое раскрытие коммутаторов превращается в гору слагаемых. Теорема Вика наводит здесь порядок: она утверждает, что вакуумное среднее (или гауссово среднее) произведения операторов равно сумме по всем способам разбить эти операторы на пары - спаривания. Каждое спаривание даёт произведение контракций, и больше ничего считать не нужно. Ниже разберём, откуда берётся это правило, как им пользоваться руками и где подстерегают ошибки. А чтобы быстро собрать конкретную свёртку под вашу задачу - воспользуйтесь калькулятором сразу под введением.

Что утверждает теорема Вика

Пусть есть набор операторов поля $\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_{2n}$ (для краткости пишу индексы вместо аргументов). Теорема Вика связывает их хронологическое произведение $T$ с нормальным произведением $\,{:}\,\cdots\,{:}\,$ и контракциями:

$$T(\phi_1 \phi_2 \cdots \phi_{2n}) = \sum_{\text{спаривания}} \prod_{(i,j)} \langle T \phi_i \phi_j \rangle \; {:}\,(\text{оставшиеся})\,{:}$$

Если же нас интересует вакуумное среднее $\langle 0 | T(\cdots) | 0 \rangle$, то нормально упорядоченные слагаемые зануляются (среднее от нормального произведения по вакууму равно нулю), и остаётся чистая комбинаторика:

$$\langle T(\phi_1 \cdots \phi_{2n}) \rangle = \sum_{\text{полные спаривания}} \; \prod_{(i,j)} \langle T \phi_i \phi_j \rangle$$

Иными словами, среднее произведения свелось к сумме произведений попарных средних. Попарное среднее $\langle T \phi_i \phi_j \rangle$ называется контракцией (свёрткой) и совпадает с пропагатором - функцией Грина. Произведения нечётного числа операторов в среднем дают ноль: некого оставить без пары.

Важно почувствовать, насколько это сильное упрощение. Без теоремы Вика среднее произведения $2n$ операторов пришлось бы считать, многократно прогоняя коммутационные соотношения и следя за тем, какой оператор уже «дошёл» до вакуума. С теоремой Вика расчёт превращается в чисто графическую задачу: расставить точки и соединить их линиями. Вся динамика спрятана в одном объекте - пропагаторе, а статья о том, как именно соединять, чисто комбинаторная. Поэтому теорему Вика называют рабочей лошадкой квантовой теории поля: ей пользуются буквально на каждом шаге вывода амплитуд.

Рассчитать для своей задачи

Контракция и нормальное упорядочение

Чтобы понять механику, нужны два кирпича. Первый - нормальное упорядочение: в нормальном произведении все операторы уничтожения $a$ стоят правее операторов рождения $a^\dagger$. Тогда $\langle 0 | {:}\,\cdots\,{:}\, | 0 \rangle = 0$, потому что уничтожение, дойдя до вакуума справа, даёт ноль.

Второй кирпич - контракция двух операторов:

$$\overset{\frown}{\phi_i \phi_j} = \phi_i \phi_j - {:}\,\phi_i \phi_j\,{:}$$

Это просто число (c-число), а не оператор: разность между обычным и нормально упорядоченным произведением как раз и есть коммутаторная «добавка». Для свободного поля контракция равна пропагатору. Теорема Вика и есть утверждение, что любое произведение операторов можно переписать как сумму всех нормальных произведений со всеми возможными контракциями выделенных пар - от нуля контракций до полного спаривания.

Спаривания: считаем количество слагаемых

Главное в практике - не запутаться в числе слагаемых. Полное спаривание $2n$ операторов - это разбиение их на $n$ непересекающихся пар. Число таких разбиений равно двойному факториалу:

$$(2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$$

Для двух операторов - одно спаривание, для четырёх - три, для шести - пятнадцать, для восьми - сто пять. Рост быстрый, поэтому при $2n \ge 6$ удобно рисовать диаграммы, а не выписывать всё подряд. Эта же комбинаторика лежит в основе диаграммной техники теории возмущений: каждое спаривание - это линия пропагатора, а способы соединить вершины и есть способы спаривания. Операторы рождения и уничтожения, с которыми всё это строится, - те же, что в задаче о гармонических колебаниях квантового осциллятора.

Рассчитать для своей задачи

Возьмём канонический пример - четыре поля:

$$\langle \phi_1 \phi_2 \phi_3 \phi_4 \rangle = \langle \phi_1 \phi_2 \rangle \langle \phi_3 \phi_4 \rangle + \langle \phi_1 \phi_3 \rangle \langle \phi_2 \phi_4 \rangle + \langle \phi_1 \phi_4 \rangle \langle \phi_2 \phi_3 \rangle$$

Три слагаемых - ровно $(4-1)!! = 3$. Каждое получается своим способом соединить четыре точки в две пары.

Знак для фермионов

Для бозонных полей всё просто: переставляем операторы свободно, лишних знаков нет. Для фермионов операторы антикоммутируют, $\{a_i, a_j^\dagger\} = \delta_{ij}$, и каждая перестановка двух соседних множителей даёт минус. Поэтому при контракции операторов, стоящих не рядом, появляется знак $(-1)^P$, где $P$ - число транспозиций (чётность перестановки), нужных, чтобы поставить спариваемую пару рядом.

