Теорема Стоуна-Вейерштрасса: плотность подалгебр в C(K)

В пространстве непрерывных функций $C(K)$ на компакте $K$ редко удаётся работать со «всеми» функциями сразу - гораздо удобнее иметь дело с подалгеброй простого вида (полиномы, тригонометрические полиномы, рациональные функции от заданного набора). Теорема Стоуна-Вейерштрасса даёт чёткий критерий, когда такая подалгебра плотна: достаточно, чтобы она содержала константы и разделяла точки. Это один из самых употребляемых результатов вещественного анализа: из него моментально следуют классическая теорема Вейерштрасса о приближении полиномами и теорема Фейера о тригонометрических полиномах.

Классическая теорема Вейерштрасса (1885)

Карл Вейерштрасс в 1885 году доказал, что любую непрерывную функцию $f \in C[a, b]$ можно равномерно приблизить алгебраическими полиномами: для каждого $\varepsilon > 0$ найдётся полином $p$ такой, что $\sup_{x \in [a,b]} |f(x) - p(x)| < \varepsilon$. Эквивалентно - алгебра полиномов плотна в $C[a, b]$ относительно нормы $\|f\|_\infty = \sup |f|$.

Первое доказательство Вейерштрасса использовало свёртку с гауссовским ядром. Позже Сергей Бернштейн (1912) дал конструктивное доказательство через явные полиномы Бернштейна:

$B_n(f, x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}.$

На $[0, 1]$ эти полиномы сходятся к $f$ равномерно, причём со скоростью, контролируемой модулем непрерывности $\omega_f$: $\|B_n(f) - f\|_\infty \le \tfrac{3}{2} \omega_f(1/\sqrt{n})$. Конструкция вероятностная - $B_n(f, x)$ есть математическое ожидание $f(S_n / n)$, где $S_n \sim \mathrm{Bin}(n, x)$.

Обобщение Стоуна (1948)

Маршалл Стоун в 1948 году заметил, что свойство «плотность полиномов в $C[a,b]$» по сути не использует именно полиномы - нужны лишь две алгебраические особенности этого множества. Современная формулировка:

Теорема (Стоун-Вейерштрасс, вещественный случай). Пусть $K$ - компактное хаусдорфово пространство, $A \subset C(K, \mathbb{R})$ - подалгебра (замкнутая относительно сложения, умножения и умножения на скаляр). Если

1. $A$ содержит константы: $1 \in A$;
2. $A$ разделяет точки: для любых $x \neq y$ в $K$ найдётся $f \in A$ с $f(x) \neq f(y)$,

то $A$ плотна в $C(K)$.

Для полиномов на $[a, b]$ оба условия очевидны: константы - это $p \equiv c$, разделение точек обеспечивает уже одна функция $p(x) = x$. Из общей теоремы плотность полиномов следует немедленно.

Набросок доказательства Стоуна через решётку

Стандартная схема - показать, что замыкание $\bar{A}$ является решёткой (замкнуто относительно операций $\max$ и $\min$), а затем приблизить произвольную непрерывную функцию.

Шаг 1. Если $f \in \bar{A}$, то $|f| \in \bar{A}$. Это следует из равномерного приближения функции $t \mapsto |t|$ на компактном интервале $[-M, M]$ полиномами без свободного члена (по теореме Вейерштрасса на отрезке). Подставляя $f$ в такой полином, получаем элементы $\bar{A}$, сходящиеся к $|f|$.

Шаг 2. Из тождеств $\max(f, g) = \tfrac{f + g + |f - g|}{2}$ и $\min(f, g) = \tfrac{f + g - |f - g|}{2}$ замыкание $\bar{A}$ замкнуто относительно $\max, \min$.

Шаг 3. Возьмём $f \in C(K)$ и $\varepsilon > 0$. Для любых двух точек $x, y \in K$ из условий теоремы строится $g_{xy} \in A$ с $g_{xy}(x) = f(x)$, $g_{xy}(y) = f(y)$ (используем разделение точек и константы - двумерная линейная комбинация). Для каждой точки $x$ из конечного покрытия открытыми множествами $\{g_{xy} < f + \varepsilon\}$ выбираем $h_x = \min_y g_{xy}$ - она удовлетворяет $h_x < f + \varepsilon$ всюду и $h_x(x) = f(x)$. Затем $h = \max_x h_x$ даёт $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$.

Так конструктивно - без явных формул - мы приближаем любую непрерывную функцию элементами из $\bar{A}$.

Классические следствия

Полиномы плотны в $C[a, b]$. Прямое применение теоремы: алгебра полиномов содержит константы и разделяет точки функцией $x$.

Тригонометрические полиномы плотны в $C(\mathbb{T})$. Подалгебра, порождённая $1, \cos x, \sin x$, разделяет точки на окружности $\mathbb{T} = \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}$ - это даёт равномерное приближение любой непрерывной $2\pi$-периодической функции тригонометрическими полиномами. Скорость приближения уже контролируется ядрами Фейера, не самой теоремой.

Конструктивная альтернатива через Бернштейна. Когда нужна явная оценка скорости, а не только существование, удобнее работать с полиномами Бернштейна напрямую. Для $C^k$-гладких функций они дают порядок $O(n^{-k/2})$ (на самом деле даже точнее, но не оптимально - оптимум даёт теорема Джексона).

Полиномы от нескольких переменных плотны в $C(K)$ для любого компакта $K \subset \mathbb{R}^n$: координатные функции $x_1, \dots, x_n$ разделяют точки.

Комплексный вариант: нужна замкнутость по сопряжению

Если $A \subset C(K, \mathbb{C})$ - комплексная подалгебра, голых условий «содержит константы + разделяет точки» уже мало. Контрпример - алгебра функций, аналитических в круге $|z| \le 1$ и непрерывных вплоть до границы (диск-алгебра): она содержит константы, разделяет точки функцией $z$, но не плотна в $C(\{|z| \le 1\})$ - вне её, например, функция $\bar{z}$.

