Неравенство Белла нарушение: CHSH, эксперименты Аспе и Hensen

Нарушение неравенства Белла - главный экспериментальный результат основ квантовой теории: природа не описывается ни одной локально-реалистической теорией. Здесь мы разбираем именно количественную сторону - формализм CHSH 1969 года, оптимальные углы поляризаторов, как из синглетного состояния получается значение $2\sqrt{2}$, что мерили Фридман-Клаузер, Аспе и команды Hensen/Giustina/Shalm в 2015 году, и какие лазейки удалось закрыть. Сам ЭПР-аргумент 1935 года и спор с Бором - отдельная история, разобранная в публикации про парадокс ЭПР.

Формализм CHSH 1969 года

Джон Клаузер, Майкл Хорн, Абнер Шимони и Ричард Холт переформулировали неравенство Белла в виде, удобном для эксперимента: вместо непрерывных распределений - четыре фиксированные настройки и одна скалярная величина. Алиса выбирает одну из двух осей измерения $a$ или $a'$, Боб - одну из двух $b$ или $b'$. Каждое измерение даёт результат $\pm 1$.

Корреляция $E(a, b)$ определяется как среднее произведение результатов при настройках $(a, b)$:

$E(a, b) = \langle A(a)\, B(b)\rangle = \frac{N_{++} + N_{--} - N_{+-} - N_{-+}}{N_{\mathrm{total}}}.$

CHSH-параметр собирается из четырёх таких корреляций:

$S = E(a, b) - E(a, b') + E(a', b) + E(a', b').$

Неравенство утверждает, что для любой локально-реалистической теории $|S| \le 2$.

Классический предел и почему он именно 2

Доказательство классической границы прямое. В локально-реалистической модели результаты $A(a, \lambda), A(a', \lambda) \in \{-1, +1\}$ и аналогичные для Боба зависят только от локальной настройки и общего скрытого параметра $\lambda$. Для каждой реализации $\lambda$ величина

$A(a)\bigl[B(b) - B(b')\bigr] + A(a')\bigl[B(b) + B(b')\bigr]$

принимает только значения $\pm 2$: либо $B(b) = B(b')$ и первая скобка нулевая, либо $B(b) = -B(b')$ и нулевая вторая. Усреднение по $\rho(\lambda)$ не выводит за предел $|S| \le 2$. Это и есть неравенство Белла-CHSH в самой простой форме - алгебраическое следствие двух предположений: локальности (результат Алисы не зависит от настройки Боба) и реализма (значения существуют до измерения).

Квантовое значение и граница Цирельсона

Для пары частиц в синглетном состоянии

$|\psi^-\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|\!\uparrow\downarrow\rangle - |\!\downarrow\uparrow\rangle\bigr)$

корреляция при измерениях вдоль осей с углом $\theta_{ab}$ между ними равна $E(a, b) = -\cos\theta_{ab}$. Подставим в CHSH:

$S = -\cos\theta_{ab} + \cos\theta_{ab'} - \cos\theta_{a'b} - \cos\theta_{a'b'}.$

Максимизация по углам даёт $|S|_{\max} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$. Это значение было впервые получено Борисом Цирельсоном в 1980 году и носит его имя - граница Цирельсона. Она не следует из локального реализма (его предел всё ещё 2), но и не достигает абсолютного non-signalling предела 4: квантовая механика лежит строго посередине между классической корреляцией и тем максимумом, который допустим без сверхсветовой передачи информации.

Оптимальные углы 0°, 45°, 22.5°, 67.5°

Максимум достигается, когда косинусы в формуле выстраиваются согласованно. Стандартный выбор для поляризационного эксперимента: $a = 0°$, $a' = 45°$, $b = 22.5°$, $b' = 67.5°$. Тогда все четыре угла между $a/a'$ и $b/b'$ равны $\pm 22.5°$, и

$|S| = 4\cos 45° \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}.$

Любое отклонение от этих углов уменьшает $|S|$. На практике юстировка поляризаторов с точностью лучше 1° даёт измеренный CHSH в районе 2.7 - статистически отличимый от 2 на десятки сигм.

