Закон Стивенса: степенная шкала ощущений

В 1957 году гарвардский психофизик Стэнли Смит Стивенс опубликовал статью с вызывающим названием «Обратимся к закону силы» и заявил: связь между физическим стимулом и силой ощущения описывается не логарифмом, а степенной функцией. Спор шёл не о лишней букве в формуле. За двумя кривыми стояли два разных ответа на вопрос, что именно психолог измеряет, когда просит человека оценить громкость звука или яркость лампы. Ниже разберём формулу, показатели степени для разных модальностей и то, почему у боли показатель больше единицы, а у яркости меньше. Калькулятор рядом считает рост ощущения по любому показателю.

Формула степенного закона

Закон Стивенса записывается компактно:

$\psi = k \cdot I^{n}$

Здесь $\psi$ - субъективная величина ощущения, $I$ - физическая интенсивность стимула, $k$ - коэффициент, зависящий только от выбранных единиц измерения, а $n$ - показатель степени, постоянный для данной модальности и условий опыта. Вблизи абсолютного порога формулу уточняют: $\psi = k (I - I_0)^{n}$, где $I_0$ - пороговое значение.

Содержательное свойство формулы одно, и оно сильное: равные отношения стимула дают равные отношения ощущения. Удвоение интенсивности умножает ощущение на $2^{n}$ независимо от того, стартуем мы от тихого шёпота или от рёва мотора. У логарифмической зависимости иначе: там равные отношения стимула дают равные разности ощущения.

Отсюда следует и способ проверки. Прологарифмируем обе части:

$\lg \psi = \lg k + n \lg I$

На двойных логарифмических осях степенной закон превращается в прямую, а её наклон и есть показатель $n$. Именно так Стивенс и его сотрудники обрабатывали данные: строили облако точек в координатах «логарифм стимула против логарифма оценки» и смотрели, ложится ли оно на прямую. Переключатель осей в калькуляторе выше показывает то же самое превращение.

Прямое шкалирование: как Стивенс получал числа

Метод, на котором держится весь закон, называется оценкой величин (magnitude estimation). Испытуемому предъявляют эталонный стимул - модуль - и объявляют, что его сила равна, скажем, десяти. Дальше предъявляют другие стимулы вразбивку и просят назвать число пропорционально: вдвое сильнее эталона - двадцать, вчетверо слабее - два с половиной. Никаких ограничений на диапазон чисел не ставится.

Есть и зеркальная процедура - установление величины (magnitude production): экспериментатор называет число, а испытуемый сам подкручивает ручку громкости, пока ощущение не сравняется с названным. Средний геометрический результат двух методов Стивенс считал более надёжным, чем каждый по отдельности.

Третья процедура снимает главное возражение к первым двум. В кросс-модальном сравнении человек вообще не произносит чисел: он подбирает громкость звука так, чтобы она «сравнялась» с силой сжатия динамометра. Если оба ощущения подчиняются степенному закону с показателями $n_1$ и $n_2$, то зависимость между физическими величинами тоже степенная, а её показатель равен отношению $n_1 / n_2$. Предсказание проверяемо без всякой веры в способность человека обращаться с числами, и оно сбывалось.

Рассчитать для своей задачи

Показатели степени для разных модальностей

Показатель - это паспорт модальности. Небольшая сводка по классическим данным Стивенса:

Читается таблица так. При $n < 1$ система работает в режиме сжатия: гигантский физический диапазон упаковывается в скромный диапазон переживания. Зрение охватывает по интенсивности около двенадцати порядков, и показатель 0,33 - плата за это: чтобы яркость выросла вдвое, светимость нужно увеличить примерно в восемь раз.

При $n \approx 1$ ощущение почти пропорционально стимулу. Так ведёт себя воспринимаемая длина линии - и это удобная контрольная точка: здесь субъективная шкала совпадает с линейкой.

При $n > 1$ начинается расширение: небольшой прирост стимула даёт непропорционально большой скачок ощущения.

Почему у боли показатель больше единицы

Разброс показателей не случаен, у него есть биологическая логика. Сжатие выгодно там, где сенсорная система должна охватить огромный диапазон и не ослепнуть на верхнем конце: зрение, слух, обоняние работают как приборы с широким динамическим диапазоном.

Расширение выгодно там, где сигнал означает угрозу. Ток через пальцы с показателем 3,5 - рекорд таблицы: удвоение силы тока умножает ощущение примерно в $2^{3,5} \approx 11$ раз. Организму важно не аккуратно измерить повреждающее воздействие, а среагировать на его нарастание раньше, чем ткань разрушится, поэтому «усилитель» здесь предпочтительнее «сжимателя». Той же логике подчиняются тепло на коже и тяжесть груза: и там, и там продолжение воздействия опасно.

Практическое следствие видно в клинике. Порядковые шкалы самооценки - от визуально-аналоговой шкалы боли до шкалы Борга для одышки - строились с оглядкой на психофизику Стивенса: словесные опоры расставлены неравномерно именно потому, что субъективная шкала нелинейна относительно физической нагрузки.

Спор Стивенса и Фехнера: что вообще измеряется

Разница между двумя законами глубже, чем разница между $\lg I$ и $I^{n}$.

Густав Фехнер строил шкалу ощущений косвенно. Он считал, что назвать величину переживания напрямую человек не способен, зато способен заметить, что два стимула различаются. Значит, единицей шкалы надо взять едва заметное различие и складывать такие единицы от порога вверх. Логарифм в его формуле - прямое следствие этой процедуры и постоянства отношения Вебера; подробный вывод разобран в статье про закон Вебера и Фехнера, здесь он не повторяется.