Правильная комплексная версия требует третьего условия: $A$ замкнута относительно комплексного сопряжения, то есть $f \in A \Rightarrow \bar{f} \in A$. С этой добавкой теорема снова работает: тогда $\mathrm{Re}\, f$ и $\mathrm{Im}\, f$ лежат в $A \cap C(K, \mathbb{R})$, и вещественная версия применяется отдельно к действительной и мнимой частям.

Приложения

Теория аппроксимации. Теорема даёт качественную часть («приблизить можно») - дальше вступают теоремы Джексона и Бернштейна о порядке приближения, ядра Фейера, разложения по системам ортогональных полиномов. Стоун-Вейерштрасс - стартовая точка для любого учебника по аппроксимации.

Гармонический анализ. Плотность тригонометрических полиномов в $C(\mathbb{T})$ обосновывает полноту системы $\{e^{inx}\}$ в $L^2(\mathbb{T})$ - переход через $L^\infty \subset L^2$. Из плотности следуют теорема Парсеваля и сходимость рядов Фурье в среднем.

Теория $C^*$-алгебр. В формулировке Гельфанда коммутативная $C^*$-алгебра с единицей изоморфна $C(K)$ для своего спектра $K$. Стоун-Вейерштрасс даёт критерий, когда конкретная порождающая система функций исчерпывает всю алгебру.

Распределения вероятностей. Семейство мер на компакте однозначно определяется значениями интегралов $\int f \, d\mu$ для $f$ из плотной подалгебры. Например, моменты $\int x^k\, d\mu$ задают меру на $[a, b]$ - отсюда классическая проблема моментов.

Типовые задачи

• Доказать, что любую $f \in C[0, 1]$ можно равномерно приблизить полиномами от $x^2$: подалгебра $\mathbb{R}[x^2]$ содержит константы; разделяет ли она точки? На $[0, 1]$ - да, потому что $x^2$ инъективна. На $[-1, 1]$ - нет, $x^2(-x) = x^2(x)$, теорема неприменима.
• Показать, что алгебра, порождённая $1, e^x$ на $[0, 1]$, плотна: $e^x$ разделяет точки, константы есть - годится. То же для $1, \sin x$ на $[0, \pi/2]$.
• Доказать плотность многочленов от $\cos t$ в $C([0, \pi])$: на этом отрезке $\cos t$ инъективна, разделение точек есть. Это даёт классическое разложение по полиномам Чебышёва.
• Из равномерной плотности тригонометрических полиномов вывести плотность экспонент $\{e^{inx}\}$ в $L^p(\mathbb{T})$ для всех $p < \infty$.
• Показать, что подалгебра функций, обращающихся в ноль в фиксированной точке $x_0$, плотна в $C_0(K \setminus \{x_0\})$ при разумных условиях - версия теоремы без константного веса.

Частые ошибки

• Забывать про условие на константы: подалгебра вида «все полиномы без свободного члена» содержит $x$ и разделяет точки, но не содержит $1$ - приближается только подпространство $\{f : f(0) = 0\}$, не всё $C[a, b]$.
• В комплексном случае не проверять замкнутость по сопряжению - контрпример с диск-алгеброй показывает, что без этого утверждение ложно.
• Применять теорему на некомпактных пространствах. Полиномы не плотны в $C(\mathbb{R})$ с топологией равномерной сходимости - обычно нужна более слабая топология сходимости на компактах.
• Считать, что теорема даёт скорость приближения. Она даёт только существование; явные оценки требуют Бернштейна, Джексона или конкретного ядра.
• Путать «разделение точек» с «инъективностью одной функции». Достаточно: для каждой пары $x \neq y$ есть своя $f \in A$ с $f(x) \neq f(y)$; одна универсальная инъективная функция не обязательна.

FAQ

Чем теорема Стоуна-Вейерштрасса отличается от классической теоремы Вейерштрасса? Вейерштрасс - частный случай: подалгебра полиномов плотна в $C[a, b]$. Стоун обобщил формулировку на произвольный компакт и любую подалгебру, выявив минимальные алгебраические условия (константы + разделение точек). Полиномы попадают сюда как один из примеров, наряду с тригонометрическими полиномами и многими другими алгебрами.

Почему нужна именно подалгебра, а не линейное подпространство? Доказательство существенно использует умножение: без замкнутости по умножению функция $|f|$ не получается из приближений $f$, и решёточная структура $\max, \min$ не возникает. Простая полнота линейной оболочки разделяющих функций ничего не гарантирует.

Где Стоун-Вейерштрасс встречается в спектральной теории операторов? В функциональном исчислении: для самосопряжённого оператора $T$ функция $f \mapsto f(T)$ корректно определена сначала на полиномах, а затем продолжается на $C(\sigma(T))$ благодаря плотности полиномов в этом пространстве. Так строится непрерывное функциональное исчисление, нужное для спектрального разложения.

Коротко

Теорема Стоуна-Вейерштрасса говорит: подалгебра $A \subset C(K)$ на компакте $K$ плотна тогда и только тогда, когда содержит константы и разделяет точки. Это обобщение классической теоремы Вейерштрасса 1885 года о приближении непрерывных функций полиномами. Доказательство Стоуна 1948 года идёт через решёточную структуру замыкания. Конструктивную скорость даёт Бернштейн через биномиальные полиномы. В комплексном случае нужна замкнутость по сопряжению - иначе диск-алгебра становится контрпримером. Теорема - рабочая лошадка функционального анализа, гармонического анализа и теории $C^*$-алгебр.