Логарифмическая спираль: свойства, формула и угол

Логарифмическая спираль - это кривая, которая в полярных координатах задаётся уравнением $r = a\,e^{b\varphi}$: с каждым оборотом её радиус не прибавляется на постоянную величину, как у спирали Архимеда, а умножается на постоянный множитель. Именно из-за этого она выглядит одинаково при любом увеличении и встречается всюду - от раковины наутилуса и рукавов галактик до спиральных антенн. В этой статье разберём её главные свойства: постоянный угол между радиус-вектором и касательной, самоподобие, рост радиуса за виток и конечную длину дуги, а также покажем, где студенты ошибаются в задачах. Чтобы сразу почувствовать, как параметры $a$ и $b$ управляют формой, покрутите калькулятор ниже: он строит спираль, считает угол с касательной, множитель роста и длину дуги.

Полярное и параметрическое уравнение

Базовое уравнение логарифмической спирали записывают в полярных координатах:

$r = a\,e^{b\varphi},$

где $r$ - расстояние от полюса до точки, $\varphi$ - полярный угол, $a > 0$ - масштабный коэффициент (радиус при $\varphi = 0$), а $b$ - коэффициент роста, который и определяет, насколько туго закручена кривая. При $b > 0$ спираль раскручивается против часовой стрелки, при $b < 0$ - по часовой, а при $b \to 0$ она вырождается в окружность радиуса $a$.

Чтобы перейти к декартовым координатам, подставляем $r = a\,e^{b\varphi}$ в формулы связи $x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$ и получаем параметрические уравнения:

$x = a\,e^{b\varphi}\cos\varphi, \qquad y = a\,e^{b\varphi}\sin\varphi.$

Здесь параметром выступает угол $\varphi$, который меняется от $-\infty$ до $+\infty$. Отрицательные значения отвечают за внутренние витки, неограниченно приближающиеся к полюсу.

Рассчитать для своей задачи

Постоянный угол с касательной: почему спираль равноугольная

Главное свойство, давшее кривой второе имя - равноугольная спираль, - в том, что угол $\alpha$ между радиус-вектором и касательной к кривой одинаков в каждой точке. Найти его несложно: тангенс угла между радиусом и касательной в полярных координатах равен $r / \dfrac{dr}{d\varphi}$. Поскольку $\dfrac{dr}{d\varphi} = a b\,e^{b\varphi} = b\,r$, получаем

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{r}\frac{dr}{d\varphi} = b, \qquad \alpha = \operatorname{arcctg} b.$

Угол $\alpha$ зависит только от $b$ и совсем не зависит от $\varphi$ - вот почему спираль пересекает все лучи, выходящие из полюса, под одним и тем же углом. У окружности этот угол равен $90^\circ$ (касательная перпендикулярна радиусу); чем меньше $b$, тем ближе спираль к окружности, и тем ближе $\alpha$ к прямому углу.

Рассчитать для своей задачи

Именно постоянство угла объясняет, почему ночные бабочки, держащие постоянный угол к источнику света, движутся по логарифмической спирали, и почему такую форму выбирают спиральные антенны: их характеристики не зависят от частоты, потому что масштаб не меняет геометрию.

Самоподобие и рост радиуса за виток

Подставим в уравнение угол $\varphi + 2\pi$, то есть сделаем один полный оборот:

$r(\varphi + 2\pi) = a\,e^{b(\varphi + 2\pi)} = e^{2\pi b}\cdot a\,e^{b\varphi} = e^{2\pi b}\, r(\varphi).$

За каждый оборот радиус умножается на постоянный множитель

$k = e^{2\pi b}.$

Это и есть самоподобие: поворот спирали на любой угол эквивалентен её растяжению (или сжатию) относительно полюса. Если сфотографировать спираль, повернуть снимок и подобрать масштаб, картинка совпадёт с исходной. Геометрически расстояния между соседними витками вдоль одного луча образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $k$ - в отличие от спирали Архимеда, где витки отстоят на одинаковое расстояние.

Частный случай - золотая спираль, у которой за четверть оборота радиус увеличивается в $\varphi_{\text{з}} \approx 1{,}618$ раза (золотое сечение). Это даёт $b = \dfrac{\ln \varphi_{\text{з}}}{\pi/2} \approx 0{,}306$.

