Симплициальные гомологии: считаем дырки комплекса

Симплициальные гомологии переводят геометрический вопрос «сколько у фигуры дырок и какой размерности» на язык линейной алгебры. Вы разбиваете пространство на треугольники, тетраэдры и их аналоги, выписываете граничный оператор и считаете ядра и образы. Группы гомологий $H_n$ и их ранги - числа Бетти $b_n$ - оказываются топологическими инвариантами: они не меняются при непрерывной деформации фигуры. Ниже разберём, из чего собирается этот аппарат и как довести расчёт до ответа на конкретном комплексе. Если нужно проверить свою выкладку или посчитать $H_n$ для заданной триангуляции - соберите запрос ниже.

Цепи: из симплексов в группы

Отправная точка - симплициальный комплекс $K$: набор вершин, рёбер, треугольников и симплексов выше, склеенных по граням. Зафиксировав ориентацию каждого симплекса, мы образуем группу $n$-мерных цепей $C_n(K)$ - это свободная абелева группа, базис которой составляют все $n$-симплексы комплекса. Элемент $C_n$ - формальная целочисленная комбинация симплексов, например $2\sigma_1 - \sigma_2$.

Если в комплексе $k_n$ симплексов размерности $n$, то $C_n \cong \mathbb{Z}^{k_n}$. Цепи разных размерностей выстраиваются в последовательность:

$$\cdots \to C_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_n \xrightarrow{\partial_n} C_{n-1} \to \cdots \to C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \to 0$$

Эта последовательность - цепной комплекс, основа всей конструкции. Сами по себе группы $C_n$ не несут топологии; топологию вносит способ, которым они связаны граничными отображениями. Структуру разбиения подробнее разбирает заметка про симплициальный комплекс.

Рассчитать для своей задачи

Граничный оператор и его главное свойство

Граничный оператор $\partial_n: C_n \to C_{n-1}$ сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. Для $n$-симплекса с вершинами $[v_0, v_1, \dots, v_n]$:

$$\partial_n [v_0, \dots, v_n] = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i [v_0, \dots, \hat{v_i}, \dots, v_n]$$

где $\hat{v_i}$ означает выброшенную вершину. Знаки $(-1)^i$ согласуют ориентации так, чтобы внутренние грани при склейке сокращались. Для ребра $\partial_1 [v_0, v_1] = v_1 - v_0$, для треугольника $\partial_2 [v_0, v_1, v_2] = [v_1, v_2] - [v_0, v_2] + [v_0, v_1]$.

Ключевое тождество - граница границы равна нулю:

$$\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0$$

Проверяется прямым раскрытием: каждая $(n-1)$-грань появляется в $\partial_n \partial_{n+1}$ дважды с противоположными знаками. Именно это равенство делает дальнейшую конструкцию осмысленной: образ одного оператора всегда лежит в ядре следующего.

Циклы и границы

Внутри $C_n$ выделяются две подгруппы. Циклы - это цепи без края, ядро граничного оператора:

$$Z_n = \ker \partial_n = \{ c \in C_n : \partial_n c = 0 \}$$

Границы - это цепи, которые сами являются краем чего-то на размерность выше, образ оператора:

$$B_n = \operatorname{im} \partial_{n+1} = \{ \partial_{n+1} d : d \in C_{n+1} \}$$

Из тождества $\partial \partial = 0$ следует вложение $B_n \subseteq Z_n$: всякая граница является циклом. Геометрически цикл - это замкнутая «петля» нужной размерности, а граница - петля, которую можно заклеить заполняющей цепью. Интересны как раз циклы, которые заклеить нельзя - они окружают настоящую дырку.

Рассчитать для своей задачи

Группа гомологий

Группа гомологий $H_n$ измеряет, насколько циклов больше, чем границ - то есть сколько незаклеиваемых дырок размерности $n$. Это факторгруппа:

$$H_n(K) = Z_n / B_n = \ker \partial_n / \operatorname{im} \partial_{n+1}$$

Два цикла считаются гомологичными, если их разность - граница. Класс гомологий - это цикл с точностью до заклеиваемой добавки. Если каждый цикл оказывается границей, $H_n = 0$ и дырок этой размерности нет.

Для конечного комплекса $H_n$ - конечно порождённая абелева группа, раскладывающаяся в свободную и кручёную части:

$$H_n \cong \mathbb{Z}^{b_n} \oplus T_n$$

Ранг свободной части $b_n$ - это $n$-е число Бетти, а $T_n$ - подгруппа кручения, отвечающая за «скрученные» дырки (как у проективной плоскости). Близкий вариант с убранной лишней копией $\mathbb{Z}$ в нулевой размерности разбирает заметка про приведённые гомологии.

