Модель Фамы–Френча: три фактора доходности

Трёхфакторная модель Фамы–Френча (Fama–French three-factor model) - это развитие CAPM, которое объясняет доходность акций не одним рыночным фактором, а тремя. Юджин Фама и Кеннет Френч заметили, что однофакторная модель систематически недооценивает доходность мелких компаний и фирм с высоким отношением балансовой стоимости к рыночной. Чтобы устранить эти аномалии, они добавили к рыночной премии два эмпирических фактора - размера и стоимости. Ниже разберём формулу модели Фамы–Френча, смысл каждого коэффициента, оценку через регрессию, пример расчёта и частые ошибки.

Что описывает трёхфакторная модель

CAPM утверждает, что избыточную доходность актива над безрисковой ставкой полностью объясняет один фактор - рыночная премия, помноженная на бету. Однако эмпирические данные 1960–1990-х показали устойчивые отклонения: портфели из небольших компаний (small cap) и из «дешёвых» акций с высоким коэффициентом B/M (value) в среднем приносили больше, чем предсказывал CAPM.

Фама и Френч в работе 1992–1993 годов предложили объяснить эти отклонения двумя дополнительными факторами риска. Первый - фактор размера: малые компании рискованнее и потому требуют более высокой доходности. Второй - фактор стоимости: недооценённые по балансу фирмы несут повышенный риск финансовых трудностей. Модель Фамы–Френча превращает «аномалии» CAPM в полноценные источники премии. Чтобы сразу прикинуть требуемую доходность по своим коэффициентам, воспользуйтесь калькулятором ниже.

Формула модели Фамы–Френча

Основное уравнение трёхфакторной модели записывают для избыточной доходности актива над безрисковой ставкой:

$E(R_i) - R_f = \beta_i\big(E(R_m) - R_f\big) + s_i \cdot \mathrm{SMB} + h_i \cdot \mathrm{HML}$

где $E(R_i)$ - ожидаемая доходность актива, $R_f$ - безрисковая ставка, $E(R_m) - R_f$ - рыночная премия. К ней добавляются два слагаемых: $\mathrm{SMB}$ (small minus big) - премия за размер, $\mathrm{HML}$ (high minus low) - премия за стоимость. Коэффициенты $\beta_i$, $s_i$ и $h_i$ - чувствительности (нагрузки) актива к каждому фактору.

Если обнулить $s_i$ и $h_i$, уравнение схлопывается обратно в классическую формулу модели CAPM: трёхфакторная модель - это её прямое расширение. При регрессии добавляют свободный член (альфу) $\alpha_i$, который в идеале должен быть статистически неотличим от нуля - иначе три фактора не объясняют доходность полностью.

Фактор размера SMB

$\mathrm{SMB}$ (small minus big) - это разница средней доходности портфеля мелких компаний и портфеля крупных компаний. Положительное значение $\mathrm{SMB}$ за период означает, что малые фирмы обгоняли большие.

Коэффициент $s_i$ показывает, насколько доходность конкретного актива чувствительна к этому фактору. У акций небольших компаний $s_i > 0$: они растут вместе с фактором размера. У акций «голубых фишек» $s_i$ обычно отрицателен. Экономический смысл - компенсация за повышенный риск: малые фирмы менее устойчивы к шокам ликвидности и кредита, поэтому инвестор требует за них надбавку.

Фактор стоимости HML

$\mathrm{HML}$ (high minus low) - разница доходностей портфеля акций с высоким отношением балансовой стоимости к рыночной (value) и портфеля с низким отношением (growth). Высокий B/M характерен для «дешёвых», часто проблемных компаний; низкий - для растущих, дорого оценённых рынком.

Коэффициент $h_i$ положителен у value-акций и отрицателен у growth-акций. Положительное $h_i$ означает, что бумага ведёт себя как стоимостная и несёт связанный с этим риск финансового стресса. Эмпирически именно фактор стоимости даёт исторически наибольшую часть необъяснённой CAPM премии.

Оценка коэффициентов через регрессию

На практике нагрузки $\beta_i$, $s_i$, $h_i$ оценивают множественной линейной регрессией исторических избыточных доходностей актива на три фактора:

$R_{i,t} - R_{f,t} = \alpha_i + \beta_i\big(R_{m,t} - R_{f,t}\big) + s_i\,\mathrm{SMB}_t + h_i\,\mathrm{HML}_t + \varepsilon_{i,t}$

Здесь $t$ - период (обычно месяц), $\varepsilon_{i,t}$ - случайная ошибка. Готовые ряды факторов $\mathrm{SMB}$, $\mathrm{HML}$ и рыночной премии публикуются в библиотеке данных Кеннета Френча, так что аналитику нужно лишь сопоставить их с доходностями своего актива и оценить регрессию методом наименьших квадратов.

