Неравенство Птолемея: формула и условие равенства

Неравенство Птолемея - одно из самых изящных утверждений планиметрии: для любых четырёх точек $A$, $B$, $C$, $D$ на плоскости произведение диагоналей не превышает суммы произведений противоположных сторон. При этом равенство достигается ровно тогда, когда четыре точки лежат на одной окружности в соответствующем порядке. Этот факт связывает теорему Птолемея (II век н.э., александрийский астроном Клавдий Птолемей) с общей геометрией и открывает путь к десяткам олимпиадных лемм. Подвигайте ползунки в калькуляторе ниже, чтобы сразу увидеть, как меняются стороны и диагонали вписанного четырёхугольника при движении вершин по окружности.

Формулировка неравенства и теоремы Птолемея

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ - четыре точки плоскости. Тогда:

$$|AC| \cdot |BD| \leq |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|.$$

Это и есть неравенство Птолемея в общем виде. Здесь $|AC|$, $|BD|$ - диагонали «четырёхугольника» $ABCD$, а $|AB| \cdot |CD|$ и $|AD| \cdot |BC|$ - произведения противоположных сторон.

Теорема Птолемея - частный случай: если $ABCD$ является вписанным четырёхугольником (все четыре вершины лежат на одной окружности и расположены в этом порядке), то выполняется точное равенство:

$$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|.$$

Обратное тоже верно: если равенство достигается, то $ABCD$ - вписанный четырёхугольник (или три точки из четырёх коллинеарны, что является вырожденным случаем). Обратите внимание, что в левой части стоит произведение диагоналей, а в правой - сумма произведений пар противоположных сторон. Формула не симметрична относительно перестановки вершин: если поменять порядок $B$ и $D$, диагонали и стороны поменяются местами.

Рассчитать для своей задачи

Доказательство через инверсию

Самое короткое и наглядное доказательство использует инверсию относительно вершины $D$ с произвольным радиусом $r$. Инверсия переводит точку $X \neq D$ в точку $X'$ на луче $DX$ такую, что $|DX| \cdot |DX'| = r^2$. При этом расстояние между образами точек выражается формулой:

$$|X'Y'| = \frac{r^2 \cdot |XY|}{|DX| \cdot |DY|}.$$

Пусть $A'$, $B'$, $C'$ - образы точек $A$, $B$, $C$ при инверсии относительно $D$. Тогда:

$$|A'B'| = \frac{r^2 \cdot |AB|}{|DA| \cdot |DB|}, \quad |B'C'| = \frac{r^2 \cdot |BC|}{|DB| \cdot |DC|}, \quad |A'C'| = \frac{r^2 \cdot |AC|}{|DA| \cdot |DC|}.$$

По неравенству треугольника для точек $A'$, $B'$, $C'$:

$$|A'C'| \leq |A'B'| + |B'C'|.$$

Подставляем выражения через исходные расстояния и умножаем обе части на $\dfrac{|DA| \cdot |DB| \cdot |DC|}{r^2}$:

$$|AC| \cdot |DB| \leq |AB| \cdot |DC| + |BC| \cdot |DA|,$$

что и есть неравенство Птолемея. Равенство в неравенстве треугольника достигается тогда, когда $B'$ лежит на отрезке $A'C'$. При инверсии это означает, что $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности: окружность, проходящая через $A$, $B$, $C$, инвертируется в прямую $A'B'C'$ именно тогда, когда $D$ тоже лежит на этой окружности.

Рассчитать для своей задачи

Лемма Птолемея для треугольника

Особенно полезна версия теоремы для треугольника с точкой на описанной окружности. Пусть $ABC$ - треугольник, вписанный в окружность, и $P$ - произвольная точка той же окружности, расположенная на дуге $AC$, не содержащей $B$. Тогда:

$$PA \cdot BC + PC \cdot AB = PB \cdot AC.$$

Это прямое следствие теоремы Птолемея, применённой к вписанному четырёхугольнику $PABC$. Лемма чрезвычайно удобна: она выражает одну «длинную» хорду через две «короткие» и стороны треугольника. Именно этот факт лежит в основе многих олимпиадных конструкций.

