Прямая Симсона: теорема, доказательство и свойства

Прямая Симсона - одно из самых изящных утверждений планиметрии: если взять любую точку на окружности, описанной около треугольника, и опустить из неё перпендикуляры на три стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Стоит сдвинуть точку с окружности - и коллинеарность мгновенно теряется, основания расходятся в маленький треугольник. Ниже разберём точную формулировку теоремы, её доказательство через вписанные углы, обратное утверждение и несколько свойств, которые любят выносить в задачи. Чтобы сразу увидеть, как работает условие, покрути калькулятор ниже: он строит треугольник с описанной окружностью, опускает перпендикуляры из подвижной точки и показывает, как площадь треугольника оснований схлопывается в ноль, едва точка попадает на окружность.

Что такое прямая Симсона

Возьмём треугольник $ABC$ и опишем около него окружность. Выберем на этой окружности произвольную точку $P$ и опустим из неё перпендикуляры на три прямые, содержащие стороны: на $AB$, на $BC$ и на $CA$. Основания этих перпендикуляров обозначим $H_{AB}$, $H_{BC}$ и $H_{CA}$.

Теорема Симсона утверждает: точки $H_{AB}$, $H_{BC}$, $H_{CA}$ лежат на одной прямой. Эта прямая и называется прямой Симсона (иногда - прямой Уоллеса-Симсона, по имени Уильяма Уоллеса, который опубликовал её первым). Важная оговорка: перпендикуляры опускаются именно на прямые-стороны, а не на отрезки, поэтому некоторые основания могут оказаться на продолжениях сторон - это нормально и на коллинеарность не влияет.

Три точки, спроецированные из одной точки на стороны треугольника, в общем случае образуют так называемый педальный треугольник. Уникальность прямой Симсона в том, что для точек описанной окружности этот педальный треугольник вырождается: его площадь обращается в ноль, и три вершины ложатся на одну линию.

Доказательство теоремы Симсона

Рассчитать для своей задачи

Классическое доказательство опирается на вписанные четырёхугольники. Перпендикуляры из $P$ к двум сторонам, выходящим из одной вершины, образуют прямые углы; а пара прямых углов, опирающихся на общий отрезок, даёт вписанный четырёхугольник.

Рассмотрим основания $H_{CA}$ (на стороне $CA$) и $H_{AB}$ (на стороне $AB$). Углы $\angle P H_{CA} A$ и $\angle P H_{AB} A$ оба прямые, значит, точки $P$, $H_{CA}$, $A$, $H_{AB}$ лежат на одной окружности с диаметром $PA$. Отсюда

$\angle H_{CA} H_{AB} P = \angle H_{CA} A P = \angle CAP,$

как углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично для оснований $H_{AB}$ и $H_{BC}$: точки $P$, $H_{AB}$, $B$, $H_{BC}$ лежат на окружности с диаметром $PB$, откуда

$\angle H_{BC} H_{AB} P = \angle H_{BC} B P = \angle CBP.$

Теперь решающий шаг. Поскольку $P$ лежит на описанной окружности $ABC$, четырёхугольник $APBC$ (или $ABPC$, в зависимости от расположения) вписанный, и вписанные углы $\angle CAP$ и $\angle CBP$ опираются на одну и ту же дугу $CP$, то есть равны. Значит, углы $\angle H_{CA} H_{AB} P$ и $\angle H_{BC} H_{AB} P$ равны, но отложены по разные стороны от прямой $H_{AB} P$. Следовательно, лучи $H_{AB} H_{CA}$ и $H_{AB} H_{BC}$ образуют развёрнутый угол - то есть точки $H_{CA}$, $H_{AB}$, $H_{BC}$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Рассчитать для своей задачи

Ключевую роль здесь играет именно равенство вписанных углов $\angle CAP = \angle CBP$ - оно выполняется только потому, что $P$ на окружности. Сдвиньте $P$ внутрь или наружу, и это равенство пропадёт, а с ним пропадёт и коллинеарность.

