Магнитное давление плазмы: формула, бета и удержание

Когда говорят, что магнитное поле «держит» плазму, за этим стоит вполне конкретная механическая величина - магнитное давление. Поле с индукцией $B$ давит на проводящую среду так же реально, как сжатый газ давит на стенки сосуда, и именно баланс этого давления с газокинетическим давлением плазмы определяет, удержится ли горячий шнур или расползётся. Разберём, откуда берётся формула магнитного давления плазмы, что показывает параметр бета и как всё это считается в задачах по физике плазмы. Ниже - калькулятор, в котором можно покрутить $B$, температуру и концентрацию и сразу увидеть, кто кого пересиливает.

Что такое магнитное давление

Магнитное давление - это плотность энергии магнитного поля, действующая как механическое давление на границе поля и среды. Численно оно равно объёмной плотности энергии поля:

$$p_{mag} = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

где $B$ - магнитная индукция в теслах, а $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м - магнитная постоянная. Размерность правой части - Дж/м³, что совпадает с Па: джоуль на кубометр и есть паскаль. Поэтому плотность энергии поля и его давление - это буквально одно и то же число.

Физически это означает, что область с сильным полем «выталкивает» проводящую среду из себя, а градиент поля создаёт силу. Там, где силовые линии гуще, давление выше; среда стремится из плотного поля в разреженное - ровно как воздух из накачанной камеры.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся формула B² / 2μ₀

Формулу можно получить как минимум двумя путями, и оба полезно понимать.

Через плотность энергии. Энергия магнитного поля в единице объёма равна $w = B^2/(2\mu_0)$. Для поля, ограниченного резкой границей (как в идеальном проводнике, куда поле не проникает), эта плотность энергии и есть давление на стенку - точно так же, как давление фотонного газа равно плотности его энергии с точностью до множителя.

Через тензор натяжений Максвелла. Сила, с которой поле действует на поверхность, описывается тензором энергии-импульса электромагнитного поля. Вдоль силовых линий поле создаёт натяжение $B^2/(2\mu_0)$ (линии «стягиваются», как резинки), а поперёк линий - давление той же величины $B^2/(2\mu_0)$ (линии «отталкиваются» друг от друга). Именно поперечная компонента и работает как магнитное давление, прижимающее плазму.

Равновесие давления газа и поля

Плазма обладает собственным газокинетическим давлением. Для квазинейтральной плазмы с концентрацией электронов $n_e$ и ионов $n_i$ при температурах $T_e$ и $T_i$ оно равно:

$$p = n_e k T_e + n_i k T_i$$

где $k$ - постоянная Больцмана. В простейшем случае $n_e = n_i = n$ и $T_e = T_i = T$ это даёт $p = 2 n k T$.

Условие магнитостатического равновесия в идеальной магнитной гидродинамике записывается как баланс газокинетического давления и магнитного:

$$\nabla\!\left(p + \frac{B^2}{2\mu_0}\right) = \frac{(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B}}{\mu_0}$$

В простой одномерной геометрии с прямыми силовыми линиями правая часть (натяжение линий) обнуляется, и остаётся очень наглядное условие: полное давление - сумма газового и магнитного - постоянно поперёк границы:

$$p + \frac{B^2}{2\mu_0} = \text{const}$$

Внутри плазмы давление газа велико, поле подавлено; снаружи газа почти нет, зато поле сильное. На границе они уравновешиваются. Это и есть тот «магнитный сосуд», в котором удерживают горячую плазму.

Параметр бета: кто сильнее

Чтобы сразу сказать, что доминирует - вещество или поле, вводят безразмерный параметр бета:

$$\beta = \frac{p}{B^2 / 2\mu_0} = \frac{2\mu_0 \, p}{B^2}$$

Это отношение газокинетического давления плазмы к магнитному. Смысл предельных случаев:

• $\beta \ll 1$ - поле гораздо сильнее давления плазмы; геометрию задаёт магнитное поле, а плазма послушно течёт вдоль линий. Типично для токамаков ($\beta$ порядка нескольких процентов) и солнечной короны.
• $\beta \approx 1$ - давления сравнимы, плазма и поле «спорят» на равных; равновесие чувствительно к возмущениям.
• $\beta \gg 1$ - плазма сама лепит поле под себя; характерно для звёздных недр и плотных астрофизических струй.

