Теорема Голдстоуна: безмассовые бозоны и нарушение симметрии

Когда непрерывная симметрия системы нарушается спонтанно, то есть основное состояние перестаёт быть симметричным, хотя сами уравнения движения симметрию сохраняют, в спектре обязательно появляются безмассовые возбуждения. Это и есть содержание теоремы Голдстоуна. Она связывает геометрию вакуума с наличием частиц нулевой массы и объясняет, откуда берутся фононы, магноны и пионы. Ниже разберём формулировку, доказательство на пальцах, способ подсчёта числа бозонов и важное исключение, связанное с механизмом Хиггса. Если нужно решить конкретную учебную задачу, соберите её условие в форме выше.

Что утверждает теорема Голдстоуна

Теорема (Голдстоун, 1961; Голдстоун, Салам, Вайнберг, 1962) формулируется так: если в системе с непрерывной глобальной симметрией происходит спонтанное нарушение этой симметрии, то в спектре возникает безмассовая частица со спином нуль - голдстоуновский бозон. Каждому нарушенному генератору симметрии соответствует свой такой бозон.

Ключевое слово - спонтанное. Лагранжиан остаётся инвариантным относительно группы преобразований, но вакуум (состояние минимальной энергии) этой инвариантностью не обладает: он выбирает одно направление из множества эквивалентных. Симметрия не исчезает, она «прячется» - переходит из явной в скрытую.

Безмассовость голдстоуновских бозонов не случайна. Раз все вакуумы вырождены по энергии, переход между ними не требует затрат - это движение вдоль «дна» потенциала. Длинноволновое колебание в этом направлении имеет частоту, стремящуюся к нулю при стремлении импульса к нулю, а значит, описывает частицу с нулевой массой покоя.

Спонтанное нарушение симметрии и потенциал «мексиканская шляпа»

Стандартный пример - комплексное скалярное поле $\phi$ с потенциалом

$$V(\phi) = -\mu^2 |\phi|^2 + \lambda |\phi|^4.$$

При $\mu^2 > 0$ минимум потенциала достигается не в нуле, а на окружности $|\phi| = v = \sqrt{\mu^2 / 2\lambda}$. График $V$ напоминает донышко бутылки или сомбреро - отсюда название «мексиканская шляпа».

Рассчитать для своей задачи

Лагранжиан инвариантен относительно фазового поворота $\phi \to e^{i\alpha}\phi$ - это глобальная $U(1)$-симметрия. Но как только поле «скатывается» в конкретную точку окружности минимумов, выбор фазы фиксируется, и вакуум перестаёт быть симметричным. Симметрия нарушена спонтанно.

Раскладывая поле около выбранного минимума, $\phi = (v + h)\,e^{i\theta/v}$, получаем две моды. Радиальная мода $h$ - это колебание «вверх по стенке шляпы»: оно стоит энергии, значит, частица массивна. Угловая мода $\theta$ - движение вдоль дна, по окружности минимумов: энергии не требует, частица безмассова. Именно $\theta$ и есть голдстоуновский бозон.

Как доказывают теорему

Строгое доказательство опирается на свойства тока симметрии. По теореме Нётер непрерывной симметрии отвечает сохраняющийся ток $j^\mu$ с $\partial_\mu j^\mu = 0$. Заряд $Q = \int d^3x\, j^0$ генерирует преобразования симметрии.

Спонтанное нарушение означает, что заряд не аннигилирует вакуум: $Q|0\rangle \neq 0$. Тогда можно показать, что существует поле $\Phi$, для которого вакуумное среднее коммутатора не равно нулю:

$$\langle 0 | [Q, \Phi] | 0 \rangle \neq 0.$$

Подставляя сюда полноту состояний и используя сохранение тока, получаем, что обязан существовать состояние с энергией, стремящейся к нулю при нулевом импульсе, то есть с законом дисперсии $E \to 0$ при $\vec{p} \to 0$. Это и есть безмассовая частица. Подробнее о том, как сохраняющиеся величины следуют из симметрий, мы разбирали в материале про теорему Нётер.

Сколько голдстоуновских бозонов возникает

Число безмассовых бозонов считается через размерности групп. Пусть полная группа симметрии $G$ имеет размерность $\dim G$, а после нарушения остаётся подгруппа $H$ (она сохраняет вакуум) размерности $\dim H$. Тогда в нерелятивистской и релятивистской теории число голдстоуновских мод равно числу нарушенных генераторов:

$$N_{\text{Голдстоун}} = \dim G - \dim H.$$

Геометрически нарушенные генераторы параметризуют пространство вырожденных вакуумов - фактор-многообразие $G/H$. Каждое независимое направление вдоль этого многообразия - отдельный безмассовый бозон.

Рассчитать для своей задачи

Пример: нарушение $O(3) \to O(2)$ (как у ферромагнетика, выбравшего ось намагниченности). Здесь $\dim O(3) = 3$, $\dim O(2) = 1$, значит, нарушенных генераторов $3 - 1 = 2$. В релятивистской теории это дало бы два голдстоуна, но у ферромагнетика, как мы увидим ниже, их меньше из-за особенностей нерелятивистской динамики.