Обратная теорема

Верно и обратное утверждение, и оно ничуть не менее полезно. Если основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямые $AB$, $BC$, $CA$, лежат на одной прямой, то точка $P$ обязательно принадлежит окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Доказывается обратная теорема тем же набором вписанных четырёхугольников, прочитанным в другую сторону: из коллинеарности оснований следует равенство углов $\angle CAP = \angle CBP$, а это равенство углов, опирающихся на отрезок $CP$ из точек $A$ и $B$, означает, что $A$, $B$, $C$, $P$ лежат на одной окружности.

Вместе прямая и обратная теоремы дают красивый критерий: основания перпендикуляров из точки $P$ коллинеарны тогда и только тогда, когда $P$ лежит на описанной окружности. Именно это «тогда и только тогда» и визуализирует калькулятор выше - площадь треугольника оснований служит мерой отклонения от прямой и обращается в ноль ровно на окружности.

Свойства прямой Симсона

У прямой Симсона есть несколько свойств, которые регулярно встречаются в олимпиадных и вузовских задачах:

• Угол между двумя прямыми Симсона. Если для двух точек $P$ и $Q$ описанной окружности построить их прямые Симсона, то угол между этими прямыми равен половине дуги $PQ$ (то есть вписанному углу, опирающемуся на $PQ$). Чем дальше точки по дуге, тем сильнее «развёрнуты» их прямые Симсона.
• Деление пополам. Прямая Симсона точки $P$ делит пополам отрезок, соединяющий $P$ с ортоцентром $H$ треугольника. Это связывает конструкцию с замечательными точками треугольника.
• Огибающая. Когда $P$ обходит всю окружность, прямые Симсона огибают кривую, называемую дельтоидой Штейнера, - гипоциклоиду с тремя остриями.
• Диаметрально противоположные точки. Прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек окружности перпендикулярны друг другу и пересекаются на окружности девяти точек.

Эти факты обычно не выводят в школьном курсе целиком, но первое свойство - про угол, равный половине дуги, - стоит запомнить: оно превращает многие задачи на две прямые Симсона в простой подсчёт дуг.

Частые ошибки

• Перпендикуляры на отрезки, а не на прямые. Основание перпендикуляра может попасть на продолжение стороны. Если строить проекцию только в пределах отрезка, точка «потеряется», и коллинеарность будет казаться нарушенной. Проецируйте на всю прямую.
• Точка вне окружности. Теорема работает строго для точек описанной окружности. Для произвольной внутренней или внешней точки основания образуют педальный треугольник ненулевой площади, прямой Симсона нет.
• Путаница с педальным треугольником. Прямая Симсона - это вырожденный (с нулевой площадью) случай педального треугольника, а не отдельная независимая конструкция. Полезно держать в голове, что это один и тот же объект.
• Забытое условие вписанности. В доказательстве равенство $\angle CAP = \angle CBP$ держится только на том, что $ABCP$ вписанный. Без явной ссылки на описанную окружность шаг неверен.
• Вершины треугольника. Если $P$ совпадает с вершиной, два основания сливаются, и прямая Симсона вырождается в высоту из этой вершины - это предельный, но корректный случай.

FAQ

Что такое прямая Симсона простыми словами? Это прямая, на которой лежат основания трёх перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности на стороны треугольника. Любая точка окружности даёт свою прямую Симсона; точки вне окружности её не дают.

Как доказать, что основания перпендикуляров коллинеарны? Через вписанные четырёхугольники: пары прямых углов при основаниях дают окружности на диаметрах $PA$ и $PB$, из которых следует равенство углов $\angle CAP = \angle CBP$. Это равенство выполняется, потому что $P$ на описанной окружности, и оно превращает два луча из общего основания в развёрнутый угол.

Чем прямая Симсона отличается от педального треугольника? Педальный треугольник строится из проекций любой точки на стороны. Когда точка лежит на описанной окружности, площадь педального треугольника становится нулевой, и три его вершины ложатся на прямую - это и есть прямая Симсона.

Коротко

Прямая Симсона - это прямая, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности на стороны треугольника. Коллинеарность доказывается через вписанные четырёхугольники и равенство вписанных углов $\angle CAP = \angle CBP$, а обратная теорема показывает, что условие «точка на окружности» здесь необходимое: основания коллинеарны тогда и только тогда, когда $P$ принадлежит описанной окружности. Из свойств чаще всего пригождается то, что угол между прямыми Симсона двух точек равен половине дуги между ними.