Гнездовая выборка: когда отбирают группы целиком

Простая случайная выборка красива на бумаге и разорительна в поле: чтобы опросить тысячу человек, случайно рассыпанных по области, интервьюеру придётся объехать полтысячи населённых пунктов ради одной анкеты в каждом. Гнездовая выборка решает эту задачу иначе: единицей отбора становится не человек, а готовая группа людей, и внутри отобранной группы опрашивают всех или почти всех. Экономия огромна, но она оплачивается точностью, и размер этой платы считается заранее, а не обнаруживается по факту. Калькулятор ниже показывает, во что превращается собранная тысяча анкет после поправки на дизайн-эффект.

Что такое гнездовая выборка

Гнездовая (она же кластерная, англ. cluster sampling) выборка - это вероятностный отбор, при котором генеральная совокупность заранее разбита на естественные группы, а случайно отбираются сами группы, а не отдельные респонденты. Такая группа и называется гнездом или кластером: избирательный участок, дом, школьный класс, бригада, вагон поезда, студенческая группа.

Ключевое слово здесь - «естественные». Гнёзда не конструируются исследователем: они уже существуют, у них есть готовые списки состава и понятные границы. Именно поэтому гнездовой отбор так дёшев. Чтобы отобрать 40 избирательных участков, достаточно списка участков по региону, а вот чтобы отобрать 1000 конкретных жителей, нужен поимённый список всего населения области, которого у исследователя обычно нет. Гнездовая выборка позволяет не иметь основы выборки на уровне людей, обходясь основой на уровне групп. Общая рамка понятий - виды отбора, репрезентативность, ошибка - разобрана в статье про выборку в социологии, здесь речь только о кластерном дизайне.

Одноступенчатая и многоступенчатая схема

Одноступенчатая гнездовая выборка - самый простой случай: отобрали гнёзда и опросили в них всех. Если в исследовании удовлетворённости 30 отобранных школьных классов опрашиваются полностью, ступень ровно одна.

Многоступенчатая выборка добавляет уровни: гнёзда отбираются внутри гнёзд. Сначала из списка регионов отбираются регионы, внутри них - населённые пункты, внутри пунктов - избирательные участки, внутри участков - дома, и только на последней ступени отбираются квартиры или люди. Единицы первой ступени называют первичными (ПЕВ), последней - конечными.

Рассчитать для своей задачи

Практическое правило одно: основа выборки нужна не для всей страны, а только для отобранных единиц предыдущей ступени. Список домов нужен лишь для тех участков, которые уже попали в выборку, а не для всех участков России. Это и делает всероссийский опрос выполнимым.

Отдельно оговаривается вероятность отбора. Если гнёзда сильно разного размера, отбор с равной вероятностью даёт перекос: житель маленькой деревни получает больший шанс попасть в выборку, чем житель миллионника. Лечится это отбором с вероятностью, пропорциональной размеру гнезда (PPS), и последующим взвешиванием.

Гнездовая и стратифицированная выборка: главное различие

Их путают чаще всего, потому что обе сначала делят совокупность на части. Разница - в том, что делается дальше.

• Стратифицированная выборка: совокупность делится на страты (пол, возраст, курс, тип поселения), и отбор идёт из каждой страты без исключения. Цель деления - добиться, чтобы внутри каждой части люди были похожи между собой, а сами страты различались.
• Гнездовая выборка: совокупность делится на гнёзда, и отбираются целые гнёзда, а большинство гнёзд в выборку не попадает вообще. Цель деления - чтобы каждое гнездо было маленькой копией всей совокупности, а гнёзда между собой не различались.

Рассчитать для своей задачи

Требования прямо противоположные. Стратификация повышает точность (она убирает межгрупповую дисперсию из ошибки), гнездование точность понижает. Стратифицируют ради качества оценки, гнездуют ради экономии. В реальных опросах их совмещают: сначала районирование по типу поселения (стратификация), затем отбор участков внутри страт (гнездование).

Третий сосед по этой теме - квотная выборка: там тоже задаются доли групп, но отбор внутри квоты неслучайный, и вероятностные формулы ошибки к ней неприменимы.