Длина дуги: бесконечно витков, конечная длина

Удивительное свойство: длина дуги от полюса (где $\varphi \to -\infty$) до точки на угле $\varphi$ конечна, хотя витков к полюсу бесконечно много. Длина дуги в полярных координатах считается по формуле $L = \int \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\varphi$. Подставив $r' = b\,r$, выносим $r$ за корень:

$L = \int \sqrt{r^2 + b^2 r^2}\,d\varphi = \sqrt{1 + b^2}\int r\,d\varphi.$

Интеграл от $r = a\,e^{b\varphi}$ берётся в явном виде, и для длины от полюса до точки получаем компактную формулу:

$L = \frac{\sqrt{1 + b^2}}{b}\, r = \frac{\sqrt{1 + b^2}}{b}\, a\,e^{b\varphi}.$

Длина дуги пропорциональна текущему радиусу - ещё одно проявление самоподобия. То, что она конечна при бесконечном числе витков, первым показал Торричелли: полюс остаётся асимптотической точкой, к которой кривая навивается, но которой никогда не достигает.

Где встречается и как отличить от других спиралей

Логарифмическую спираль легко перепутать с другими, но отличие в законе роста радиуса:

• спираль Архимеда $r = a\varphi$ - радиус растёт линейно, витки равноотстоящие;
• гиперболическая спираль $r = a/\varphi$ - радиус убывает, есть прямолинейная асимптота;
• логарифмическая $r = a\,e^{b\varphi}$ - радиус растёт по экспоненте, витки расходятся в геометрической прогрессии.

В природе и технике встречается именно логарифмическая: раковины моллюсков, рога баранов, расположение семечек, спиральные галактики, профиль фрезы и кулачков с постоянным углом резания.

Частые ошибки

• Путают с архимедовой спиралью. Если в задаче витки отстоят на одинаковое расстояние, это Архимед ($r = a\varphi$), а не логарифмическая ($r = a\,e^{b\varphi}$).
• Считают угол $\alpha$ зависящим от точки. На самом деле $\operatorname{ctg}\alpha = b$ - угол постоянен, в этом весь смысл названия равноугольная.
• Берут длину дуги от $\varphi = 0$, а не от полюса. Полюс отвечает $\varphi \to -\infty$; нижний предел интеграла надо аккуратно проверять по условию.
• Забывают про знак $b$. Знак задаёт направление закрутки; при $b < 0$ формула множителя роста даёт $k < 1$ (радиус убывает за оборот).
• Принимают $a$ за радиус витка. $a$ - это радиус только при $\varphi = 0$, дальше радиус меняется по экспоненте.

FAQ

Чем логарифмическая спираль отличается от спирали Архимеда? У Архимеда радиус растёт линейно с углом ($r = a\varphi$), и витки равноотстоящие. У логарифмической радиус растёт по экспоненте ($r = a\,e^{b\varphi}$), расстояния между витками увеличиваются в геометрической прогрессии, а угол с касательной постоянен.

Почему её называют равноугольной? Потому что угол между радиус-вектором и касательной одинаков во всех точках и равен $\operatorname{arcctg} b$. Кривая пересекает каждый луч из полюса под одним и тем же углом - это и есть равноугольность.

Какая длина у логарифмической спирали до полюса? Конечная, несмотря на бесконечное число витков: $L = \dfrac{\sqrt{1 + b^2}}{b}\, r$, где $r$ - радиус в крайней точке. Полюс при этом остаётся недостижимой асимптотической точкой.

Коротко

Логарифмическая спираль задаётся уравнением $r = a\,e^{b\varphi}$: радиус растёт по экспоненте, поэтому витки расходятся в геометрической прогрессии с множителем $k = e^{2\pi b}$ за оборот. Её ключевые свойства - постоянный угол с касательной $\alpha = \operatorname{arcctg} b$ (отсюда название равноугольная), самоподобие (поворот неотличим от растяжения) и конечная длина дуги $L = \tfrac{\sqrt{1+b^2}}{b}\,r$ при бесконечном числе витков к асимптотическому полюсу. В задачах главное - не спутать её закон роста с архимедовой и гиперболической спиралями.