Законы Кеплера: задачи на период, орбиту и скорость

Законы Кеплера описывают, как планеты и любые другие тела движутся вокруг Солнца, и в школьных и вузовских задачах встречаются постоянно: найти период обращения, расстояние в перигелии и афелии, сравнить скорости в разных точках орбиты. Все три закона работают вместе, но в каждой задаче обычно ведущим оказывается один из них. Ниже разберём, что говорит каждый закон, по какой формуле считать и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть связь большой полуоси, эксцентриситета, периода и скорости, покрути калькулятор ниже: он строит орбиту с Солнцем в фокусе и пересчитывает все величины разом.

Три закона Кеплера кратко

Иоганн Кеплер сформулировал три эмпирических закона движения планет, и в задачах удобно держать их рядом:

1. Первый закон (закон орбит). Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Окружность это частный случай эллипса с нулевым эксцентриситетом.
2. Второй закон (закон площадей). Радиус-вектор, проведённый от Солнца к планете, за равные промежутки времени заметает равные площади. Отсюда следует, что у перигелия планета движется быстрее, чем у афелия.
3. Третий закон (гармонический). Квадраты периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Дальше разберём каждый закон с формулой и типовой задачей.

Рассчитать для своей задачи

Первый закон: эллипс, перигелий и афелий

По первому закону орбита это эллипс с большой полуосью $a$ и эксцентриситетом $e$. Солнце стоит не в центре, а в фокусе, смещённом от центра на $c = a\,e$. Поэтому расстояние от планеты до Солнца меняется в течение года между двумя крайними значениями.

Ближайшая к Солнцу точка называется перигелием, самая далёкая афелием. Их расстояния выражаются через $a$ и $e$:

$r_{min} = a(1 - e), \qquad r_{max} = a(1 + e).$

Полезные следствия, которые часто спрашивают в задачах: сумма перигелия и афелия равна большой оси, $r_{min} + r_{max} = 2a$, а их полусумма равна большой полуоси. Сам эксцентриситет можно выразить через эти расстояния:

$e = \frac{r_{max} - r_{min}}{r_{max} + r_{min}}.$

Рассчитать для своей задачи

Чем больше эксцентриситет, тем сильнее вытянут эллипс и тем заметнее разница между перигелием и афелием. У почти круговых орбит планет (у Земли $e \approx 0{,}017$) эта разница мала, а у комет с $e$ около $0{,}97$ перигелий и афелий отличаются в десятки раз.

Второй закон: закон площадей и скорости

Второй закон говорит о площадях: за равные времена радиус-вектор заметает равные площади. Это прямое следствие сохранения момента импульса. Из него вытекает важный для задач вывод: произведение скорости на расстояние до Солнца в крайних точках орбиты постоянно,

$v_{min}\, r_{max} = v_{max}\, r_{min},$

где $v_{max}$ скорость в перигелии (тело ближе всего, движется быстрее), а $v_{min}$ скорость в афелии. Отсюда отношение скоростей обратно отношению расстояний:

$\frac{v_{max}}{v_{min}} = \frac{r_{max}}{r_{min}} = \frac{1 + e}{1 - e}.$

Если же в задаче нужно само численное значение скорости, а не только отношение, применяют формулу vis-viva (формулу живых сил). Для орбиты вокруг Солнца в удобных единицах (расстояния в астрономических единицах, скорость в км/с) её можно записать через орбитальную скорость Земли $v_0 = 29{,}78$ км/с:

$v = v_0 \sqrt{\frac{2}{r} - \frac{1}{a}}.$

Подставив $r = r_{min}$, получаем скорость в перигелии, а при $r = r_{max}$ скорость в афелии. Калькулятор выше показывает обе скорости столбиками: при росте эксцентриситета перигелийная скорость заметно отрывается от афелийной.

Третий закон: период и большая полуось

Третий закон связывает период обращения $T$ с большой полуосью $a$. В общем виде для двух тел вокруг одного центра:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}.$

Для задач о телах Солнечной системы удобнее частный случай в солнечных единицах: если период измерять в годах, а большую полуось в астрономических единицах, то для Земли $T = 1$ и $a = 1$, и закон принимает простой вид:

$T^2 = a^3 \quad \Rightarrow \quad T = a^{3/2}.$

Эта форма позволяет считать период в уме: для орбиты с большой полуосью $4$ а. е. период равен $4^{3/2} = 8$ лет. Заметьте, что период зависит только от большой полуоси и совсем не зависит от эксцентриситета: вытянутая и круговая орбиты с одинаковым $a$ имеют одинаковый период.