Числа Бетти и связь с эйлеровой характеристикой

Числа Бетти читаются геометрически: $b_0$ - число компонент связности, $b_1$ - число независимых одномерных петель (туннелей), $b_2$ - число замкнутых полостей. Для окружности $b_0 = b_1 = 1$, для сферы $b_0 = b_2 = 1$ и $b_1 = 0$, для тора $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$.

Числа Бетти связаны с эйлеровой характеристикой знакочередующейся суммой:

$$\chi(K) = \sum_{n} (-1)^n k_n = \sum_{n} (-1)^n b_n$$

Левая сумма берётся по числу симплексов каждой размерности, правая - по числам Бетти. Равенство (теорема Эйлера–Пуанкаре) даёт удобную проверку расчёта: подсчитав группы гомологий, сверьте знакочередующуюся сумму их рангов с прямым подсчётом симплексов.

Рассчитать для своей задачи

Как довести расчёт до конца

Практический алгоритм для конечного комплекса: выпишите базисы $C_n$, постройте матрицы граничных операторов $\partial_n$ в этих базисах, приведите их к нормальной форме Смита. Ранг матрицы $\partial_n$ даёт размерность $B_{n-1}$, дефект - размерность $Z_n$, а недиагональные множители нормальной формы - кручение. Тогда $b_n = \dim Z_n - \dim B_n = (k_n - \operatorname{rank}\partial_n) - \operatorname{rank}\partial_{n+1}$.

Для небольших комплексов всё считается вручную. Возьмём окружность как границу треугольника: три вершины, три ребра, ноль двумерных симплексов. Тогда $Z_1 = \ker \partial_1$ одномерно (петля по трём рёбрам), а $B_1 = 0$, значит $H_1 = \mathbb{Z}$ и $b_1 = 1$. Для $H_0$: $C_0 = \mathbb{Z}^3$, образ $\partial_1$ задаёт разности вершин, факторгруппа - одна копия $\mathbb{Z}$, то есть $b_0 = 1$. Это и есть гомологии окружности.

Частые ошибки

• Путают знаки в граничном операторе. Без множителей $(-1)^i$ свойство $\partial \partial = 0$ ломается, и весь расчёт теряет смысл. Знак определяется позицией выброшенной вершины.
• Считают $H_n = Z_n$, забыв профакторизовать по $B_n$. Гомологии - это циклы по модулю границ, а не просто все циклы. Без факторизации вы получите завышенные числа Бетти.
• Игнорируют кручение. $H_n$ не всегда свободна: у бутылки Клейна и проективной плоскости есть слагаемые $\mathbb{Z}/2$. Считая только ранг, вы упустите часть инварианта.
• Берут ориентации несогласованно. Для замкнутых поверхностей ориентация симплексов должна склеиваться когерентно, иначе двумерные циклы посчитаются неверно.
• Не проверяют ответ через $\chi$. Знакочередующаяся сумма чисел Бетти обязана совпасть с суммой по симплексам - это бесплатная проверка всей выкладки.

FAQ

Чем симплициальные гомологии отличаются от сингулярных? Симплициальные определяются для конкретной триангуляции и считаются конечной линейной алгеброй. Сингулярные определяются для любого топологического пространства через непрерывные образы симплексов. Для триангулируемых пространств обе теории дают изоморфные группы, поэтому симплициальный подход - удобный вычислительный инструмент.

Зависит ли результат от выбора триангуляции? Нет. Группы гомологий - топологический инвариант: разные триангуляции одного пространства дают изоморфные $H_n$. Это нетривиальная теорема, но именно она оправдывает практику считать гомологии на удобном разбиении.

Что показывают коэффициенты, отличные от $\mathbb{Z}$? Можно строить цепи с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$, $\mathbb{Q}$ или другом поле. Над $\mathbb{Z}/2$ исчезают вопросы ориентации и кручение видно иначе, над $\mathbb{Q}$ кручение пропадает и остаются только числа Бетти. Выбор коэффициентов подбирают под задачу.

Коротко

Симплициальные гомологии собираются из цепей $C_n$, граничного оператора $\partial_n$ со свойством $\partial \partial = 0$, циклов $Z_n$ и границ $B_n$. Группа $H_n = Z_n / B_n$ считает незаклеиваемые дырки размерности $n$, её ранги - числа Бетти - служат топологическими инвариантами и связаны с эйлеровой характеристикой через знакочередующуюся сумму. Расчёт сводится к нормальной форме Смита для матриц граничных операторов и проверяется тождеством Эйлера–Пуанкаре.