Внутриклассовая корреляция: почему гнёзда обедняют выборку

Причина потери точности в одном: люди внутри гнезда похожи друг на друга сильнее, чем случайные люди из совокупности. Соседи по подъезду имеют близкий доход, одноклассники - одного учителя, бригада - общего мастера. Значит, десятый опрошенный в том же гнезде приносит гораздо меньше новой информации, чем десятый опрошенный из десяти разных гнёзд.

Меру этого сходства называют внутриклассовой (внутригрупповой) корреляцией и обозначают $\rho$. Она равна доле общей дисперсии признака, которая приходится на различия между гнёздами:

$\rho = \frac{\sigma^2_{\text{между}}}{\sigma^2_{\text{между}} + \sigma^2_{\text{внутри}}}$

При $\rho = 0$ гнёзда - идеальные микрокопии совокупности, и гнездовой отбор ничем не хуже простого случайного. При $\rho = 1$ все внутри гнезда одинаковы, и опрос всего гнезда равносилен опросу одного человека. На практике для территориальных гнёзд $\rho$ обычно лежит в пределах 0,01–0,08, для школьных классов и бригад заметно выше, а для домохозяйств по политическим установкам доходит до 0,3–0,5.

Дизайн-эффект: чем платят за дешевизну

Потеря точности сводится в один множитель - дизайн-эффект:

$\mathrm{DEFF} = 1 + (m - 1)\,\rho$

где $m$ - средний размер гнезда, то есть число опрошенных внутри одного кластера. Дизайн-эффект показывает, во сколько раз дисперсия оценки больше, чем была бы при простой случайной выборке того же объёма. Отсюда эффективный объём выборки:

$n_{\text{эфф}} = \frac{n}{\mathrm{DEFF}}$

Разберём типовой опрос: отобрано $k = 40$ участков, на каждом опрошено $m = 25$ человек, всего $n = 1000$ анкет, $\rho = 0{,}05$. Тогда $\mathrm{DEFF} = 1 + 24 \cdot 0{,}05 = 2{,}2$, а $n_{\text{эфф}} = 1000 / 2{,}2 \approx 455$. Тысяча собранных анкет по точности равна четырёмстам пятидесяти пяти при простом случайном отборе - больше половины поля ушло в никуда.

На предельную ошибку доли это действует через корень:

$\Delta_{\text{гн}} = 1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\mathrm{DEFF}}$

При $p = 0{,}5$ и $n = 1000$ ошибка простой случайной выборки составляет $\pm 3{,}1$ процентного пункта, а гнездовой - $\pm 4{,}6$. Чтобы вернуть точность к трём процентным пунктам, гнездовым отбором пришлось бы собрать 2200 анкет. Как считается сама предельная ошибка и откуда берётся множитель 1,96, показано в разборе про генеральную совокупность и выборку.

Рассчитать для своей задачи

Отсюда главный вывод для проектирования: в формуле дизайн-эффекта стоит размер гнезда $m$, а не их число $k$. Увеличение числа гнёзд точность улучшает, увеличение размера гнезда - ухудшает. Двадцать гнёзд по 50 человек и сто гнёзд по 10 человек дают одинаковую тысячу анкет, но при $\rho = 0{,}05$ дизайн-эффект в первом случае 3,45, а во втором - 1,45. Отсюда практическое правило поля: больше гнёзд, меньше людей в каждом, ровно настолько крупных, насколько позволяет бюджет на разъезды.

Районированная многоступенчатая выборка в массовом опросе

Типовая схема всероссийского опроса на 1600 человек выглядит так:

1. Районирование. Страна делится на страты: федеральные округа, внутри них - типы поселений (миллионники, крупные города, малые города, село). Это стратификация, она обязательна и не случайна.
2. Первая ступень. Внутри каждой страты случайно отбираются населённые пункты с вероятностью, пропорциональной числу жителей.
3. Вторая ступень. Внутри отобранного пункта случайно отбираются избирательные участки или микрорайоны - это и есть гнёзда.
4. Третья ступень. Внутри участка отбираются дома и квартиры по маршрутному листу с шагом.
5. Отбор в домохозяйстве. Внутри квартиры респондент выбирается по правилу ближайшего дня рождения - иначе в выборку систематически попадают неработающие и пожилые.

