Интеграл столкновений Больцмана: структура и смысл

Интеграл столкновений Больцмана - это правая часть кинетического уравнения, которая описывает, как парные столкновения молекул меняют функцию распределения $f(\vec r, \vec v, t)$. Левая часть уравнения отвечает за свободный дрейф и действие внешних сил, а весь физический «хаос» столкновений собран именно в этот интегральный член. Понять его структуру - значит понять, почему газ необратимо стремится к равновесию. Ниже разберём, из чего складывается интеграл столкновений, как оценить частоту столкновений по сечению и плотности и при чём тут приближение времени релаксации.

Где живёт интеграл столкновений

Кинетическое уравнение Больцмана записывают так:

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla_r f + \frac{\vec F}{m} \cdot \nabla_v f = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{ст}}.$$

Левая часть - полная производная функции распределения вдоль траектории частицы в фазовом пространстве: если бы столкновений не было, $f$ просто переносилась бы потоком без изменения формы. Правая часть и есть интеграл столкновений $\mathrm{St}[f] = \left(\partial f/\partial t\right)_{\text{ст}}$ - скорость изменения $f$ за счёт парных соударений в данной точке. Подробнее общая структура самого уравнения разобрана в материале про кинетическое уравнение Больцмана; здесь мы фокусируемся именно на правой части.

Рассчитать для своей задачи

Ключевая идея: молекула с заданной скоростью $\vec v$ может «исчезнуть» из ячейки скоростей (улететь после столкновения с другой скоростью) или «появиться» в ней (прилететь как результат чужого столкновения). Баланс этих двух процессов и даёт $\mathrm{St}[f]$.

Приход и уход: из чего собран интеграл

В развёрнутом виде интеграл столкновений для одного сорта частиц записывают как разность двух членов - прихода (gain) и ухода (loss):

$$\mathrm{St}[f] = \int \left( f' f'_1 - f f_1 \right) \, |\vec v - \vec v_1| \, \sigma \, d\Omega \, d^3 v_1.$$

Здесь $f = f(\vec v)$ и $f_1 = f(\vec v_1)$ - распределения двух сталкивающихся частиц до соударения, а штрихованные $f'$ и $f'_1$ - после. Слагаемое $f' f'_1$ - это приход: пары со скоростями $\vec v'$, $\vec v'_1$ после столкновения дают частицу со скоростью $\vec v$. Слагаемое $f f_1$ - уход: частица со скоростью $\vec v$ сталкивается и покидает ячейку. Множитель $|\vec v - \vec v_1|$ - относительная скорость, $\sigma$ - дифференциальное сечение рассеяния, $d\Omega$ - телесный угол разлёта.

Структура «квадратична по $f$»: интеграл содержит произведения функций распределения, потому что столкновение - это событие для пары частиц. Именно нелинейность делает уравнение трудным, но она же отражает физику: вероятность столкновения пропорциональна плотностям обоих партнёров.

Сечение и частота столкновений

Чтобы интеграл столкновений был не абстракцией, а числом, нужны два параметра среды: концентрация $n$ и эффективное сечение $\sigma$. Из них собирается частота столкновений - сколько раз в секунду молекула с кем-то сталкивается:

$$\nu = \sqrt{2}\, n\, \sigma\, \bar v, \qquad \lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\, n\, \sigma},$$

где $\bar v = \sqrt{8RT/(\pi M)}$ - средняя тепловая скорость, $\lambda$ - длина свободного пробега, а множитель $\sqrt{2}$ учитывает движение всех партнёров (поправка Максвелла). Сечение для молекул оценивают как $\sigma = \pi d^2$, где $d$ - эффективный диаметр молекулы.

Рассчитать для своей задачи

При нормальных условиях для воздуха $n \approx 2{,}5\cdot10^{25}$ м⁻³, $\sigma \sim 4\cdot10^{-19}$ м², $\bar v \sim 470$ м/с, что даёт $\nu \sim 7\cdot10^9$ столкновений в секунду и $\lambda \sim 70$ нм. Эти числа задают масштаб времени, на котором интеграл столкновений «успевает» вернуть газ к равновесию. О распределении самих скоростей подробнее в статье про распределение Максвелла-Больцмана по скоростям.

