Теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника

Теорема Птолемея связывает стороны и диагонали четырёхугольника, вписанного в окружность, одним коротким равенством: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Это один из самых полезных инструментов планиметрии, потому что он мгновенно превращает геометрическую задачу про вписанный четырёхугольник в обычное алгебраическое уравнение с длинами. Ниже разберём точную формулировку, аккуратное доказательство через подобие треугольников, разные способы применять теорему в задачах и типичные ошибки. Чтобы сразу увидеть, как равенство держится при любой форме четырёхугольника, подвигайте вершины по окружности в калькуляторе ниже: он считает все шесть длин и проверяет тождество в реальном времени.

Формулировка теоремы Птолемея

Пусть четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то есть все четыре его вершины лежат на одной окружности. Обозначим стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и две диагонали $AC$ и $BD$. Тогда выполняется равенство:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA.$

Словами: произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. Противоположные стороны здесь - это пары $(AB, CD)$ и $(BC, DA)$, то есть стороны, которые не имеют общей вершины. Важно соблюдать порядок вершин: $ABCD$ должны идти по окружности подряд, иначе $AC$ и $BD$ перестанут быть диагоналями и равенство сломается.

Рассчитать для своей задачи

Есть и более сильная версия - неравенство Птолемея: для любого четырёхугольника (не обязательно вписанного) произведение диагоналей не больше суммы произведений противоположных сторон, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписанный. То есть теорема Птолемея - это критерий: равенство выполняется ровно для вписанных четырёхугольников.

Доказательство через подобие треугольников

Классическое доказательство строит вспомогательную точку и опирается на свойство вписанных углов. На диагонали $BD$ отметим точку $K$ так, чтобы угол $BAK$ был равен углу $CAD$. Тогда у нас появляются два подобия.

Рассчитать для своей задачи

Первое подобие: треугольники $ABK$ и $ACD$. У них угол $BAK$ равен углу $CAD$ по построению, а углы $ABK$ и $ACD$ равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу $AD$. Из подобия получаем пропорцию:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{CD} \quad\Longrightarrow\quad AB \cdot CD = AC \cdot BK.$

Второе подобие: треугольники $AKD$ и $ABC$. Угол $KAD$ равен углу $BAC$ (оба получаются добавлением общего угла $KAC$ к равным углам), а углы $ADK$ и $ACB$ равны как вписанные, опирающиеся на дугу $AB$. Отсюда:

$\frac{AD}{AC} = \frac{KD}{BC} \quad\Longrightarrow\quad BC \cdot AD = AC \cdot KD.$

Сложим два полученных равенства почленно:

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BK + AC \cdot KD = AC \cdot (BK + KD).$

Поскольку точка $K$ лежит на диагонали $BD$, сумма $BK + KD = BD$. Подставляя, получаем ровно теорему Птолемея:

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD.$

Это доказательство стоит знать наизусть: оно короткое, опирается только на вписанные углы и подобие, и его часто просят воспроизвести на экзамене.

Как считать длины через радиус и углы

Если задан радиус окружности $R$ и положения вершин, любую сторону или диагональ удобно искать как хорду. Длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом $\varphi$, равна:

$\ell = 2R \sin\frac{\varphi}{2}.$

Поэтому каждую из шести длин в теореме Птолемея можно выразить через центральные углы между вершинами. Именно так устроен калькулятор выше: четыре вершины задаются углами на окружности, по формуле хорды вычисляются все стороны и диагонали, а затем проверяется равенство $AC\cdot BD$ и $AB\cdot CD + BC\cdot DA$. При любых положениях вершин эти два числа совпадают - это и есть теорема Птолемея, увиденная численно.

Частный, но очень показательный случай - квадрат со стороной $a$, вписанный в окружность. Его диагонали равны $a\sqrt{2}$, а противоположные стороны равны $a$. Подставим в теорему:

$a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = a \cdot a + a \cdot a, \qquad 2a^2 = 2a^2.$

Равенство выполняется автоматически. Для квадрата теорема превращается в тождество, а вот для несимметричного четырёхугольника она даёт настоящее уравнение, из которого можно найти неизвестную длину.

Применение в задачах

Главная сила теоремы Птолемея в том, что она даёт одно уравнение, связывающее шесть длин. Если пять из них известны, шестая находится сразу. Типичный сценарий: даны все четыре стороны вписанного четырёхугольника и одна диагональ - вторая диагональ выражается напрямую:

$BD = \frac{AB \cdot CD + BC \cdot DA}{AC}.$

Часто теорему комбинируют с теоремой косинусов или с формулой для диагоналей через стороны. Особенно красиво она работает в задачах с правильными многоугольниками: например, если на дуге описанной окружности правильного треугольника $ABC$ взять точку $P$, то для вписанного четырёхугольника $ABPC$ теорема Птолемея сразу даёт соотношение $PA = PB + PC$ - расстояние до дальней вершины равно сумме расстояний до двух ближних. Без теоремы такой факт пришлось бы доказывать долго.

Чтобы примерить теорему к своей задаче, задайте в калькуляторе положения вершин или известные длины и посмотрите, какое из шести значений нужно найти, а кнопка развернёт полное решение с подстановкой в чате.

Частые ошибки

• Применение к невписанному четырёхугольнику. Равенство Птолемея верно только когда все четыре вершины лежат на одной окружности. Для произвольного четырёхугольника выполняется лишь неравенство, и точное равенство подставлять нельзя.
• Путаница противоположных и смежных сторон. В правой части перемножаются именно противоположные стороны: $AB\cdot CD$ и $BC\cdot DA$. Если перемножить смежные, формула станет неверной.
• Нарушение порядка вершин. Вершины $ABCD$ должны идти по окружности подряд. При другом порядке $AC$ и $BD$ перестают быть диагоналями, и тождество не работает.
• Подстановка длин дуг вместо хорд. В теореме фигурируют прямые отрезки между вершинами (хорды), а не длины дуг. Длину хорды считают по формуле $2R\sin(\varphi/2)$.
• Забытый квадратный корень в диагонали. При работе с квадратом и правильными фигурами диагональ часто содержит $\sqrt{2}$ или другой корень - его легко потерять и получить неверный численный ответ.

FAQ

Для какого четырёхугольника верна теорема Птолемея? Только для вписанного, то есть такого, у которого все четыре вершины лежат на одной окружности. Для любого другого четырёхугольника произведение диагоналей строго меньше суммы произведений противоположных сторон, и равенство не достигается.

Как из теоремы Птолемея найти диагональ? Если известны все стороны и одна диагональ, вторая находится из равенства $AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA$. Например, $BD = (AB\cdot CD + BC\cdot DA)/AC$. Достаточно подставить известные длины и выразить нужную.

Чем отличается теорема Птолемея от неравенства Птолемея? Неравенство $AC\cdot BD \le AB\cdot CD + BC\cdot DA$ выполняется для любого четырёхугольника. Теорема - это случай равенства, который реализуется тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписан в окружность. Поэтому равенство Птолемея служит признаком вписанности.

Коротко

Теорема Птолемея утверждает, что для вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA$. Доказывается она построением вспомогательной точки на диагонали и двумя подобиями треугольников, опирающимися на вписанные углы. На практике теорема даёт одно уравнение на шесть длин: зная пять, находят шестую, а длины удобно выражать через радиус и центральные углы по формуле хорды $2R\sin(\varphi/2)$.