Качество модели оценивают по коэффициенту детерминации $R^2$: для диверсифицированных портфелей трёхфакторная модель часто объясняет более 90% дисперсии доходностей против заметно меньшей доли у CAPM. Значимая положительная альфа здесь интерпретируется как «необъяснённая» доходность - сигнал либо мастерства управляющего, либо пропущенного фактора.

Пример расчёта по модели

Пусть безрисковая ставка $R_f = 5\%$, рыночная премия $E(R_m) - R_f = 7\%$, а факторные премии за период $\mathrm{SMB} = 3\%$ и $\mathrm{HML} = 4\%$. Для акции небольшой стоимостной компании регрессия дала нагрузки $\beta_i = 1.1$, $s_i = 0.6$, $h_i = 0.4$.

Сначала найдём избыточную доходность:

$E(R_i) - R_f = 1.1 \times 7\% + 0.6 \times 3\% + 0.4 \times 4\% = 7.7\% + 1.8\% + 1.6\% = 11.1\%$

Теперь добавим безрисковую ставку:

$E(R_i) = 5\% + 11.1\% = 16.1\%$

Требуемая доходность акции - 16,1%. Для сравнения, чистый CAPM с той же бетой дал бы только $5\% + 1.1 \times 7\% = 12.7\%$. Разница в 3,4 процентного пункта - это вклад факторов размера и стоимости, который CAPM проигнорировал бы.

Чем модель отличается от CAPM

Главное отличие - число источников систематического риска. CAPM оперирует одной бетой и рыночной премией, тогда как модель Фамы–Френча добавляет ещё два измерения. Это повышает объясняющую силу и снимает часть аномалий, известных как size effect и value premium.

Платой за точность становится сложность: нужно оценивать три нагрузки вместо одной и опираться на эмпирически сконструированные портфели $\mathrm{SMB}$ и $\mathrm{HML}$, а не на чисто теоретический рыночный портфель. Позже Фама и Френч расширили подход до пятифакторной модели, добавив факторы прибыльности (RMW) и инвестиций (CMA), а отдельно в литературе закрепился фактор моментума Кархарта. Но именно трёхфакторная версия остаётся стандартом эмпирических финансов.

Частые ошибки

• Считают SMB и HML уровнями доходности. Это премии-разности (long–short), они могут быть отрицательными за период; их нельзя интерпретировать как абсолютную доходность портфеля.
• Забывают про безрисковую ставку. Формула описывает избыточную доходность $E(R_i) - R_f$; чтобы получить полную $E(R_i)$, нужно прибавить $R_f$.
• Путают знак нагрузок. У крупных компаний $s_i$ обычно отрицателен, у growth-акций отрицателен $h_i$; механическое «всё положительно» искажает расчёт.
• Игнорируют альфу при оценке. Значимая ненулевая альфа означает, что три фактора не объясняют доходность полностью, и выводы о премиях становятся ненадёжными.
• Берут факторы из несопоставимого региона. Ряды $\mathrm{SMB}$/$\mathrm{HML}$ для США нельзя без оговорок применять к другому рынку - факторы региональны.

FAQ

Чем трёхфакторная модель Фамы–Френча лучше CAPM? Она добавляет к рыночной премии два фактора - размера ($\mathrm{SMB}$) и стоимости ($\mathrm{HML}$), которые объясняют повышенную доходность малых и недооценённых компаний. За счёт этого $R^2$ регрессии заметно выше, а известные аномалии CAPM перестают быть «необъяснёнными».

Что означают SMB и HML? $\mathrm{SMB}$ (small minus big) - премия за размер, разница доходностей мелких и крупных компаний. $\mathrm{HML}$ (high minus low) - премия за стоимость, разница доходностей акций с высоким и низким отношением балансовой стоимости к рыночной.

Как получить нагрузки s и h для конкретной акции? Их оценивают множественной регрессией исторических избыточных доходностей акции на три фактора. Готовые ряды факторов берут из библиотеки данных Кеннета Френча, а коэффициенты $\beta_i$, $s_i$, $h_i$ - это оценённые наклоны регрессии.

Коротко

Трёхфакторная модель Фамы–Френча выражает избыточную доходность актива как $E(R_i) - R_f = \beta_i(E(R_m) - R_f) + s_i\,\mathrm{SMB} + h_i\,\mathrm{HML}$: к рыночной премии CAPM добавлены фактор размера $\mathrm{SMB}$ и фактор стоимости $\mathrm{HML}$. Нагрузки $\beta_i$, $s_i$, $h_i$ оценивают регрессией на исторические данные, а в идеале альфа близка к нулю. Модель объясняет доходность точнее однофакторного CAPM, снимая аномалии размера и стоимости, и служит стандартным инструментом эмпирических финансов.