Гиперболическая спираль: уравнение, асимптота и график

Гиперболическая спираль - это плоская кривая, заданная в полярных координатах уравнением $r = a/\varphi$, где $a$ - постоянный параметр, а $\varphi$ - полярный угол. Своё название она получила потому, что зависимость радиуса от угла - это гипербола: произведение $r\varphi = a$ остаётся постоянным, как у обычной гиперболы $xy = \text{const}$. У кривой два примечательных предела: при больших углах она бесконечно навивается на полюс, а при малых уходит в бесконечность вдоль горизонтальной прямой. Ниже разберём полярное и параметрическое уравнения, выведем уравнение асимптоты, объясним поведение у полюса, посчитаем длину дуги и пройдём типовые задачи аналитической геометрии. Чтобы сразу почувствовать связь параметра, угла и радиуса, покрутите калькулятор ниже: он строит спираль вместе с асимптотой и показывает, как меняется текущая точка.

Полярное уравнение гиперболической спирали

Базовая форма записи кривой - полярное уравнение:

$r = \frac{a}{\varphi}, \qquad \text{или эквивалентно} \qquad r\varphi = a.$

Здесь $r$ - расстояние от полюса до точки, $\varphi$ - угол поворота радиус-вектора, а $a$ - параметр, который задаёт масштаб кривой. Чем больше $a$, тем дальше от полюса проходит каждый виток при том же угле. Поскольку $r$ обратно пропорционален $\varphi$, с ростом угла радиус монотонно убывает: точка приближается к полюсу, но никогда его не достигает. Это и отличает гиперболическую спираль от архимедовой $r = a\varphi$, у которой радиус, наоборот, растёт с углом. По сути, гиперболическая спираль - это инверсия архимедовой относительно полюса (замена $r$ на $a^2/r$ переводит одну в другую).

Важно, что угол $\varphi$ здесь измеряется в радианах и не ограничивается отрезком $[0, 2\pi]$: чтобы кривая успела навиться на полюс несколькими витками, $\varphi$ пробегает значения вплоть до $2\pi, 4\pi, 6\pi$ и дальше. В калькуляторе выше ползунок «витков к полюсу» как раз растягивает диапазон угла и показывает, как сгущаются витки.

Параметрические и декартовы уравнения

Чтобы построить гиперболическую спираль на обычной координатной плоскости, переходят от полярных координат к декартовым по стандартным формулам $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$. Подставив $r = a/\varphi$, получаем параметрические уравнения кривой с параметром $\varphi$:

$x(\varphi) = \frac{a}{\varphi}\cos\varphi, \qquad y(\varphi) = \frac{a}{\varphi}\sin\varphi.$

Эта пара уравнений и есть рабочая запись для расчётов: задавая значение угла, мы получаем готовые координаты точки на кривой. Например, при $a = 2$ и $\varphi = 90^\circ = \pi/2$ радиус равен $r = 2/(\pi/2) \approx 1{,}27$, а сама точка лежит на оси ординат: $x = 0$, $y \approx 1{,}27$. Калькулятор статьи считает эти координаты для любого угла и показывает точку M на графике вместе с радиус-вектором из полюса.

Рассчитать для своей задачи

Анимация показывает роль параметра $a$: он одновременно растягивает все витки и поднимает горизонтальную прямую, к которой прижимается внешняя ветвь кривой. К выводу уравнения этой прямой мы и переходим.

Горизонтальная асимптота y = a

Самое неочевидное свойство гиперболической спирали в том, что при $\varphi \to 0$ радиус неограниченно растёт ($r \to \infty$), но кривая не убегает как попало, а прижимается к конкретной горизонтальной прямой. Найдём её, рассмотрев предел ординаты точки при стремлении угла к нулю:

$\lim_{\varphi \to 0} y = \lim_{\varphi \to 0} \frac{a\sin\varphi}{\varphi} = a \cdot \lim_{\varphi \to 0}\frac{\sin\varphi}{\varphi} = a \cdot 1 = a.$

Здесь мы воспользовались первым замечательным пределом $\sin\varphi/\varphi \to 1$. При этом абсцисса $x = (a/\varphi)\cos\varphi$ уходит в $+\infty$, потому что $\cos\varphi \to 1$, а множитель $a/\varphi$ растёт без границ. Итог: при $\varphi \to 0$ точка кривой уходит вправо вдоль прямой $y = a$. Эта прямая и есть горизонтальная асимптота гиперболической спирали.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке видно, что внешняя ветвь идёт почти параллельно оси абсцисс и подходит к прямой $y = a$ снизу, никогда её не пересекая. Высота асимптоты в точности равна параметру $a$ - именно поэтому в калькуляторе изменение $a$ двигает пунктирную линию вверх и вниз. Это удобный визуальный контроль: где проходит асимптота, такое и значение $a$.

Поведение у полюса

Второй предел - противоположный. При $\varphi \to \infty$ радиус $r = a/\varphi$ стремится к нулю, поэтому кривая бесконечно навивается на полюс, делая всё более тесные витки. Однако в самой точке полюса кривая не существует: при $\varphi = \infty$ радиус был бы равен нулю, но это лишь предельное значение. Полюс - это асимптотическая точка спирали: кривая подходит к нему сколь угодно близко, но не достигает за конечное число витков.

