Приведённые гомологии: зачем убирают лишнюю Z

Приведённые гомологии - это аккуратная «нормировка» обычных гомологий, которая делает все группы непустого пространства равными нулю у одной-единственной точки. Достигается это добавлением в цепной комплекс ещё одного оператора - аугментации. В результате формулы для надстройки, точных последовательностей и относительных гомологий перестают тащить за собой надоедливое лишнее слагаемое $\mathbb{Z}$ в нулевой размерности. Ниже разберём, откуда оно берётся, как его убирают и почему это удобно. Если хочется сразу прогнать конкретное пространство, форма ниже соберёт корректный запрос.

Откуда берётся лишняя Z в H_0

Напомним, что нулевая группа гомологий $H_0(X)$ - это свободная абелева группа, ранг которой равен числу компонент линейной связности пространства $X$. Для связного непустого $X$ получаем $H_0(X) \cong \mathbb{Z}$. То есть даже у точки, у отрезка и у диска - у всего, что стягиваемо, - нулевая группа гомологий не пуста, а равна $\mathbb{Z}$.

Это слегка портит общую картину: гомотопически тривиальное пространство (точка) «должно» иметь все инварианты нулевыми, а у него $H_0 = \mathbb{Z}$. Эта единственная копия $\mathbb{Z}$ выпадает из множества красивых формул и вынуждает в каждой теореме отдельно оговаривать случай размерности 0. Приведённые гомологии $\widetilde{H}_n(X)$ как раз и убирают эту копию.

Рассчитать для своей задачи

Определение через дополненный комплекс

Берём обычный сингулярный (или симплициальный) цепной комплекс пространства $X$ и достраиваем его слева на один шаг - добавляем группу $\mathbb{Z}$ в размерности $-1$ и так называемый оператор аугментации $\varepsilon : C_0(X) \to \mathbb{Z}$.

$$\cdots \to C_1(X) \xrightarrow{\partial_1} C_0(X) \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0.$$

Аугментация задаётся на образующих просто:

$$\varepsilon\left( \sum_i a_i \sigma_i \right) = \sum_i a_i,$$

то есть каждому $0$-симплексу (точке) сопоставляется $1$, а цепи - сумма её коэффициентов. Легко проверить, что $\varepsilon \circ \partial_1 = 0$: граница любого отрезка - это «конец минус начало», и сумма коэффициентов такой границы равна нулю. Значит, $\varepsilon$ продолжает граничный оператор в цепной комплекс ещё на один член.

Рассчитать для своей задачи

Этот достроенный объект называют дополненным (или аугментированным) цепным комплексом. Сама конструкция чисто алгебраическая и опирается на ту же машинерию граничного оператора, что и обычные симплициальные комплексы.

Что такое приведённые группы H̃_n

Приведённые гомологии $\widetilde{H}_n(X)$ - это просто гомологии дополненного комплекса:

$$\widetilde{H}_n(X) = \frac{\ker \partial_n}{\operatorname{im} \partial_{n+1}}, \qquad n \ge 1,$$

а в нулевой размерности роль граничного оператора играет аугментация:

$$\widetilde{H}_0(X) = \frac{\ker \varepsilon}{\operatorname{im} \partial_1}.$$

В старших размерностях ничего не меняется: $\widetilde{H}_n = H_n$ при $n \ge 1$, потому что аугментация затрагивает только нижний конец комплекса. А вот в размерности 0 ядро уменьшилось: вместо всего $C_0$ мы факторизуем по меньшему подмодулю $\ker \varepsilon$ - тех цепей, у которых сумма коэффициентов равна нулю.

Чтобы прочувствовать это, удобно думать о $\ker \varepsilon$ как о «цепях с нулевым суммарным зарядом». Если у пространства одна точка-образующая в каждой компоненте, то приведённый класс - это разность двух таких точек, и две точки в одной компоненте дают нулевой класс (их соединяет путь). Поэтому связное пространство не оставляет ни одного нетривиального приведённого $0$-класса: всё, что суммируется в ноль, оказывается границей. Именно поэтому приведённые гомологии естественнее обычных там, где важна не «абсолютная» расположенность компонент, а их взаимное расположение.

Связь с обычными гомологиями

Главная формула, ради которой всё затевалось, выглядит так. Для непустого пространства

$$H_n(X) \cong \widetilde{H}_n(X) \quad (n \ge 1), \qquad H_0(X) \cong \widetilde{H}_0(X) \oplus \mathbb{Z}.$$

То есть приведённые гомологии отличаются от обычных ровно одной копией $\mathbb{Z}$ в нулевой размерности - той самой «лишней» компонентой. Если $X$ имеет $k$ компонент связности, то $H_0(X) \cong \mathbb{Z}^k$, а $\widetilde{H}_0(X) \cong \mathbb{Z}^{k-1}$: приведённая версия считает не сами компоненты, а «разности» между ними.

Гомологии точки и сферы

Контрольный пример - одна точка $\mathrm{pt}$. Её дополненный комплекс это $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$, причём $\varepsilon$ - изоморфизм (единственный $0$-симплекс идёт в $1$). Поэтому

$$\widetilde{H}_n(\mathrm{pt}) = 0 \quad \text{для всех } n.$$

Все приведённые гомологии точки равны нулю - ровно то, чего мы хотели от гомотопически тривиального пространства. Это и есть «нормировка»: стягиваемое пространство неотличимо от пустоты с точки зрения $\widetilde{H}$.