В термоядерной энергетике высокое бета выгодно экономически (больше плазменного давления на тот же дорогой магнит), но из-за неустойчивостей его приходится держать на безопасном уровне. Конкуренция за каждый процент бета - одна из центральных тем проектирования реакторов.

Удержание плазмы: пинч и токамак

Самый прямой способ использовать магнитное давление - пинч-эффект. Если по плазменному шнуру пропустить ток $I$, он создаёт вокруг себя азимутальное поле, и магнитное давление этого собственного поля сжимает шнур. Условие равновесия (соотношение Беннета) связывает ток, температуру и линейную плотность частиц:

$$\mu_0 I^2 = 8\pi N k (T_e + T_i)$$

где $N$ - число частиц на единицу длины шнура. Чем больше ток, тем сильнее самосжатие.

Рассчитать для своей задачи

В токамаке схема сложнее: тороидальное и полоидальное поля вместе создают магнитную конфигурацию, в которой плазменный шнур висит в центре камеры, не касаясь стенок. Именно магнитное удержание в токамаке опирается на баланс магнитного давления и давления плазмы - поле должно пересилить стремление горячего газа разлететься. Понимание того, как поле сжимает и удерживает среду, опирается ещё и на работу по перемещению контура с током в магнитном поле: энергетика удержания - это та же работа поля над проводящей средой.

Как считать в задачах

Типовой расчёт магнитного давления плазмы сводится к нескольким шагам:

1. Перевести всё в СИ: поле в тесла, концентрацию в м⁻³, температуру в кельвинах (если дана в эВ, умножить на $1{,}16 \cdot 10^4$ К/эВ).
2. Посчитать магнитное давление $p_{mag} = B^2/(2\mu_0)$.
3. Посчитать газовое давление $p = 2 n k T$ (для $n_e = n_i$, $T_e = T_i$).
4. Найти бета $\beta = p / p_{mag}$ и сделать вывод: при $\beta < 1$ поле удержит плазму, при $\beta > 1$ - нет.

Частые ошибки

• Путают плотность энергии и давление по множителю. Для магнитного поля они равны: $w = p_{mag} = B^2/(2\mu_0)$, без коэффициента 1/2 сверху или дополнительной двойки.
• Берут $\mu_0$ в неверной размерности. В СИ $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м; подстановка в гауссовых единицах даёт другую формулу ($p_{mag} = B^2/8\pi$) и расхождение в порядки.
• Считают только электронное давление. В газовом давлении плазмы участвуют и ионы; при $T_e = T_i$ их вклад удваивает результат.
• Игнорируют натяжение силовых линий. В изогнутой геометрии (тор, пинч) к давлению поперёк линий добавляется натяжение вдоль них - баланс уже не сводится к простому $p + B^2/2\mu_0 = \text{const}$.
• Путают бета с её обратной величиной. Бета - это давление плазмы, делённое на магнитное; перевёрнутое отношение даёт неверный вывод о том, что доминирует.

FAQ

Чему равно магнитное давление при поле 1 Тл? $p_{mag} = B^2/(2\mu_0) = 1/(2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}) \approx 4{,}0 \cdot 10^{5}$ Па, то есть около 4 атмосфер. При 5 Тл это уже примерно 100 атмосфер - отсюда требования к прочности магнитов реактора.

Что означает бета больше единицы? Это значит, что газокинетическое давление плазмы превышает магнитное, и поле в принципе не способно удержать такую плазму данной конфигурацией. Плазма расширится, пока давления не сравняются или пока её что-то иначе не ограничит (например гравитация в звезде).

Зависит ли магнитное давление от свойств плазмы? Нет. $p_{mag} = B^2/(2\mu_0)$ зависит только от поля и не содержит концентрации или температуры. От свойств плазмы зависит газовое давление $p = 2nkT$ и, через него, параметр бета.

Коротко

Магнитное давление плазмы $p_{mag} = B^2/(2\mu_0)$ - это плотность энергии магнитного поля, работающая как механическое давление на границе поля и среды. Удержание плазмы сводится к балансу этого давления с газокинетическим $p = 2nkT$, а их отношение - параметр бета $\beta = 2\mu_0 p / B^2$ - показывает, кто доминирует: при $\beta < 1$ поле держит плазму, при $\beta > 1$ - нет. На этом балансе стоят и пинч-эффект, и магнитное удержание в токамаке.