Вторичное квантование: операторы рождения и уничтожения

Вторичное квантование - это язык, на котором квантовая механика многих частиц становится обозримой. Вместо того чтобы тащить за собой громоздкую антисимметризованную волновую функцию от десятков координат, мы переходим к одному вопросу: сколько частиц сидит на каждом одночастичном состоянии. Дальше всё движение задают два оператора - один добавляет частицу, другой убирает. Если запутались в индексах операторов или в знаках коммутаторов, соберите конкретную задачу в форме ниже и разберите её по шагам.

Зачем понадобилось вторичное квантование

В обычной (первичной) квантовой механике состояние $N$ тождественных частиц описывается волновой функцией $\Psi(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N)$, которую нужно вручную симметризовать (бозоны) или антисимметризовать (фермионы). С ростом $N$ это становится неподъёмным: для фермионов приходится выписывать детерминант Слэтера из $N!$ слагаемых, а число частиц жёстко фиксировано.

Вторичное квантование снимает обе проблемы. Тождественность частиц зашита в саму конструкцию: переставлять частицы больше нечего, потому что мы не нумеруем их, а считаем заселённость состояний. А число частиц перестаёт быть константой - его можно менять операторами. Именно поэтому формализм незаменим там, где частицы рождаются и исчезают: в квантовой теории поля, в физике твёрдого тела (фононы, магноны), в квантовой оптике (фотоны).

Рассчитать для своей задачи

Пространство Фока и числа заполнения

Базовый объект формализма - пространство Фока. Это прямая сумма пространств с $0, 1, 2, \dots$ частицами. Базисный вектор задаётся набором чисел заполнения - сколько частиц находится на каждом одночастичном состоянии $\nu$:

$$|n_1, n_2, n_3, \dots\rangle$$

Здесь $n_\nu$ - число частиц в состоянии $\nu$. Для бозонов $n_\nu$ принимает любое целое значение $0, 1, 2, \dots$ - на одном уровне может скопиться сколько угодно частиц. Для фермионов работает принцип Паули, поэтому $n_\nu \in \{0, 1\}$: состояние либо пусто, либо занято ровно одной частицей.

Особую роль играет вакуум $|0\rangle$ - состояние без единой частицы. Это не «ничто», а полноценный вектор с нормировкой $\langle 0 | 0\rangle = 1$, из которого строится всё остальное. Любой базисный вектор получается действием операторов рождения на вакуум.

Операторы рождения и уничтожения

Вся динамика формализма держится на двух операторах для каждого состояния $\nu$. Оператор рождения $\hat{a}_\nu^\dagger$ добавляет одну частицу в состояние $\nu$, оператор уничтожения $\hat{a}_\nu$ - убирает. Они эрмитово сопряжены друг другу.

Для бозонов их действие на число заполнения выглядит так:

$$\begin{aligned} \hat{a}_\nu^\dagger |\dots, n_\nu, \dots\rangle &= \sqrt{n_\nu + 1}\,|\dots, n_\nu + 1, \dots\rangle \\ \hat{a}_\nu |\dots, n_\nu, \dots\rangle &= \sqrt{n_\nu}\,|\dots, n_\nu - 1, \dots\rangle \end{aligned}$$

Корни появляются не случайно: они согласуют нормировку и в точности воспроизводят алгебру гармонического осциллятора. Из второй строки сразу видно, почему нельзя уйти ниже вакуума - $\hat{a}_\nu |0\rangle = 0$, множитель $\sqrt{0}$ обнуляет результат.

Рассчитать для своей задачи

Комбинация $\hat{n}_\nu = \hat{a}_\nu^\dagger \hat{a}_\nu$ называется оператором числа частиц: её собственное значение на базисном векторе равно $n_\nu$. Через неё, например, выражается полное число частиц $\hat{N} = \sum_\nu \hat{n}_\nu$ и гамильтониан свободных частиц $\hat{H} = \sum_\nu \varepsilon_\nu \hat{n}_\nu$.

Коммутаторы для бозонов

Статистика частиц закодирована в перестановочных соотношениях операторов. Для бозонов это коммутаторы:

$$[\hat{a}_\mu, \hat{a}_\nu^\dagger] = \delta_{\mu\nu}, \qquad [\hat{a}_\mu, \hat{a}_\nu] = 0, \qquad [\hat{a}_\mu^\dagger, \hat{a}_\nu^\dagger] = 0$$

где $[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$. Первое соотношение - ключевое: операторы рождения и уничтожения одного состояния «почти» коммутируют, оставляя единицу. Именно из него выводятся формулы с корнями и вся бозонная статистика.

Тот факт, что $[\hat{a}_\nu^\dagger, \hat{a}_\nu^\dagger] = 0$, означает, что операторы рождения свободно переставляются: порядок добавления бозонов в разные состояния не важен. Это и есть симметрия волновой функции, но уже встроенная в алгебру, а не навязанная руками. Похожую логику «алгебра вместо явных выкладок» вы встретите и в методе Хартри-Фока, где детерминант Слэтера естественно записывается через операторы рождения.

