Как найти НОК двух чисел: два способа с примером

Дано: числа $a = 126$ и $b = 120$, а также две шестерни в зацеплении, у одной 126 зубьев, у другой 120. Найти: наименьшее общее кратное этих чисел и число оборотов каждой шестерни до момента, когда отмеченная пара зубьев снова сойдётся.

Решаем двумя способами, и оба приводят к одному ответу: НОК(126, 120) = 2520. В первом раскладываем числа на простые множители и берём каждое простое в наибольшей степени, во втором делим произведение чисел на их НОД, равный 6. Для шестерён ответ такой: 20 оборотов у шестерни со 126 зубьями и 21 оборот у шестерни со 120 зубьями. Калькулятор сверху показывает, где впервые совпадают кратные двух чисел, и пересчитывает всё для любой пары.

Решение по шагам

Дано. $a = 126$, $b = 120$. Найти: $\text{НОК}(126,\,120)$ двумя способами и число оборотов шестерён.

Способ 1. Разложение на простые множители

Шаг 1. Раскладываем первое число. Делим на простые по возрастанию, пока в частном не останется простое число:

$$126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7.$$

Шаг 2. Раскладываем второе число тем же приёмом:

$$120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.$$

Как вести перебор делителей и где его останавливать, подробно показано в разборе разложения числа на простые множители. Здесь числа небольшие, и хватает признаков делимости на 2 и на 3.

Шаг 3. Выписываем все простые из обоих разложений и выбираем наибольшую степень каждого. Удобнее всего вести таблицу. Ноль в клетке означает, что простое в число не входит.

Двойку берём из 120, тройку из 126. Пятёрку и семёрку тоже берём, хотя каждая встречается только в одном из чисел. Именно на этом пункте чаще всего теряют множитель.

Шаг 4. Перемножаем выбранные степени:

$$\text{НОК}(126,\,120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 35 = 2520.$$

Способ 2. Через НОД

Шаг 5. Находим НОД. Из той же таблицы берём наименьшие степени: $2^1 \cdot 3^1 = 6$. Для больших чисел НОД быстрее искать делениями с остатком, этот путь разобран на странице про НОД двух чисел. Результат совпадёт.

Шаг 6. Делим произведение чисел на НОД. Чтобы не возиться с пятизначным произведением, сначала делим на НОД одно из чисел, а потом умножаем:

$$\text{НОК}(126,\,120) = \frac{126 \cdot 120}{6} = \frac{126}{6} \cdot 120 = 21 \cdot 120 = 2520.$$

Шаг 7. Проверяем. Делим ответ на оба числа: $2520 : 126 = 20$ и $2520 : 120 = 21$, остатков нет. Частные 20 и 21 взаимно просты, значит меньшего общего кратного не существует. Почему этот признак работает, объяснено ниже.

Шаг 8. Решаем задачу про шестерни. Шестерни в зацеплении прокручивают через точку контакта одинаковое число зубьев. Отмеченный зуб первой шестерни возвращается к точке контакта через каждые 126 зубьев, отмеченный зуб второй через каждые 120. Пара встретится снова, когда число прошедших зубьев $N$ разделится и на 126, и на 120, а впервые это случится при $N = \text{НОК} = 2520$:

$$\frac{2520}{126} = 20, \qquad \frac{2520}{120} = 21.$$

Ответ. $\text{НОК}(126,\,120) = 2520$. До новой встречи отмеченных зубьев шестерня со 126 зубьями сделает 20 оборотов, а шестерня со 120 зубьями сделает 21 оборот.

Почему НОК собирается из наибольших степеней

Любое общее кратное $M$ делится и на 126, и на 120. Значит, в разложение $M$ обязано входить всё, из чего состоит 126, то есть $2$, $3^2$ и $7$, и всё, из чего состоит 120, то есть $2^3$, $3$ и $5$. Двойка должна стоять в степени не меньше третьей, иначе $M$ не разделится на 120. Тройка должна стоять в степени не меньше второй, иначе не выйдет разделить на 126.

Наименьшее число, которое выполняет все требования сразу, получается, если взять каждое простое ровно в нужной степени и не добавлять ничего лишнего. Любой дополнительный множитель только увеличит число, не сделав его «более кратным».

Отсюда же следует формула через НОД. Для каждого простого меньшая и большая из двух степеней в сумме дают обе степени:

$$\min(\alpha,\beta) + \max(\alpha,\beta) = \alpha + \beta.$$

Минимумы собирают НОД, максимумы собирают НОК, а суммы показателей дают произведение самих чисел. Поэтому для любых натуральных $a$ и $b$

$$\text{НОД}(a,\,b) \cdot \text{НОК}(a,\,b) = a \cdot b.$$

На нашем примере: $6 \cdot 2520 = 15\,120 = 126 \cdot 120$. Эту строку удобно писать в конце любой задачи как контроль.

Второй полезный факт: любое общее кратное делится на НОК. Кратные 126 и 120 совпадают в точках 2520, 5040, 7560 и дальше с шагом 2520, а между ними совпадений нет. На графике калькулятора это видно сразу: две дорожки точек идут с разным шагом и впервые сходятся ровно на 2520.

Какой способ выбрать и как проверить ответ

Разложение удобно, когда числа двузначные или трёхзначные и легко делятся на 2, 3 и 5. Вся работа помещается в одну таблицу, а заодно получается и НОД. Для четырёхзначных чисел, особенно с крупными простыми множителями вроде 97 или 103, разложение затягивается: приходится проверять кандидатов на простоту один за другим.