Частный случай: если $P$ - середина дуги $BC$ (то есть $PA$ - биссектриса из $A$ в описанной окружности), то $PB = PC$ и формула принимает вид $PB \cdot (AB + AC) = BC \cdot PA$ - соотношение, полезное при задачах на биссектрису. Ещё один важный частный случай: если $P$ - точка диаметрально противоположная $B$, то $PB$ является диаметром описанной окружности и $PB = 2R$, где $R$ - радиус. Лемма в этом случае выражает диаметр через стороны и хорды треугольника.

Лемма Птолемея также служит мостом к формулам тригонометрии. Рассмотрим единичную окружность ($R = 1$) и вписанный четырёхугольник $ABCD$, где центральные углы заданы параметрами $\alpha$ и $\beta$. Тогда хорды выражаются через синусы вписанных углов, и формула Птолемея принимает вид $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ - классическая формула сложения, выведенная без дифференциального исчисления. Именно так Птолемей и строил свои таблицы хорд в «Альмагесте».

Следствие для прямоугольника и квадрата

Для прямоугольника $ABCD$ ($AB = CD = a$, $BC = AD = b$, диагонали равны $d$):

$$d \cdot d = a \cdot a + b \cdot b \implies d^2 = a^2 + b^2,$$

то есть теорема Птолемея даёт теорему Пифагора как частный случай. Для квадрата ($a = b$) получаем $d = a\sqrt{2}$.

Для правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, сторона равна $s = 2R\sin(\pi/n)$, а диагонали выражаются через $2R\sin(k\pi/n)$, $k = 1, 2, \ldots$. Теорема Птолемея для правильного пятиугольника даёт знаменитое тождество через золотое сечение: если сторона равна $1$, то диагональ $= \varphi = (1+\sqrt{5})/2$.

Из этого же тождества следует, что для правильного шестиугольника сторона равна радиусу: $2R\sin(\pi/6) = 2R \cdot 1/2 = R$. А диагонали шестиугольника равны $R\sqrt{3}$ (меньшая) и $2R$ (большая, проходящая через центр). Теорема Птолемея для шестиугольника воспроизводит тождество $\sin(60°)\cdot 2R = \sin(30°)\cdot R\sqrt{3} + \sin(30°)\cdot R\sqrt{3}$, что проверяется непосредственно.

Обратная теорема Птолемея

Обратная теорема формулируется так: если для четырёх точек $A$, $B$, $C$, $D$ выполняется равенство

$$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|,$$

то эти четыре точки лежат на одной окружности (или три из них коллинеарны). Доказательство использует то же рассуждение с инверсией в обратную сторону: равенство в неравенстве треугольника для $A'$, $B'$, $C'$ означает их коллинеарность, что соответствует тому, что $A$, $B$, $C$, $D$ конциклические.

На практике обратная теорема позволяет доказывать вписанность четырёх точек: достаточно проверить числовое равенство произведений. Это особенно ценно, когда традиционные критерии вписанности (сумма противоположных углов равна $180°$) применить затруднительно.

Применение в олимпиадных задачах

Неравенство Птолемея появляется в олимпиадах в нескольких характерных ролях:

Оценка диагоналей. Нужно оценить $|AC| \cdot |BD|$ снизу или сверху, зная стороны. Неравенство даёт $|AC| \cdot |BD| \leq |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|$, а теорема - точное значение для вписанного случая.

Доказательство конциклических точек. Если задание требует доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, а стороны известны числово, то проверка равенства Птолемея - один из самых коротких путей.

Тригонометрические тождества. Применяя теорему Птолемея к правильным многоугольникам или единичной окружности, получают тождества вида $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Это один из способов вывести формулы сложения без аналитической геометрии.

