Флуктуационно-диссипационная теорема: связь шума и трения

Любая система, способная рассеивать энергию, обязательно дрожит сама по себе. Резистор, через который течёт ток, греется - и тот же резистор без всякого источника выдаёт на концах слабое шумовое напряжение. Частица в вязкой жидкости тормозится трением - и она же беспорядочно блуждает под ударами молекул. Эти два явления не просто соседствуют: они жёстко связаны одной величиной - температурой. Флуктуационно-диссипационная теорема (ФДТ) утверждает, что спектр равновесных флуктуаций системы однозначно определяется тем, как эта система откликается на внешнее воздействие, то есть её диссипацией. Ниже разберём, откуда берётся эта связь, как из неё получаются формула Найквиста и соотношение Эйнштейна, и где теорема перестаёт работать. Калькулятор ниже посчитает спектральную плотность шума для конкретных параметров.

Что утверждает теорема

ФДТ связывает две на первый взгляд независимые характеристики системы в тепловом равновесии:

• флуктуации - самопроизвольные отклонения некоторой величины $x(t)$ (заряда, скорости, намагниченности) от среднего, даже когда никакого внешнего воздействия нет;
• диссипацию - необратимое рассеяние энергии, когда мы выводим систему из равновесия силой и она отвечает с запаздыванием и потерями.

Количественно флуктуации описывают спектральной плотностью $S_x(\omega)$ - как мощность колебаний распределена по частотам. Диссипацию описывают мнимой частью обобщённой восприимчивости $\chi(\omega)$ - реакции $x$ на сопряжённую силу $f$. Теорема в классической форме гласит:

$$S_x(\omega) = \frac{2 k_B T}{\omega}\,\mathrm{Im}\,\chi(\omega)$$

Здесь $k_B$ - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура. Левая часть - то, что система делает сама (шум). Правая часть - то, как она отзывается на нас (отклик с потерями). Множитель между ними - только температура. Это и есть содержание ФДТ: измерив затухание, вы предсказали шум, и наоборот.

Рассчитать для своей задачи

Исторический путь к теореме

Связь шума и диссипации открывалась по частям. В 1905 году Эйнштейн в теории броуновского движения показал, что коэффициент диффузии $D$ частицы и коэффициент её вязкого трения $\gamma$ связаны соотношением

$$D = \frac{k_B T}{\gamma}$$

Это первый исторический пример ФДТ: диффузия (мера флуктуаций положения) обратно пропорциональна трению (мере диссипации). Чем сильнее среда тормозит частицу, тем медленнее та расплывается.

В 1928 году Джонсон экспериментально обнаружил шумовое напряжение на резисторах, а Найквист в том же году вывел его формулу термодинамически. В 1951 году Каллен и Велтон доказали общую теорему для произвольной линейной диссипативной системы, включив и квантовый случай. С тех пор ФДТ - один из центральных результатов статистической физики неравновесных процессов, тесно связанный с равновесным распределением Максвелла-Больцмана по скоростям.

Соотношение Эйнштейна как частный случай

Возьмём свободную броуновскую частицу. Её движение описывает уравнение Ланжевена:

$$m\dot{v} = -\gamma v + \xi(t)$$

Член $-\gamma v$ - это диссипация (вязкое трение), а $\xi(t)$ - случайная сила со стороны молекул среды (флуктуации). Эти два члена не независимы: они порождены одним и тем же столкновением частицы с молекулами. Если бы трение было, а случайной силы не было, частица бы остановилась и охладилась ниже температуры среды - это нарушило бы равновесие. ФДТ как раз фиксирует баланс: интенсивность случайной силы $\langle \xi(t)\xi(t')\rangle = 2\gamma k_B T\,\delta(t-t')$ жёстко привязана к коэффициенту трения $\gamma$ и температуре $T$.

Из этого баланса средняя кинетическая энергия частицы держится на уровне $\tfrac{1}{2}k_B T$ на степень свободы (теорема о равнораспределении), а коэффициент диффузии выходит равным $D = k_B T/\gamma$.

Формула Найквиста: тепловой шум резистора

Электрический аналог - самый практичный пример ФДТ. Резистор сопротивлением $R$ при температуре $T$ создаёт на разомкнутых концах флуктуирующее напряжение. Его односторонняя спектральная плотность в классическом пределе:

$$S_V(f) = 4 k_B T R$$

Это формула Найквиста (джонсоновский шум). Здесь роль диссипации играет сопротивление $R$ (оно же определяет рассеиваемую мощность $I^2 R$), а роль флуктуаций - спектр шумового напряжения. Заметьте: шум белый - не зависит от частоты в широком диапазоне, пока не вступают квантовые эффекты.

Рассчитать для своей задачи

Среднеквадратичное шумовое напряжение в полосе $\Delta f$:

$$\langle V^2 \rangle = 4 k_B T R\,\Delta f$$

Именно поэтому малошумящие усилители охлаждают: уменьшая $T$, уменьшают шум по корню. При комнатной температуре резистор 1 кОм в полосе 1 МГц даёт около 4 мкВ среднеквадратичного шума - фундаментальный предел, который нельзя обойти схемотехникой.