В таких случаях выгоднее формула через НОД. Наибольший общий делитель находится несколькими делениями с остатком, после чего остаются одно деление и одно умножение. Раскладывать ничего не нужно.

Два частных случая решаются в уме. Если большее число делится на меньшее, НОК равен большему: $\text{НОК}(24,\,72) = 72$. Если числа взаимно просты, НОК равен их произведению: $\text{НОК}(35,\,36) = 1260$. Соседние натуральные числа всегда взаимно просты, поэтому второй случай встречается чаще, чем кажется.

Проверка ответа занимает две строки. Сначала делим НОК на оба числа, частные должны получиться целыми. Затем смотрим, есть ли у частных общий делитель. Если он есть и равен $d > 1$, то число $\text{НОК} / d$ тоже делится на оба исходных и при этом меньше найденного, то есть ответ завышен. У нас частные 20 и 21, общий делитель у них только единица, значит 2520 действительно наименьшее.

Как узнать задачу на НОК в условии

Текстовые задачи на НОК устроены одинаково: два процесса повторяются с разными периодами, и нужно найти первый момент, когда они совпадут. Автобусы уходят с конечной каждые 36 и 48 минут и отправились вместе в 7:00. Следующий общий рейс будет через $\text{НОК}(36,\,48) = 144$ минуты, то есть в 9:24. Так же решаются задачи про мигающие огни, дежурства по графику и плитки, из которых выкладывают квадрат.

Отличить такую задачу от задачи на НОД помогает вопрос. Формулировки «наибольшее число одинаковых наборов» и «разрезать на равные части наибольшей длины» ведут к НОД: имеющееся делим на части. Формулировки «через какое наименьшее время снова вместе» и «наименьшая длина, которую можно выложить и теми, и другими плитками» ведут к НОК: собираем общее из разных шагов.

НОК нужен и при сложении дробей. Наименьший общий знаменатель равен НОК знаменателей, а дополнительные множители совпадают с частными из проверки:

$$\frac{1}{126} + \frac{1}{120} = \frac{20}{2520} + \frac{21}{2520} = \frac{41}{2520}.$$

Частые ошибки

• Берут наименьшие степени вместо наибольших. Так получается НОД, а не НОК: $2 \cdot 3 = 6$ вместо 2520. Проверка ловит ошибку сразу, потому что 6 не делится ни на 126, ни на 120.
• Теряют простые, которые есть только в одном числе. Если взять лишь общие двойку и тройку, выйдет $2^3 \cdot 3^2 = 72$, а пятёрка из 120 и семёрка из 126 пропадут.
• Складывают показатели вместо выбора наибольшего. Запись $2^{1+3} \cdot 3^{2+1} \cdot 5 \cdot 7$ даёт 15 120, то есть просто произведение чисел. Оно кратно обоим, но не наименьшее.
• Делят произведение не на то. В формуле произведение делится именно на НОД. Деление $15\,120 : 120$ возвращает исходное число 126 и ничего не находит.
• Отвечают в задаче про шестерни числом 2520. Это число зубьев, прошедших через точку контакта, а спрашивают обороты. 2520 нужно поделить на число зубьев каждой шестерни.
• Дают меньшей шестерне меньше оборотов. Всё наоборот: у шестерни со 120 зубьями оборотов больше, 21 против 20, потому что при меньшем числе зубьев она проворачивается чаще.

FAQ

Чему равен НОК, если одно число делится на другое? Большему из чисел. Например, $\text{НОК}(24,\,72) = 72$: 72 уже делится на 24, а кратное 72 меньше самого 72 быть не может. Формула через НОД даёт то же самое: $\text{НОД} = 24$, и $24 \cdot 72 / 24 = 72$.

Чем НОК отличается от НОД? НОД делит оба числа и потому не больше меньшего из них. НОК делится на оба числа и потому не меньше большего. Для пары 126 и 120 это 6 и 2520, а их произведение равно произведению самих чисел.

Как найти НОК трёх чисел? Попарно: $\text{НОК}(a,\,b,\,c) = \text{НОК}(\text{НОК}(a,\,b),\,c)$. Для 12, 18 и 30 сначала $\text{НОК}(12,\,18) = 36$, затем $\text{НОК}(36,\,30) = 180$. Разложение тоже работает: берём наибольшие степени по всем трём числам и получаем $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$. А вот формула «произведение, делённое на НОД» для трёх чисел неверна: $12 \cdot 18 \cdot 30 / 6 = 1080$.

Может ли НОК быть меньше большего из двух чисел? Нет. НОК делится на каждое из чисел, поэтому он не меньше большего из них. Равенство бывает ровно тогда, когда большее число делится на меньшее.

Коротко

1. Раскладываем числа на простые множители: $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$, $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.
2. Берём каждое простое из обоих разложений в наибольшей степени и перемножаем: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.
3. Второй способ: $\text{НОД} = 6$, и $\text{НОК} = 126 \cdot 120 / 6 = 21 \cdot 120 = 2520$.
4. Проверка: $2520 : 126 = 20$ и $2520 : 120 = 21$, частные взаимно просты.
5. В задаче про шестерни до новой встречи отмеченных зубьев шестерня со 126 зубьями делает 20 оборотов, шестерня со 120 зубьями делает 21 оборот.