Расстояния от точки до вершин. Если $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, лемма Птолемея выражает одно расстояние через два других и стороны - часто это ключевой шаг в геометрических неравенствах.

Геометрические тождества в четырёхугольниках. Многие задачи на описанные четырёхугольники с конкретными числовыми данными сводятся к одному применению теоремы: стороны и диагонали связываются одним уравнением, и неизвестная сторона или диагональ находится напрямую.

Разберём классический пример: вписанный четырёхугольник $ABCD$, у которого $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 3$, $DA = 4$ и диагональ $AC = \sqrt{14}$. По теореме Птолемея:

$$\sqrt{14} \cdot BD = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 11 \implies BD = \frac{11}{\sqrt{14}} = \frac{11\sqrt{14}}{14}.$$

Обратите внимание, что без условия вписанности задача была бы неопределённой: диагональ $BD$ могла бы принимать целый диапазон значений. Условие вписанности фиксирует ответ единственным образом через одно уравнение. Именно в этом состоит практическая мощь теоремы: из геометрического условия (точки на окружности) рождается алгебраическая связь между длинами.

Частые ошибки

• Перепутать порядок вершин. Теорема Птолемея верна для вписанного четырёхугольника $ABCD$, где вершины идут по окружности в этом порядке (по часовой или против). Если взять перекрёстный четырёхугольник $ABDC$, формула изменится: диагонали и стороны поменяются местами.
• Применять равенство к невписанному четырёхугольнику. Для произвольных четырёх точек выполняется только неравенство $|AC| \cdot |BD| \leq |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|$, но не равенство.
• Путать диагонали и стороны. В формуле $|AC|$ и $|BD|$ - это диагонали четырёхугольника $ABCD$, а $|AB|$, $|BC|$, $|CD|$, $|DA|$ - стороны. Нумерация вершин задаёт, что есть что.
• Игнорировать вырожденные случаи. Если три из четырёх точек коллинеарны, равенство тоже может выполняться, но это не означает конциклический случай в полном смысле.
• Не проверять порядок на окружности. В лемме Птолемея важно, на какой дуге лежит точка $P$. Для $P$ на другой дуге формула меняется.

FAQ

Чем неравенство Птолемея отличается от теоремы Птолемея?

Теорема Птолемея - это равенство $|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|$, которое выполняется строго для вписанного четырёхугольника. Неравенство Птолемея - более общее утверждение: для любых четырёх точек левая часть не превышает правую. Равенство в неравенстве - это и есть теорема Птолемея плюс обратная к ней.

Как доказать теорему Птолемея без инверсии?

Классическое доказательство через подобие треугольников: на диагонали $AC$ откладывают точку $E$ такую, что $\angle ABE = \angle DBC$. Тогда треугольники $ABE$ и $DBC$ подобны, как и треугольники $ABD$ и $EBC$. Из пропорций подобия выводят нужное тождество. Доказательство через инверсию короче и обобщается сразу на неравенство.

Где используется неравенство Птолемея в математике?

В планиметрии - для доказательства конциклической четвёрки точек, в задачах на расстояния от точки до вершин вписанного многоугольника. В тригонометрии - для вывода формул сложения синуса и косинуса. В олимпиадах - в задачах на геометрические неравенства и в конструкциях с вписанными конфигурациями. Обобщение на сферическую геометрию используется в астрономии (Птолемей сам применял его для вычисления хорд в таблицах).

Коротко

Неравенство Птолемея утверждает: для любых четырёх точек $A$, $B$, $C$, $D$ на плоскости выполняется $|AC| \cdot |BD| \leq |AB| \cdot |CD| + |AD| \cdot |BC|$, и равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABCD$ - вписанный четырёхугольник. Доказательство через инверсию сводит его к неравенству треугольника. Теорема Птолемея охватывает теорему Пифагора как частный случай (прямоугольник), формулы сложения тригонометрических функций и лемму о точке на описанной окружности треугольника - всё это делает её одним из центральных инструментов олимпиадной геометрии.