Квантовая форма и переход к классике

Каллен и Велтон записали ФДТ так, что она работает и для квантовых систем:

$$S_x(\omega) = 2\hbar\,\mathrm{Im}\,\chi(\omega)\left[\,n(\omega) + \tfrac{1}{2}\,\right],\quad n(\omega) = \frac{1}{e^{\hbar\omega/k_B T}-1}$$

Здесь $n(\omega)$ - среднее число квантов, заданное статистикой Бозе-Эйнштейна, а слагаемое $\tfrac{1}{2}$ отвечает нулевым колебаниям. В пределе высоких температур или низких частот, когда $\hbar\omega \ll k_B T$, скобка стремится к $k_B T/\hbar\omega$, и формула переходит в классическую $S_x = (2k_B T/\omega)\,\mathrm{Im}\,\chi$. Для резистора это означает поправку к Найквисту: на очень высоких частотах или при сверхнизких $T$ шум перестаёт быть белым и насыщается на уровне нулевых колебаний.

Восприимчивость и причинность

Почему именно мнимая часть $\chi(\omega)$ отвечает за диссипацию? Восприимчивость $\chi(\omega) = \chi'(\omega) + i\chi''(\omega)$ связывает отклик и силу: $x(\omega) = \chi(\omega) f(\omega)$. Вещественная часть $\chi'$ описывает синфазную (упругую, запасающую энергию) реакцию, а мнимая $\chi''$ - реакцию, сдвинутую по фазе на 90 градусов, то есть работу силы над системой, которая уходит в тепло. Поэтому средняя поглощаемая мощность пропорциональна именно $\omega\chi''(\omega)$.

Причинность (отклик не может опережать воздействие) связывает $\chi'$ и $\chi''$ соотношениями Крамерса-Кронига. Вместе с ФДТ это даёт замкнутую картину: измеримый отклик системы полностью определяет её равновесный шум, и никакой дополнительной информации не требуется.

Где теорема применяется

ФДТ - рабочий инструмент далеко за пределами учебника:

• Метрология и электроника - расчёт предельной чувствительности усилителей, болометров, гравитационных детекторов (тепловой шум подвеса зеркал LIGO считают именно через ФДТ).
• Физическая химия - связь коэффициентов диффузии с подвижностью ионов, спектроскопия времён релаксации.
• Биофизика - анализ микрореологии клетки: по тепловым флуктуациям зонда восстанавливают вязкоупругие модули цитоплазмы.
• Численное моделирование - термостаты Ланжевена в молекулярной динамике строятся так, чтобы случайная сила и трение удовлетворяли ФДТ, иначе система не выйдет на правильную температуру.

Частые ошибки

• Путают флуктуации и шум измерителя. ФДТ описывает шум самой системы в равновесии, а не наводки, дробовой шум или ошибки прибора. Дробовой шум (формула Шоттки) - неравновесный и под ФДТ не подпадает.
• Применяют теорему вне равновесия. Классическая ФДТ верна только в тепловом равновесии. Для систем под постоянным потоком энергии (активная материя, токонесущие переходы) нужны обобщённые соотношения (Харада-Сасы, неравенства Джарзинского), а наивная подстановка даёт неверную «эффективную температуру».
• Забывают про множитель и размерности. Двусторонний и односторонний спектр различаются множителем 2; путаница между ними - источник ошибки в 3 дБ при расчёте шума. Найквист $4k_BTR$ - это уже односторонний спектр.
• Считают шум зависящим от материала проводника. Джонсоновский шум определяется только $R$ и $T$, но не природой сопротивления - это прямое следствие универсальности ФДТ.
• Смешивают $\chi''$ и полную $\chi$. За диссипацию и шум отвечает именно мнимая часть восприимчивости, а не её модуль или вещественная часть.

FAQ

Чем флуктуационно-диссипационная теорема отличается от соотношения Эйнштейна? Соотношение Эйнштейна $D = k_B T/\gamma$ - это частный случай ФДТ для одной величины (положения броуновской частицы). Общая теорема формулируется для произвольной линейной системы через восприимчивость $\chi(\omega)$ и охватывает электрические, магнитные и механические флуктуации сразу.

Почему шум резистора не зависит от приложенного напряжения? Джонсоновский (тепловой) шум - равновесный, он есть и при нулевом токе, поскольку порождён тепловым движением носителей. Напряжение добавляет другой, неравновесный дробовой шум, но его описывает уже не ФДТ, а формула Шоттки.

Можно ли применять ФДТ к живой клетке или активной среде? Напрямую - нет. В таких системах есть постоянная подкачка энергии (АТФ, ток), и равновесие нарушено. Отклонение измеренного шума от предсказанного ФДТ как раз служит мерой неравновесности - на этом построены современные методы активной микрореологии.

Коротко

Флуктуационно-диссипационная теорема говорит, что в тепловом равновесии шум системы и её диссипация - две стороны одной медали, связанные через температуру: $S_x(\omega) = (2k_B T/\omega)\,\mathrm{Im}\,\chi(\omega)$. Из неё как частные случаи следуют соотношение Эйнштейна $D = k_B T/\gamma$ и формула Найквиста $S_V = 4k_B T R$. Теорема верна только в равновесии и в линейном отклике; за её пределами отклонение шума от предсказания измеряет, насколько система далека от равновесия.