Радикальная ось двух окружностей: формула и задачи

Радикальная ось двух окружностей - это прямая, каждая точка которой имеет одинаковую степень относительно обеих окружностей. Понятие степени точки и радикальной оси соединяют алгебру и геометрию: одна и та же прямая выводится как из уравнений окружностей вычитанием, так и геометрически - через равенство длин касательных. Калькулятор ниже позволяет сразу увидеть ось на чертеже и проследить, как она смещается при изменении радиусов и расстояния между центрами.

Степень точки относительно окружности

Прежде чем говорить об оси, разберём понятие, на котором она построена. Для точки $P = (x_0, y_0)$ и окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ степенью точки называется число

$$\mathrm{pow}(P) = (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2.$$

Знак степени несёт геометрический смысл: если $\mathrm{pow}(P) < 0$, точка лежит внутри окружности; если $\mathrm{pow}(P) > 0$ - снаружи; если $\mathrm{pow}(P) = 0$ - прямо на ней. Когда точка находится снаружи ($\mathrm{pow}(P) > 0$), длина касательной из $P$ до точки касания равна $\sqrt{\mathrm{pow}(P)}$. Это следует непосредственно из теоремы Пифагора: квадрат касательной плюс квадрат радиуса равен квадрату расстояния до центра, то есть $t^2 + r^2 = |PO|^2$, откуда $t^2 = |PO|^2 - r^2 = \mathrm{pow}(P)$.

Рассчитать для своей задачи

Определение и вывод уравнения радикальной оси

Пусть даны две окружности:

$$\omega_1\colon\quad (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2,$$ $$\omega_2\colon\quad (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2.$$

Радикальная ось - это геометрическое место точек $P$, для которых $\mathrm{pow}_1(P) = \mathrm{pow}_2(P)$. Приравняем степени:

$$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 - r_1^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 - r_2^2.$$

Раскроем скобки. Члены $x^2$ и $y^2$ сокращаются с обеих сторон, и остаётся линейное уравнение относительно $x$ и $y$:

$$-2a_1 x - 2b_1 y + a_1^2 + b_1^2 - r_1^2 = -2a_2 x - 2b_2 y + a_2^2 + b_2^2 - r_2^2.$$

Перенесём всё влево:

$$2(a_2 - a_1)x + 2(b_2 - b_1)y + (a_1^2 + b_1^2 - r_1^2 - a_2^2 - b_2^2 + r_2^2) = 0.$$

Это уравнение первой степени - прямая. Коэффициент при $x$ пропорционален разности абсцисс центров, при $y$ - разности ординат. Если центры лежат на одной горизонтальной прямой ($b_1 = b_2$), ось параллельна оси $y$; при симметричном расположении центров $O_1 = (-d/2, 0)$ и $O_2 = (d/2, 0)$ формула x-координаты оси принимает особенно простой вид:

$$x_{\mathrm{ось}} = \frac{r_1^2 - r_2^2}{2d},$$

где $d$ - расстояние между центрами. При равных радиусах $r_1 = r_2$ ось проходит через середину отрезка $O_1 O_2$.

Рассчитать для своей задачи

Частные случаи и взаимное расположение

Радикальная ось существует для любого взаимного расположения окружностей - в отличие от общих касательных, которые исчезают при вложении одной окружности в другую. Рассмотрим три случая:

Окружности пересекаются. Степень каждой из двух точек пересечения относительно обеих окружностей равна нулю (точки лежат на обеих окружностях), поэтому обе точки принадлежат радикальной оси. Значит, радикальная ось совпадает с хордой, соединяющей точки пересечения - её называют общей хордой или коренной хордой. Это важное свойство часто используется в задачах: уравнение общей хорды двух пересекающихся окружностей получается вычитанием их уравнений.

Окружности касаются (внешне или внутренне). Точка касания лежит на обеих окружностях, значит, степени равны нулю, и она лежит на радикальной оси. В случае внешнего касания ось проходит через точку касания перпендикулярно линии центров; при внутреннем - аналогично.

Окружности не пересекаются и не касаются. Общих точек нет, и ось проходит между окружностями (при внешнем расположении) или вне их (при вложении). Ни одна точка оси не лежит на окружностях, но из каждой точки оси можно провести касательную к каждой окружности, и обе касательные будут равны.

Построение радикальной оси на чертеже

Для построения удобно использовать геометрический метод, не прибегая к уравнениям. Достаточно найти две точки с равными степенями относительно обеих окружностей.

Один из приёмов - провести произвольную секущую, которая пересекает обе окружности, и использовать теорему о произведении отрезков хорды. Если секущая, проходящая через точку $P$, пересекает $\omega_1$ в точках $A$ и $B$, а $\omega_2$ в точках $C$ и $D$, то:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD \iff P \text{ лежит на радикальной оси}.$$

Это равенство называют свойством степени точки относительно окружности через хорды. На практике для построения чаще всего проводят две секущие, находят по одной точке, у которой степени равны, и соединяют их прямой.