Антикоммутаторы для фермионов

Для фермионов знаки минус превращаются в плюсы - вместо коммутаторов работают антикоммутаторы:

$$\{\hat{c}_\mu, \hat{c}_\nu^\dagger\} = \delta_{\mu\nu}, \qquad \{\hat{c}_\mu, \hat{c}_\nu\} = 0, \qquad \{\hat{c}_\mu^\dagger, \hat{c}_\nu^\dagger\} = 0$$

где $\{\hat{A}, \hat{B}\} = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$. Последнее соотношение при $\mu = \nu$ даёт $\hat{c}_\nu^\dagger \hat{c}_\nu^\dagger = 0$: дважды родить фермион в одном состоянии нельзя - это и есть принцип Паули, выраженный одной строкой алгебры.

Антикоммутативность операторов рождения, $\hat{c}_\mu^\dagger \hat{c}_\nu^\dagger = -\hat{c}_\nu^\dagger \hat{c}_\mu^\dagger$, автоматически даёт знак минус при перестановке частиц - ту самую антисимметрию фермионной волновой функции. Поэтому при работе с фермионами порядок операторов критичен: переставив два оператора рождения, обязательно меняйте знак.

Операторы физических величин

Чтобы формализм был полезен, нужно переписать на его языке наблюдаемые - энергию, плотность, взаимодействие. Любой одночастичный оператор $\hat{T}$ (например, кинетическая энергия) в представлении вторичного квантования имеет вид:

$$\hat{T} = \sum_{\mu\nu} \langle \mu | \hat{T} | \nu\rangle \, \hat{a}_\mu^\dagger \hat{a}_\nu$$

Матричный элемент $\langle \mu | \hat{T} | \nu\rangle$ - это обычный одночастичный интеграл, а пара $\hat{a}_\mu^\dagger \hat{a}_\nu$ «перебрасывает» частицу из состояния $\nu$ в $\mu$. Двухчастичные операторы (например, кулоновское взаимодействие) выражаются через четыре оператора - два рождения и два уничтожения:

$$\hat{V} = \frac{1}{2} \sum_{\mu\nu\lambda\sigma} \langle \mu\nu | \hat{V} | \lambda\sigma\rangle \, \hat{a}_\mu^\dagger \hat{a}_\nu^\dagger \hat{a}_\sigma \hat{a}_\lambda$$

Эта структура - сумма произведений матричных элементов на операторные «кирпичики» - универсальна. Один раз освоив её, вы записываете любой гамильтониан многих частиц почти механически.

Частые ошибки

• Путают первичное и вторичное квантование. Первичное - это переход от классической к квантовой механике (координата и импульс становятся операторами). Вторичное - переход к переменному числу частиц через пространство Фока; это надстройка, а не «более глубокое» квантование поля.
• Забывают множители-корни у бозонов. $\hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$, а не просто $|n+1\rangle$. Без корней ломается нормировка и алгебра коммутаторов.
• Игнорируют знак при перестановке фермионных операторов. $\hat{c}_\mu^\dagger \hat{c}_\nu^\dagger = -\hat{c}_\nu^\dagger \hat{c}_\mu^\dagger$ - пропущенный минус даёт неверную статистику и неправильный результат.
• Считают вакуум нулём. $|0\rangle$ нормирован на единицу; нулевой вектор получается лишь как $\hat{a}|0\rangle = 0$.
• Применяют бозонные коммутаторы к фермионам. У фермионов работают антикоммутаторы $\{\cdot,\cdot\}$, а не коммутаторы $[\cdot,\cdot]$ - перепутав, вы потеряете принцип Паули.

FAQ

Чем вторичное квантование отличается от первичного? Первичное квантование делает операторами координаты и импульсы одной частицы. Вторичное работает с системами переменного числа тождественных частиц: вместо координатной волновой функции - числа заполнения в пространстве Фока, а частицы рождаются и уничтожаются операторами. Это разные уровни описания, а не конкуренты.

Почему для фермионов используют антикоммутаторы, а не коммутаторы? Антикоммутативность операторов рождения автоматически порождает знак минус при перестановке частиц - ту самую антисимметрию волновой функции, которую требует статистика Ферми-Дирака. А равенство $\hat{c}_\nu^\dagger \hat{c}_\nu^\dagger = 0$ напрямую даёт принцип запрета Паули. С коммутаторами оба свойства воспроизвести нельзя.

Что такое оператор числа частиц? Это комбинация $\hat{n}_\nu = \hat{a}_\nu^\dagger \hat{a}_\nu$. Её собственное значение на базисном векторе пространства Фока равно числу частиц $n_\nu$ в состоянии $\nu$. Через неё выражаются полное число частиц и гамильтониан свободной системы.

Коротко

Вторичное квантование заменяет волновую функцию многих частиц на числа заполнения в пространстве Фока, а всю динамику сводит к операторам рождения $\hat{a}^\dagger$ и уничтожения $\hat{a}$. Их перестановочные соотношения кодируют статистику: коммутаторы $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ для бозонов и антикоммутаторы $\{\hat{c}, \hat{c}^\dagger\} = 1$ для фермионов. Этот язык делает обозримыми задачи с переменным числом частиц и лежит в основе квантовой теории поля и физики твёрдого тела.