Рассчитать для своей задачи

Так, для четырёх фермионных полей разложение то же, что выше, но с относительными знаками:

$$\langle \psi_1 \psi_2 \psi_3 \psi_4 \rangle = \langle \psi_1 \psi_2 \rangle \langle \psi_3 \psi_4 \rangle - \langle \psi_1 \psi_3 \rangle \langle \psi_2 \psi_4 \rangle + \langle \psi_1 \psi_4 \rangle \langle \psi_2 \psi_3 \rangle$$

Тепловая и статистическая версия

Теорема Вика работает не только для вакуума. В равновесной статистике и финитной температуре она формулируется для гауссова (квадратичного по полям) ансамбля: среднее произведения линейных по полю величин равно сумме по спариваниям из попарных средних. Это знакомая по теории вероятностей теорема Изосерлиса (Wick для гауссовых случайных величин): для нормально распределённых $X_i$ с нулевым средним

$$\langle X_1 X_2 \cdots X_{2n} \rangle = \sum_{\text{спаривания}} \prod_{(i,j)} \langle X_i X_j \rangle$$

Поэтому теорему Вика часто называют просто свойством гауссовых средних. Как только взаимодействие нарушает гауссовость, появляются связные части (кумулянты) - и теорема в чистом виде перестаёт работать, превращаясь в основу теории возмущений.

Эквивалентность двух формулировок - операторной и вероятностной - не случайна. Свободное поле в основном (вакуумном) состоянии ведёт себя как набор независимых гауссовых мод: его флуктуации описываются нормальным распределением, а все старшие моменты выражаются через второй. Именно это свойство нормального распределения - что все его кумулянты выше второго равны нулю - и означает, что моменты собираются из попарных корреляций. Если поле перестаёт быть свободным, кумулянты высших порядков «оживают», и каждое такое отклонение от гауссовости отвечает за вершину взаимодействия в диаграммах. Так теорема Вика разграничивает «простую» (гауссову) часть теории и «сложную» (взаимодействие), что и делает теорию возмущений возможной.

Как применять: пошагово

1. Убедитесь, что число операторов чётное (иначе среднее ноль).
2. Выпишите все полные спаривания: их $(2n-1)!!$ штук.
3. Для каждого спаривания замените пары на контракции (пропагаторы).
4. Для фермионов посчитайте знак перестановки каждого спаривания.
5. Сложите все слагаемые.

Этот алгоритм механический, и именно поэтому теорема Вика так ценится: она снимает с расчёта всю «операторную» сложность и сводит его к рисованию связей. Если контракции одинаковых пар повторяются, удобно сразу группировать слагаемые и пользоваться симметрийными множителями.

Разбор примера: шесть операторов

Возьмём чуть более тяжёлый случай - шесть бозонных полей $\phi_1 \cdots \phi_6$. Число полных спариваний равно $5!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$, и выписывать их полезно системно, а не наугад. Зафиксируем первый оператор $\phi_1$: его можно спарить с любым из пяти оставшихся - пять вариантов. После того как пара для $\phi_1$ выбрана, остаётся четыре оператора, у которых $3!! = 3$ спаривания. Итого $5 \cdot 3 = 15$ - ровно двойной факториал, разложенный на множители.

Этот приём «зафиксируй первый оператор» - общий рецепт: для $2n$ полей первый оператор имеет $2n-1$ кандидатов в пару, после чего задача сводится к спариванию $2n-2$ операторов. Рекурсия $(2n-1)!! = (2n-1) \cdot (2n-3)!!$ напрямую отражает это рассуждение и помогает не пропустить и не сдублировать ни одного слагаемого.

Если часть операторов совпадает (например, четыре одинаковых поля в одной точке), многие спаривания дают одинаковый вклад, и их удобно собрать с симметрийным множителем. Именно так в теории возмущений возникают комбинаторные коэффициенты перед диаграммами: они считают, сколькими способами реализуется одна и та же топология спаривания.

Частые ошибки

• Нечётное число операторов. Среднее равно нулю - одному оператору не с кем спариться. Не ищите «половинных» контракций.
• Забытый знак у фермионов. Каждая контракция через нечётное число операторов даёт минус. Бозоны - всегда плюс.
• Лишние слагаемые. Спаривания не должны пересекаться по операторам: каждый оператор входит ровно в одну пару, дважды его использовать нельзя.
• Путаница нормального и хронологического произведений. Контракция определена через $T$-произведение (пропагатор), а зануляются именно нормально упорядоченные остатки.
• Применение к негауссову среднему. При наличии взаимодействия чистая теорема Вика не работает - нужна теория возмущений, где она применяется к свободной части.

FAQ

Чем контракция отличается от пропагатора? Контракция двух операторов и есть пропагатор (функция Грина) свободного поля - это одно и то же число. Термин «контракция» подчёркивает операцию (свёртку пары в произведении), «пропагатор» - её физический смысл (амплитуда распространения).

Почему нормально упорядоченные слагаемые исчезают в среднем? Потому что в нормальном произведении операторы уничтожения стоят справа и, действуя на вакуум, дают ноль. Поэтому в вакуумном среднем выживают только полностью свёрнутые (полные спаривания) члены.

Работает ли теорема Вика при взаимодействии? В точном виде - нет: она верна для свободных (гауссовых) полей. Но именно на ней строится теория возмущений: гамильтониан взаимодействия раскладывают в ряд, и к каждому члену со свободными полями применяют теорему Вика, получая диаграммы Фейнмана.

Коротко

Теорема Вика сводит среднее произведения операторов к сумме по всем способам разбить их на пары: каждое полное спаривание даёт произведение контракций-пропагаторов, число спариваний равно $(2n-1)!!$, а для фермионов добавляется знак перестановки. Это превращает громоздкий операторный расчёт в комбинаторику диаграмм и служит фундаментом теории возмущений в КТП и статистической физике.