Другой приём: если окружности пересекаются или касаются - ось сразу видна (хорда или точка касания), достаточно провести через неё перпендикуляр к прямой центров.

Радикальный центр трёх окружностей

Для трёх окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ можно построить три радикальные оси попарно: ось $\omega_1 \omega_2$, ось $\omega_2 \omega_3$ и ось $\omega_1 \omega_3$. Теорема утверждает, что все три оси пересекаются в одной точке - радикальном центре.

Доказательство элементарно: пусть $R$ - точка пересечения двух осей. Тогда $\mathrm{pow}_1(R) = \mathrm{pow}_2(R)$ (из первой оси) и $\mathrm{pow}_2(R) = \mathrm{pow}_3(R)$ (из второй). Значит, $\mathrm{pow}_1(R) = \mathrm{pow}_3(R)$, то есть $R$ лежит и на третьей оси. Транзитивность равенства степеней сразу даёт вывод.

Радикальный центр находится вычислением двух систем уравнений (два вычитания уравнений окружностей) и решением линейной системы $2 \times 2$. В олимпиадных задачах его координаты часто выражаются через радиусы и центры в виде явной формулы.

Применение в задачах

Радикальная ось - стандартный инструмент олимпиадной геометрии. Перечислим основные ситуации, где она помогает.

Задачи на нахождение точек с равными касательными. Нужно найти точку вне двух окружностей, из которой касательные к обеим равны, - это любая точка радикальной оси с ненулевой степенью.

Задачи на коаксиальные пучки. Семейство окружностей, у которых одна и та же прямая является радикальной осью для каждой пары, называется пучком (коаксиальным). Все окружности пучка проходят через одни и те же «предельные точки» (при пересекающемся пучке - через общие точки), либо имеют общую касательную (в касательном пучке). Понятие пучка возникает при инверсии и при изучении конформных отображений.

Задачи на «вычитание уравнений». Если две окружности заданы общим уравнением вида $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, их радикальная ось получается вычитанием уравнений:

$$(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0.$$

Это мгновенный алгоритм, не требующий раскрытия квадратов - при олимпиадном ограничении времени он экономит несколько минут.

Частые ошибки

• Сокращение квадратичных членов без проверки. При вычитании уравнений квадраты $x^2$ и $y^2$ сокращаются только в том случае, если оба уравнения имеют коэффициент 1 при этих членах. Если уравнение записано в виде $2x^2 + 2y^2 + \ldots = 0$, перед вычитанием нужно разделить на 2.
• Ошибка знака при выводе формулы. При переносе $r_1^2 - r_2^2$ в правую часть легко перепутать знак. Контрольная проверка: подставить координаты известной точки (например, точки пересечения окружностей) и убедиться, что уравнение обращается в тождество.
• Считать, что ось проходит через центры. Радикальная ось перпендикулярна прямой центров, но, как правило, не совпадает с ней и не проходит через центры.
• Путаница с пересечением и касанием. При внешнем касании точка касания лежит на оси, но ось - это целая прямая, не только эта точка.
• Игнорирование знака степени. Если степень отрицательна, длина касательной мнимая: точка находится внутри окружности, и из неё нельзя провести касательную. Задача на «длину касательной» корректна только при положительной степени.

FAQ

Что такое радикальная ось двух концентрических окружностей? Если центры совпадают ($a_1 = a_2$, $b_1 = b_2$), коэффициенты при $x$ и $y$ в уравнении оси обнуляются, а оставшийся свободный член $r_1^2 - r_2^2 \ne 0$. Уравнение превращается в $0 = r_1^2 - r_2^2 \ne 0$ - противоречие. Радикальная ось для концентрических окружностей с разными радиусами не существует: нет ни одной точки плоскости с равными степенями.

Как связана радикальная ось с инверсией? При инверсии с центром в точке $P$ и произвольным радиусом окружность, проходящая через $P$, переходит в прямую. Если $P$ - точка на радикальной оси, то при выборе радиуса инверсии $k^2 = \mathrm{pow}_1(P) = \mathrm{pow}_2(P)$ обе окружности отображаются в окружности одного и того же радиуса. Это свойство используют при построении трансформаций, сохраняющих углы.

Как найти радикальную ось, если окружности заданы в общем виде? Записываем оба уравнения в форме $x^2 + y^2 + D_i x + E_i y + F_i = 0$. Вычитаем первое из второго: $(D_2 - D_1)x + (E_2 - E_1)y + (F_2 - F_1) = 0$. Это и есть искомая прямая. Метод работает мгновенно и не требует нахождения центров и радиусов явно.

Коротко

Радикальная ось двух окружностей - прямая, перпендикулярная прямой их центров, точки которой имеют равные степени относительно обеих окружностей. Её уравнение получается вычитанием уравнений окружностей; при симметричном расположении центров $x$-координата оси равна $(r_1^2 - r_2^2)/(2d)$. Три радикальные оси трёх попарных окружностей всегда сходятся в одной точке - радикальном центре. Метод вычитания уравнений и свойство равенства касательных делают радикальную ось мощным инструментом в задачах аналитической и олимпиадной геометрии.