На каждой ступени фиксируется вероятность отбора, а итоговые веса собираются как произведение обратных вероятностей с постстратификационной поправкой по полу, возрасту и образованию. Инструментарий при этом описывается отдельно от схемы отбора - правила составления самой анкеты разобраны в материале про анкетирование.

Когда гнездовая выборка уместна

Гнездовой дизайн оправдан, если совпадают три условия: нет основы выборки на уровне людей, но есть на уровне групп; полевые расходы зависят от географического разброса; гнёзда внутренне разнородны. Классические случаи - территориальные опросы населения, школьные и вузовские исследования, обследования домохозяйств, аудит торговых точек.

Он неуместен, когда гнёзда однородны по изучаемому признаку: опрашивать целиком отделения одной партии, чтобы узнать политические предпочтения, бессмысленно - $\rho$ близка к единице, и сотня анкет даст информации как несколько. Не подходит гнездование и для редких групп: если признак встречается у 2% населения, в случайно отобранном подъезде его носителей просто не окажется.

Частые ошибки

• Считают ошибку по формуле простой случайной выборки. Самая частая ошибка курсовых: собрали кластерную выборку, а доверительный интервал посчитали как $1{,}96\sqrt{p(1-p)/n}$. Интервал занижен в $\sqrt{\mathrm{DEFF}}$ раз, а выводы о значимости различий становятся ложноположительными.
• Путают гнездо со стратой. Формулировка «выборка гнездовая, отобрали по 20 человек из каждого факультета» описывает стратификацию: если охвачены все факультеты, гнездования нет.
• Берут мало гнёзд, но крупных. Пять школ по 200 учеников - это выборка, эффективный объём которой измеряется десятками. Минимально приемлемым числом гнёзд обычно считают 30, иначе не оценить межгнездовую дисперсию.
• Отбирают гнёзда с равной вероятностью при разных размерах. Без PPS или последующего взвешивания жители малых населённых пунктов оказываются перепредставлены.
• Опрашивают в гнезде «кто попался». Случайность должна сохраняться на каждой ступени; замена последней ступени удобным отбором превращает вероятностную выборку в стихийную, и формулы ошибки перестают работать.

FAQ

Гнездовая и кластерная выборка - это одно и то же? Да. «Кластерная» - калька с английского cluster sampling, «гнездовая» - термин отечественной традиции. В российских учебниках чаще встречается «гнездовая», в статистических пакетах и статьях - «кластерная». Серийной выборкой обычно называют её же разновидность, где гнездо опрашивается сплошь.

Как узнать внутриклассовую корреляцию до опроса? Точно - никак, она оценивается по данным уже проведённого исследования через дисперсионный анализ. На этапе проектирования берут значение из прошлых волн того же опроса или из литературы по близкой тематике: для территориальных гнёзд обычно закладывают 0,02–0,05, для организаций и учебных групп - 0,1–0,2. Затем расчёт объёма делают с запасом.

Нужно ли увеличивать объём выборки при гнездовом отборе? Да, ровно в $\mathrm{DEFF}$ раз по сравнению с расчётом для простой случайной выборки. Если формула дала 400 наблюдений, а дизайн-эффект оценён в 1,8, планировать нужно 720 анкет. Именно так поступают в медицинских кластерных испытаниях, где поправка на дизайн-эффект обязательна по протоколу.

Коротко

Гнездовая выборка отбирает не людей, а готовые группы и опрашивает их целиком, за счёт чего резко удешевляет поле и снимает требование иметь список всей совокупности. Платой становится дизайн-эффект $\mathrm{DEFF} = 1 + (m-1)\rho$: люди внутри гнезда похожи, эффективный объём выборки падает до $n/\mathrm{DEFF}$, а доверительный интервал расширяется в $\sqrt{\mathrm{DEFF}}$ раз. От стратифицированной выборки её отличает то, что гнёзда берутся целиком и большинство из них в выборку не попадает, а требование к делению обратное: гнёзда должны быть разнородными внутри и одинаковыми между собой. Проектируя схему, увеличивают число гнёзд, а не их размер, и обязательно пересчитывают ошибку с поправкой на дизайн-эффект.