Рассчитать для своей задачи

Если центральное тело не Солнце, простую форму $T^2 = a^3$ использовать нельзя: появляется множитель с массой, и тогда работают через полную формулу $T^2 = \dfrac{4\pi^2 a^3}{G M}$, где $M$ масса центрального тела, а $G$ гравитационная постоянная.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную задачу. Малая планета движется вокруг Солнца по эллипсу с большой полуосью $a = 4$ а. е. и эксцентриситетом $e = 0{,}25$. Найти период обращения, перигелий, афелий и отношение скоростей в перигелии и афелии.

Сначала период по третьему закону в солнечных единицах:

$T = a^{3/2} = 4^{3/2} = 8\ \text{лет}.$

Перигелий и афелий по первому закону:

$r_{min} = a(1 - e) = 4 \cdot 0{,}75 = 3\ \text{а. е.}, \qquad r_{max} = a(1 + e) = 4 \cdot 1{,}25 = 5\ \text{а. е.}$

Отношение скоростей по второму закону:

$\frac{v_{max}}{v_{min}} = \frac{r_{max}}{r_{min}} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67.$

Проверка согласованности: полусумма крайних расстояний $\tfrac{1}{2}(r_{min} + r_{max}) = \tfrac{1}{2}(3 + 5) = 4$ а. е. совпадает с большой полуосью, как и должно быть. Если ваша полусумма не даёт $a$, значит, перепутаны знаки в скобках $1 \pm e$. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: подставьте $a = 4$ и $e = 0{,}25$ и сверьте числа.

Частые ошибки

• Путаница перигелия и афелия. В перигелии множитель $(1 - e)$ и расстояние минимально, в афелии $(1 + e)$ и расстояние максимально. Знак в скобках определяет всё, легко перепутать.
• Эксцентриситет в формуле периода. Период по третьему закону зависит только от большой полуоси. Подставлять в $T = a^{3/2}$ перигелий или афелий вместо $a$ ошибка.
• Скорость прямо пропорциональна расстоянию. На самом деле наоборот: чем дальше планета, тем медленнее. Отношение скоростей обратно отношению расстояний.
• Неверные единицы в третьем законе. Простая форма $T^2 = a^3$ верна только когда $T$ в годах, $a$ в астрономических единицах и центр Солнце. В системе СИ нужна полная формула с массой и $G$.
• Эллипс с центром в Солнце. Солнце находится в фокусе, а не в центре эллипса. Центр смещён от фокуса на $c = a\,e$.

FAQ

Как найти период обращения планеты, если известна большая полуось? По третьему закону Кеплера в солнечных единицах $T = a^{3/2}$: период в годах равен большой полуоси в астрономических единицах, возведённой в степень три вторых. Например, при $a = 4$ а. е. период равен $4^{1{,}5} = 8$ лет.

Почему планета у Солнца движется быстрее, чем вдали от него? Это следствие второго закона Кеплера: радиус-вектор за равные времена заметает равные площади. У перигелия радиус-вектор короткий, поэтому, чтобы площадь сектора была той же, планета должна проходить большую дугу, то есть двигаться быстрее.

Зависит ли период обращения от эксцентриситета орбиты? Нет. Период определяется только большой полуосью. Две орбиты с одинаковой большой полуосью, но разной вытянутостью, имеют одинаковый период обращения, хотя форма траектории и распределение скоростей у них разные.

Коротко

Три закона Кеплера в задачах работают вместе: первый задаёт эллипс и крайние расстояния $r_{min} = a(1-e)$, $r_{max} = a(1+e)$; второй через закон площадей даёт отношение скоростей $v_{max}/v_{min} = r_{max}/r_{min}$; третий связывает период с орбитой формулой $T = a^{3/2}$ в солнечных единицах. Главное помнить про единицы, не путать фокус с центром эллипса и не подставлять эксцентриситет в формулу периода.