Приближение БГК: интеграл как релаксация

Точный интеграл столкновений тяжело считать, поэтому в большинстве задач его заменяют приближением Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК), или приближением времени релаксации:

$$\mathrm{St}[f] \approx -\frac{f - f_0}{\tau}, \qquad \tau \approx \frac{1}{\nu} = \frac{\lambda}{\bar v}.$$

Смысл прост: столкновения тянут любое распределение $f$ к локально-равновесному максвелловскому $f_0$, и чем сильнее отклонение $f - f_0$, тем быстрее идёт релаксация. Время релаксации $\tau$ - обратная частота столкновений. Если отклонение мало, то

$$\delta f(t) = \delta f(0)\, e^{-t/\tau},$$

то есть любое возмущение распределения затухает экспоненциально за характерное время $\tau$. Это приближение теряет тонкую угловую структуру рассеяния, но верно передаёт главное - необратимое стремление к равновесию.

Что сохраняет интеграл столкновений

Несмотря на сложность, $\mathrm{St}[f]$ обнуляет интегралы от пяти величин - так называемых сумматорных инвариантов: массы, трёх компонент импульса и энергии. Математически для любой сохраняющейся при столкновении величины $\psi(\vec v) \in \{1, m\vec v, \tfrac{1}{2}m v^2\}$ выполняется

$$\int \psi(\vec v)\, \mathrm{St}[f]\, d^3 v = 0.$$

Это и есть мост от микроскопической кинетики к макроскопической гидродинамике: умножая уравнение Больцмана на $\psi$ и интегрируя, получают уравнения непрерывности, движения и переноса энергии. Столкновения перераспределяют частицы по скоростям, но не создают и не уничтожают полные массу, импульс и энергию газа.

H-теорема и стрела времени

Самое глубокое свойство интеграла столкновений - H-теорема. Если ввести величину

$$H = \int f \ln f \, d^3 v,$$

то для пространственно-однородного газа интеграл столкновений гарантирует $dH/dt \le 0$. Величина $H$ (с точностью до знака - энтропия) только убывает, а останавливается ровно тогда, когда $f$ становится максвелловским $f_0$. Так из обратимой во времени механики парных столкновений рождается необратимость - стрела времени и второе начало термодинамики на языке кинетики. Равенство $dH/dt = 0$ достигается при детальном балансе $f' f'_1 = f f_1$, который и выделяет равновесное распределение.

Частые ошибки

• Путать левую и правую части. Дрейф и силы - слева, столкновения - справа. Сила $\vec F$ (например, гравитация или поле) не входит в интеграл столкновений.
• Считать интеграл линейным по $f$. Он квадратичен: содержит произведения $f f_1$ и $f' f'_1$. Линейным он становится только после линеаризации около равновесия.
• Забывать множитель $\sqrt{2}$ в частоте столкновений и длине свободного пробега - он возникает из усреднения относительной скорости по всем партнёрам.
• Думать, что БГК точно сохраняет энергию. Простейшая форма $-(f-f_0)/\tau$ требует, чтобы $f_0$ строилась по локальным моментам самой $f$, иначе сохранение нарушается.
• Смешивать сечение $\sigma$ и эффективный диаметр $d$. Сечение $\sigma = \pi d^2$ имеет размерность площади, диаметр - длины.

FAQ

Чем интеграл столкновений отличается от всего уравнения Больцмана? Уравнение Больцмана - это равенство целиком: дрейф плюс силы равны интегралу столкновений. Сам интеграл столкновений - только правая часть, отвечающая за изменение $f$ из-за соударений. Без него уравнение описывало бы бесстолкновительный газ (уравнение Власова).

Почему интеграл столкновений нелинеен? Потому что столкновение - событие для пары частиц, и его вероятность пропорциональна произведению плотностей обоих партнёров $f f_1$. Отсюда квадратичность. Это же создаёт основные математические трудности при точном решении.

Что даёт приближение БГК? Оно заменяет сложный интеграл простым членом релаксации $-(f - f_0)/\tau$. Это резко упрощает расчёты и сохраняет главную физику - экспоненциальное затухание отклонений к равновесию за время $\tau \approx \lambda/\bar v$, ценой потери угловой детализации рассеяния.

Коротко

Интеграл столкновений Больцмана - правая часть кинетического уравнения, баланс прихода ($f' f'_1$) и ухода ($f f_1$) частиц при парных соударениях. Его масштаб задаётся частотой столкновений $\nu = \sqrt{2}\,n\sigma\bar v$, он сохраняет массу, импульс и энергию, обеспечивает H-теорему и стремление к равновесию, а в приближении БГК сводится к простой релаксации $-(f-f_0)/\tau$.