Где теорема работает: реальные примеры

Голдстоуновские моды встречаются в физике повсеместно.

• Фононы в кристалле. Кристаллическая решётка нарушает непрерывную трансляционную симметрию пространства. Безмассовые продольные акустические фононы с законом дисперсии $\omega \to 0$ при $k \to 0$ - это голдстоуновские бозоны нарушенной трансляции.
• Магноны в магнетике. Спонтанная намагниченность нарушает вращательную симметрию спинов. Спиновые волны (магноны) - соответствующие голдстоуны.
• Пионы в КХД. Киральная симметрия лёгких кварков нарушена спонтанно; пионы - почти безмассовые псевдоголдстоуновские бозоны. Их малая, но ненулевая масса связана с тем, что симметрия нарушена ещё и явно (массами кварков).
• Сверхтекучесть. В сверхтекучем гелии нарушается $U(1)$-симметрия фазы; фонон сверхтекучести - голдстоун.

В нерелятивистских системах подсчёт усложняется: теорема Нильсена–Чадхи и более поздняя классификация делят бозоны на моды типа A (линейная дисперсия) и типа B (квадратичная). У ферромагнетика два нарушенных генератора дают всего один магнон типа B с $\omega \propto k^2$ - поэтому простая формула $\dim G - \dim H$ для нерелятивистских теорий даёт верхнюю оценку, а не точное число.

Исключение: механизм Хиггса

Теорема Голдстоуна предполагает глобальную симметрию. Если же нарушаемая симметрия калибровочная (локальная), безмассовый бозон не появляется в спектре как физическая частица - срабатывает механизм Хиггса.

Рассчитать для своей задачи

Что происходит физически: голдстоуновская степень свободы не исчезает, а «съедается» калибровочным полем. Безмассовый калибровочный бозон имел две поперечные поляризации; поглотив голдстоун, он приобретает третью, продольную, поляризацию и становится массивным. Говорят, что калибровочный бозон «съел голдстоун и потолстел».

Именно так $W$- и $Z$-бозоны Стандартной модели получают массу при нарушении электрослабой симметрии $SU(2)\times U(1) \to U(1)_{\text{эм}}$. Фотон остаётся безмассовым, потому что соответствующий ему генератор не нарушен. Связь спонтанного нарушения с сохраняющимися токами, лежащая в основе всей конструкции, подробно разобрана в материале про теорему Нётер.

Частые ошибки

• Путают спонтанное и явное нарушение. При явном нарушении сам лагранжиан несимметричен - голдстоунов нет (или они становятся массивными псевдоголдстоунами). Теорема Голдстоуна работает только для спонтанного нарушения, где симметричны уравнения, но не вакуум.
• Считают, что голдстоун всегда наблюдаем. При калибровочной симметрии он поглощается (механизм Хиггса) и физической частицей не является.
• Применяют формулу $\dim G - \dim H$ без оговорок к нерелятивистским системам. Там число бозонов может быть меньше из-за мод типа B (ферромагнетик).
• Забывают про спин. Голдстоуновский бозон всегда скалярный (спин 0), потому что параметр порядка преобразуется как скаляр относительно пространственных вращений.
• Думают, что безмассовость точная при наличии явного нарушения. Пионы массивны именно потому, что киральная симметрия нарушена ещё и явно - это псевдоголдстоуны.

FAQ

Почему голдстоуновские бозоны безмассовы? Потому что они описывают колебания вдоль «дна» потенциала - между вырожденными по энергии вакуумами. Такое движение не требует энергии, поэтому частота возбуждения стремится к нулю вместе с импульсом, что и означает нулевую массу покоя.

Чем теорема Голдстоуна отличается от механизма Хиггса? Теорема Голдстоуна описывает глобальную симметрию: нарушение даёт реальный безмассовый бозон. Механизм Хиггса - случай калибровочной (локальной) симметрии: голдстоун поглощается калибровочным полем, которое становится массивным, а отдельной безмассовой частицы не остаётся.

Сколько голдстоуновских бозонов даёт нарушение симметрии? В релятивистской теории - ровно по числу нарушенных генераторов, $\dim G - \dim H$. В нерелятивистских системах число может быть меньше из-за мод с квадратичной дисперсией (типа B), как у ферромагнетика.

Коротко

Теорема Голдстоуна связывает спонтанное нарушение непрерывной глобальной симметрии с появлением безмассовых скалярных бозонов - по одному на каждый нарушенный генератор, $\dim G - \dim H$ штук. Геометрически это колебания вдоль вырожденного дна потенциала «мексиканская шляпа». Фононы, магноны, пионы и фонон сверхтекучести - реальные голдстоуны. Исключение составляет калибровочная симметрия: там голдстоун поглощается калибровочным бозоном, который приобретает массу (механизм Хиггса), как у $W$- и $Z$-бозонов Стандартной модели.