Второй классический пример - $n$-мерная сфера $S^n$. Здесь приведённые гомологии собираются в одну компактную формулу без оговорок про размерность 0:

$$\widetilde{H}_k(S^n) = \begin{cases} \mathbb{Z}, & k = n, \\ 0, & k \ne n. \end{cases}$$

В обычных гомологиях пришлось бы отдельно писать, что $H_0(S^n) = \mathbb{Z}$ и $H_n(S^n) = \mathbb{Z}$ совпадают при $n = 0$ и различаются при $n \ge 1$ - приведённая версия эту развилку устраняет. Поскольку приведённые гомологии - гомотопический инвариант, у любого пространства, гомотопически эквивалентного сфере, будет та же картина.

Зачем это нужно: надстройка и пары

Главная практическая выгода - формула надстройки. Для приведённых гомологий она безупречно чистая:

$$\widetilde{H}_n(\Sigma X) \cong \widetilde{H}_{n-1}(X),$$

где $\Sigma X$ - надстройка над $X$. Именно отсюда мгновенно следуют гомологии сфер по индукции: $S^n = \Sigma S^{n-1}$, и размерность ненулевой группы каждый раз сдвигается на единицу. В обычных гомологиях этот сдвиг ломался бы на нулевой размерности из-за лишней $\mathbb{Z}$.

Приведённые гомологии также делают аккуратнее длинную точную последовательность пары $(X, A)$: при использовании $\widetilde{H}$ относительные группы $H_n(X, A)$ встраиваются в последовательность без особого обращения с размерностью 0, когда $A$ непусто. Это стандартный рабочий инструмент при вычислении гомологий клеточных комплексов.

Ещё один сюжет, где приведённая версия незаменима, - формула для букета. Гомологии букета пространств $X \vee Y$ выражаются как прямая сумма именно приведённых групп:

$$\widetilde{H}_n(X \vee Y) \cong \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y).$$

С обычными гомологиями такая формула неверна: точка склейки давала бы лишнюю $\mathbb{Z}$ в $H_0$, и слагаемые «не сходились» бы. Приведённый вариант снимает эту проблему, потому что точка-склейка как раз и есть та самая нормирующая компонента. Поэтому при счёте гомологий букетов окружностей, сфер разной размерности или более экзотических комплексов почти всегда работают именно с $\widetilde{H}$, а к обычным $H_n$ возвращаются только на последнем шаге, добавляя одну копию $\mathbb{Z}$ в нулевую размерность.

Частые ошибки

• Думать, что приведённые гомологии меняют что-то в старших размерностях. Нет: $\widetilde{H}_n = H_n$ при всех $n \ge 1$, разница только в $H_0$.
• Терять знак или забывать, что аугментация - это сумма коэффициентов, а не количество симплексов с учётом ориентации в каждой размерности (она определена только на $C_0$).
• Применять формулу $H_0 = \widetilde{H}_0 \oplus \mathbb{Z}$ к пустому пространству. Для пустого $X$ соглашение особое: $\widetilde{H}_{-1}(\varnothing) = \mathbb{Z}$, а все обычные группы нулевые.
• Путать приведённые гомологии с приведёнными когомологиями - конструкция двойственна, но это другой объект.
• Считать, что $\widetilde{H}_0$ всегда нулевая. Она нулевая только для связного пространства; у $k$ компонент она равна $\mathbb{Z}^{k-1}$.

FAQ

Чем приведённые гомологии отличаются от обычных? Только в нулевой размерности: приведённая группа $\widetilde{H}_0$ на одну копию $\mathbb{Z}$ меньше обычной $H_0$. Формально $H_0 \cong \widetilde{H}_0 \oplus \mathbb{Z}$, а $\widetilde{H}_n = H_n$ при $n \ge 1$. Достигается добавлением оператора аугментации в цепной комплекс.

Почему у точки все приведённые гомологии нулевые? Потому что дополненный комплекс точки - это изоморфизм $\mathbb{Z} \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z}$, у которого нет ни ядра, ни коядра. Это и есть смысл «приведения»: стягиваемое пространство должно быть гомологически неотличимо от пустоты.

Что такое оператор аугментации? Это гомоморфизм $\varepsilon : C_0(X) \to \mathbb{Z}$, сопоставляющий цепи сумму её коэффициентов. Он продолжает граничный оператор на один шаг влево, потому что $\varepsilon \circ \partial_1 = 0$, и превращает обычный комплекс в дополненный.

Коротко

Приведённые гомологии $\widetilde{H}_n(X)$ получаются из обычных добавлением оператора аугментации $\varepsilon$, который убирает лишнюю копию $\mathbb{Z}$ в нулевой размерности. В итоге $\widetilde{H}_n = H_n$ при $n \ge 1$, $H_0 = \widetilde{H}_0 \oplus \mathbb{Z}$, все группы точки нулевые, а формула надстройки и точные последовательности пар записываются без оговорок про размерность 0.