Эксперимент Фридмана-Клаузера 1972

Первая прямая проверка. Стюарт Фридман и Джон Клаузер в Беркли использовали парные фотоны из каскадного распада возбуждённых атомов кальция $4p^2\,{}^1S_0 \to 4s4p\,{}^1P_1 \to 4s^2\,{}^1S_0$. Поляризационная корреляция этих фотонов воспроизводит синглетную для спина $1/2$. Установили четыре пары углов поляризаторов, измерили совпадения, вычислили $S$. Результат подтвердил нарушение CHSH более чем на 5 сигм, но эффективность детектирования была очень низкой и оставляла лазейки для скрытых параметров.

Эксперимент Аспе 1982

Серия экспериментов Алена Аспе в Институте оптики (Орсэ) с 1981 по 1982 годы - точка, после которой нарушение Белла стало мейнстримом. Три ключевые работы:

• Aspect, Grangier, Roger 1981 - нарушение CHSH с парами фотонов из кальциевого каскада с двухкратным улучшением сигнал/шум.
• Aspect, Grangier, Roger 1982 - двухканальные поляризаторы вместо одноканальных, позволяющие напрямую измерять обе компоненты корреляции, $|S|_{\mathrm{exp}} = 2.697 \pm 0.015$.
• Aspect, Dalibard, Roger 1982 - переключатели направления поляризатора с частотой 50 МГц во время полёта фотонов. Это закрывало locality loophole: настройки на двух концах выбирались за время короче пролётного, и фотоны не могли «договориться» о подгонке результата.

За эту серию Аспе вместе с Клаузером и Цайлингером получил Нобелевскую премию по физике 2022 года.

Loophole-free эксперименты 2015

После Аспе оставались две лазейки: detection (низкая эффективность регистрации) и freedom-of-choice (настройки могут зависеть от общей причины в прошлом). В 2015 году три группы одновременно закрыли все три лазейки в одной установке:

• Hensen и соавторы, Делфт - азотно-вакансионные центры в алмазе, разнесённые на 1.3 км, запутывание через entanglement swapping на одиночных фотонах. Высокая эффективность считывания спина NV-центра (>95%) автоматически закрыла detection. Результат $|S| = 2.42 \pm 0.20$, $p$-значение нуль-гипотезы локального реализма $\approx 0.039$.
• Giustina и соавторы, Вена - пары фотонов от SPDC-источника, сверхпроводящие нанопроводные детекторы с эффективностью около 75%, расстояние 60 м, нарушение на 11.5 сигм.
• Shalm и соавторы, NIST - аналогичная схема, нарушение на ~7 сигм, генераторы случайных настроек на космических квазарах для freedom-of-choice.

Через два года BIG Bell Test 2018 года добавил последний штрих: настройки получали из решений человеческих испытуемых, играющих в онлайн-игру, что окончательно исключало причинную связь со скрытыми параметрами на источнике.

Три классические лазейки и как их закрывают

• Locality loophole. Настройка измерения должна выбираться после того, как пара эмиттирована, и измерение должно завершиться до того, как сигнал от противоположной стороны мог бы дойти со скоростью света. Закрывается удалением плеч и быстрым переключением (Аспе 1982, Hensen 2015).
• Detection loophole. Если эффективность регистрации $\eta < 2/3$, можно построить локально-реалистическую модель, имитирующую квантовые корреляции на отобранной подвыборке. Закрывается детекторами с $\eta > 75\%$ - сверхпроводящими нанопроводами для фотонов и прямым считыванием спина для атомных систем.
• Freedom-of-choice loophole. Настройки $a, a', b, b'$ должны быть статистически независимы от состояния источника. Закрывается аппаратными генераторами случайных чисел (квантовыми), удалёнными источниками энтропии (свет квазаров) или человеческими решениями.

GHZ-состояния: нарушение без неравенства

Гринбергер, Хорн, Цайлингер 1989 показали, что для тройки запутанных частиц в состоянии

$|\mathrm{GHZ}\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|\!\uparrow\uparrow\uparrow\rangle + |\!\downarrow\downarrow\downarrow\rangle\bigr)$

квантовая механика и любая локально-реалистическая теория делают противоположные предсказания для одного и того же измерения - с вероятностью 1, без усреднения по выборке. Достаточно одной серии измерений, чтобы исключить локальный реализм. Это не неравенство, а all-vs-nothing аргумент. Экспериментально GHZ-нарушение продемонстрировано Пэном, Боумистером, Даниэллом, Цайлингером в 2000 году.