Рассчитать для своей задачи

Эта двойственность - бесконечная внешняя ветвь и асимптотическая точка в центре - делает гиперболическую спираль удобной моделью в задачах, где нужно описать процесс с затуханием: радиус как бы «истощается» с каждым оборотом. Заметьте, что число витков формально бесконечно, но геометрически они так быстро сгущаются, что на любом конечном рисунке видны лишь несколько внешних оборотов, а дальше витки сливаются в точку. В калькуляторе график радиуса справа наглядно показывает гиперболическое падение $r$ с ростом $\varphi$.

Длина дуги гиперболической спирали

Длину дуги любой кривой в полярных координатах считают по формуле

$L = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2}\, d\varphi.$

Для гиперболической спирали $r = a/\varphi$, значит, производная $dr/d\varphi = -a/\varphi^2$. Подставим оба выражения под корень:

$r^2 + \left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 = \frac{a^2}{\varphi^2} + \frac{a^2}{\varphi^4} = \frac{a^2}{\varphi^4}\left(\varphi^2 + 1\right).$

Извлекая корень и вынося $a$, получаем компактную подынтегральную функцию:

$L = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \frac{a\sqrt{\varphi^2 + 1}}{\varphi^2}\, d\varphi.$

Этот интеграл не берётся в элементарных функциях, поэтому в задачах его либо оставляют в таком виде, либо считают численно для конкретных границ. Например, для $a = 2$ на участке от $\varphi_1 = \pi/2$ до $\varphi_2 = 2\pi$ длина дуги составляет примерно $2{,}95$. Калькулятор статьи численно интегрирует ровно эту формулу от текущего угла до крайнего витка и выводит длину дуги до полюса.

Чем гиперболическая спираль отличается от других

В задачах аналитической геометрии гиперболическую спираль легко перепутать с соседними кривыми, поэтому держите в голове отличия:

• Архимедова спираль $r = a\varphi$: радиус растёт с углом, витки расположены на равных расстояниях, асимптоты нет. Гиперболическая - её инверсия с противоположным поведением.
• Логарифмическая спираль $r = a e^{k\varphi}$: радиус меняется в геометрической прогрессии, кривая самоподобна; у гиперболической самоподобия нет.
• Жезл (спираль Лиуккоса) $r = a/\sqrt{\varphi}$: тоже стремится к полюсу, но по другому закону - без горизонтальной асимптоты.

Ключевой опознавательный признак гиперболической спирали - именно сочетание двух пределов: горизонтальная асимптота $y = a$ снаружи и асимптотическая точка-полюс внутри.

Частые ошибки

• Считают угол в градусах внутри формул. Все полярные формулы и пределы (особенно $\sin\varphi/\varphi \to 1$) работают только в радианах. Переводите $\varphi$ в радианы перед подстановкой.
• Путают асимптоту с осью. Горизонтальная асимптота - это прямая $y = a$, а не ось абсцисс. Высота асимптоты равна параметру $a$, а не нулю.
• Думают, что кривая достигает полюса. Полюс - асимптотическая точка: радиус стремится к нулю лишь в пределе $\varphi \to \infty$, ни на каком конкретном витке кривая в полюс не приходит.
• Берут предел не той координаты. Асимптоту даёт предел ординаты $y = (a\sin\varphi)/\varphi$ при $\varphi \to 0$, а не радиуса: радиус-то как раз уходит в бесконечность.
• Пытаются взять интеграл длины «в лоб». Подынтегральная функция $a\sqrt{\varphi^2+1}/\varphi^2$ не имеет элементарной первообразной - для числа считайте численно или оставляйте ответ в интегральной форме.

FAQ

Почему спираль называется гиперболической? Потому что зависимость радиуса от угла $r = a/\varphi$ - это гипербола: произведение $r\varphi = a$ постоянно, как у равнобочной гиперболы $xy = a$. К гиперболе на плоскости $(x, y)$ сама спираль отношения не имеет, название идёт именно от закона $r(\varphi)$.

Есть ли у гиперболической спирали асимптота? Да, одна горизонтальная асимптота $y = a$. Её даёт предел ординаты $y = (a\sin\varphi)/\varphi \to a$ при $\varphi \to 0$. Вертикальной асимптоты нет, потому что абсцисса при этом уходит в бесконечность.

Чем гиперболическая спираль отличается от архимедовой? У архимедовой спирали $r = a\varphi$ радиус растёт с углом, витки равноотстоящие, асимптоты нет. У гиперболической $r = a/\varphi$ радиус убывает, витки сгущаются к полюсу, а снаружи есть асимптота $y = a$. Эти две кривые связаны инверсией относительно полюса.

Коротко

Гиперболическая спираль задаётся полярным уравнением $r = a/\varphi$ (или $r\varphi = a$), а на плоскости - параметрическими уравнениями $x = (a/\varphi)\cos\varphi$, $y = (a/\varphi)\sin\varphi$. У кривой два характерных предела: при $\varphi \to 0$ она прижимается к горизонтальной асимптоте $y = a$ (через первый замечательный предел $\sin\varphi/\varphi \to 1$), а при $\varphi \to \infty$ бесконечно навивается на полюс, который служит асимптотической точкой. Длина дуги считается интегралом $\int a\sqrt{\varphi^2+1}/\varphi^2\, d\varphi$, не берущимся в элементарных функциях. Главное в задачах - работать в радианах, не путать асимптоту с осью и помнить, что полюс кривая лишь приближается, но не достигает.