Стивенс возражал по двум пунктам. Первый: человек прекрасно называет числа, и отказывать ему в этой способности нет оснований - сходимость оценок между испытуемыми и воспроизводимость показателей это подтверждают. Второй, более острый: едва заметные различия не равны между собой субъективно. Порог различения - мера разрешающей способности, а не кирпичик ощущения, и складывать пороги так же законно, как складывать погрешности линейки, считая их отрезками.

Рассчитать для своей задачи

Позднее спор перевели на язык теории измерений. Если и стимул, и ощущение измеряются в шкалах отношений, то есть определены с точностью до множителя, то функция, связывающая их, обязана быть степенной: это единственное семейство, сохраняющее вид при замене единиц. Логарифм такого свойства не имеет. Поэтому сегодня формулировка мягче исходной: степенной закон описывает результаты прямого шкалирования, логарифмический - результаты суммирования порогов, и выбирается тот, что соответствует процедуре измерения.

Шкалы измерений: второй вклад Стивенса

Классификация шкал, предложенная Стивенсом ещё в 1946 году, повлияла на методологию сильнее, чем сам степенной закон. Четыре типа различаются тем, какие преобразования чисел не портят информацию:

• Шкала наименований: числа как ярлыки (номера маршрутов). Допустима любая взаимно однозначная замена; из статистик осмысленны мода и частоты.
• Шкала порядка: числа упорядочивают объекты (твёрдость минералов, места на соревновании). Допустимы любые монотонные преобразования; работают медиана, квартили, ранговые критерии.
• Шкала интервалов: равны разности, но нуль условен (шкала Цельсия). Допустимо линейное преобразование; осмысленны среднее арифметическое и дисперсия.
• Шкала отношений: есть абсолютный нуль, равны отношения (длина, масса, оценки величин). Допустимо умножение на константу; осмысленно и среднее геометрическое.

Рассчитать для своей задачи

Связь с законом прямая. Стивенс настаивал, что оценки величин образуют именно шкалу отношений, и потому усреднял их геометрически, а не арифметически: арифметическое среднее чувствительно к произволу в выборе модуля, геометрическое - нет.

Критика степенного закона

Возражений к закону накопилось достаточно, и знать их полезнее, чем помнить таблицу показателей.

1. Показатели плавают. Для яркости в разных работах получают от 0,3 до 0,5 в зависимости от фона, размера пятна и длительности вспышки. Показатель описывает не «модальность вообще», а конкретную процедуру.
2. Эффекты контекста. Выбор модуля, диапазон предъявляемых стимулов и порядок проб систематически смещают оценки - испытуемый склонен сжимать свои ответы к середине заданного диапазона.
3. Числа тоже нелинейны. Часть степенной зависимости может отражать привычку человека обращаться с числами, а не устройство сенсорной системы. Контраргумент Стивенса - кросс-модальное сравнение, где чисел нет.
4. Ненаблюдаемость $\psi$. Субъективную величину нельзя измерить независимо от процедуры оценки, поэтому строгой проверки «закон против данных» не получается: проверяется связка «закон плюс метод».
5. Края диапазона. У порога и вблизи болевого потолка простая степенная функция расходится с данными, приходится вводить поправку на $I_0$ или менять модель.

Частые ошибки

• Путать $n$ и $k$. Коэффициент $k$ зависит от единиц и от выбранного модуля, он произволен. Содержательная величина - только показатель степени.
• Считать, что Стивенс опроверг Вебера. Закон Вебера о постоянстве относительного порога остался в силе; спор шёл о выводе Фехнера, который надстроил над законом Вебера логарифмическую шкалу.
• Сравнивать показатели, полученные в разных условиях. Показатель для громкости по звуковому давлению (0,67) и по интенсивности (0,3) - это одно и то же ощущение, но разные аргументы.
• Усреднять оценки величин арифметически. Для шкалы отношений корректно среднее геометрическое.
• Читать $n > 1$ как «система чувствительнее». Показатель описывает скорость роста ощущения, а не абсолютный порог; это независимые характеристики.

FAQ

Чем закон Стивенса отличается от закона Вебера и Фехнера? Формулой и процедурой. У Фехнера ощущение растёт как логарифм стимула, шкала строится косвенно из едва заметных различий. У Стивенса ощущение растёт как степень стимула, а шкала получается прямым называнием чисел. На двойных логарифмических осях степенной закон даёт прямую, логарифмический - кривую.

Как найти показатель степени по экспериментальным данным? Взять медианные или средние геометрические оценки для каждого уровня стимула, перевести обе величины в логарифмы и провести регрессию. Наклон прямой и есть $n$, свободный член равен $\lg k$. Разброс точек вокруг прямой сразу показывает, применим ли закон в этом диапазоне.

Работает ли степенной закон вне сенсорики? Последователи Стивенса переносили метод на социальные суждения: оценивали тяжесть преступлений, престиж профессий, субъективную ценность денежных сумм. Оценки и там ложились на степенную функцию с показателем меньше единицы, откуда пошло направление, названное социальной психофизикой. Но контекст в таких опытах влияет сильнее, чем в лаборатории с тоном 3000 Гц, поэтому показатели там менее устойчивы.

Коротко

Закон Стивенса утверждает, что сила ощущения растёт как степенная функция интенсивности стимула: $\psi = k I^{n}$, где показатель $n$ постоянен для модальности и определяет режим - сжатие при $n < 1$, пропорцию при $n \approx 1$, расширение при $n > 1$. Получен закон методом прямого шкалирования, в котором испытуемый сам называет числа, а не складывает пороги, как у Фехнера. Проверяется он выпрямлением данных на двойных логарифмических осях, а его слабое место - зависимость показателя от контекста и от процедуры измерения.