Что именно опровергнуто

Нарушение CHSH означает, что нельзя одновременно сохранить три предположения: локальность, реализм значений до измерения и независимость настроек. Бомовская механика жертвует локальностью (но восстанавливает реализм), копенгагенская - реализмом, супердетерминистические сценарии - независимостью настроек. Все они формально совместимы с экспериментом. Часто результат формулируют как нелокальность; точнее - как невозможность локального скрытопараметрического описания.

Приложения: DI-QKD и сертификация случайности

Нарушение Белла - это не только проверка основ, но и работающий ресурс. В device-independent квантовой криптографии (DI-QKD) Алиса и Боб распределяют пары Белла и проверяют величину CHSH в самой передаче. Если $|S|$ близка к $2\sqrt{2}$, состояние максимально запутано и его в принципе нельзя клонировать - даже Eve, контролирующая источник и устройства, не может одновременно подслушать без снижения CHSH. На том же принципе строится device-independent рандомизация: из $n$ нарушений CHSH можно извлечь $O(n)$ битов сертифицированной случайности, не доверяя физическим деталям прибора.

Частые ошибки

• Писать «нарушение Белла = сверхсветовая связь». No-communication теорема явно это запрещает: матрица плотности подсистемы $\rho_B$ не зависит от настройки Алисы.
• Считать классический предел $|S| \le 2$ предельным значением для частицы любой природы. Это предел только при локально-реалистической модели; non-signalling теории допускают до 4 (PR-боксы), квантовая - до $2\sqrt{2}$.
• Думать, что оптимальные углы - 0°, 30°, 60°, 90°. Для CHSH максимум именно на шаге 22.5°; на 30° получится $\sqrt{6} \approx 2.45$, нарушение есть, но не максимальное.
• Пытаться доказать локальный реализм отсутствием нарушения при низкой эффективности детекторов. Это и есть detection loophole - отсутствие нарушения в подвыборке не доказывает ничего о полной выборке.
• Считать, что loophole-free эксперимент 2015 года был первым доказательством. Нарушение видно уже у Фридмана-Клаузера 1972; 2015 закрыл оставшиеся три лазейки одновременно.

FAQ

Почему максимальное квантовое значение именно $2\sqrt{2}$? Это следствие операторной структуры спина: оператор Белла $\hat{B}_{\mathrm{CHSH}}$ имеет максимальное собственное значение $2\sqrt{2}$ на двухкубитном пространстве, что и доказал Цирельсон. Граница строго ниже алгебраического максимума 4 - это уникальная особенность гильбертова пространства комплексных амплитуд.

Можно ли проверить нарушение Белла дома? В условиях демонстрационной лаборатории - да. Источник запутанных фотонов на BBO-кристалле, два поляризатора с моторизованными приводами и пара лавинных фотодиодов укладывается в бюджет небольшого университетского курса. Серьёзный loophole-free эксперимент требует криогенных сверхпроводящих детекторов и километровых трасс.

Чем GHZ-аргумент сильнее CHSH? CHSH - статистическое неравенство: нужно много пар, чтобы отличить $|S| = 2$ от $|S| = 2{,}8$. GHZ даёт all-vs-nothing предсказание: одна серия измерений приводит к результату, который локально-реалистическая модель не может породить в принципе, даже на одной реализации.

Коротко

Неравенство Белла в форме CHSH утверждает $|S| \le 2$ для любой локально-реалистической теории; квантовая механика для синглета и оптимальных углов 0°/45°/22.5°/67.5° достигает $2\sqrt{2}$. От первой проверки Фридмана-Клаузера 1972 через Аспе 1982 (закрытие locality) до loophole-free экспериментов Hensen, Giustina, Shalm 2015 (одновременное закрытие detection и freedom-of-choice) природа уверенно нарушает классический предел. Локальный реализм опровергнут; нарушение CHSH работает как ресурс в device-independent QKD и сертификации случайности.