Закон Фиттса: формула времени наведения на цель

Закон Фиттса связывает две вещи, которые интуитивно кажутся несоизмеримыми: геометрию цели и время, которое человек потратит, чтобы до неё дотянуться. Чем дальше объект и чем он мельче, тем дольше рука или курсор идут к нему, но растёт это время не пропорционально расстоянию, а логарифмически. Отсюда и практическая ценность формулы: она позволяет заранее посчитать, сколько миллисекунд стоит уменьшение кнопки вдвое, и сравнить два указательных устройства одним числом. Ниже разберём вывод формулы, эксперимент 1954 года, единицы измерения и границы применимости, а калькулятор сразу посчитает время наведения под ваши расстояние и ширину цели.

Что утверждает закон Фиттса

Формулировка короткая: время прицельного движения к цели линейно зависит от логарифма отношения расстояния к ширине цели. В исходной записи Пола Фиттса

$MT = a + b\log_2\frac{2D}{W},$

где $MT$ это время движения, $D$ это расстояние от исходной точки до центра цели (в оригинале обозначалось как амплитуда $A$), $W$ это ширина цели, измеренная вдоль направления движения. Коэффициенты $a$ и $b$ не универсальные константы: их получают методом наименьших квадратов по серии измерений для конкретной пары «человек плюс устройство».

Свободный член $a$ собирает всё, что не зависит от сложности: реакцию на сигнал, запуск движения, нажатие в конце. Наклон $b$ измеряется в миллисекундах на бит и показывает, во сколько обходится каждая дополнительная единица точности. Главное следствие видно прямо из формулы: под логарифмом стоит отношение, поэтому одновременное удвоение расстояния и ширины цели оставляет время неизменным, а удвоение одной только ширины экономит меньше, чем можно ожидать.

Эксперимент Фиттса 1954 года

Пол Фиттс опубликовал работу «Информационная ёмкость двигательной системы человека при управлении амплитудой движения» в Journal of Experimental Psychology в 1954 году. Основная процедура называлась задачей реципрокного постукивания: перед испытуемым лежали две металлические пластины заданной ширины, разнесённые на заданное расстояние, и он должен был стучать по ним стилусом поочерёдно как можно быстрее, стараясь не промахиваться.

Рассчитать для своей задачи

Ширину пластин варьировали примерно от 6 до 50 мм, расстояние от 5 до 40 см, так что сочетания давали широкий диапазон сложности. Кроме постукивания Фиттс использовал ещё две задачи, перекладывание шайб и вставление штырьков в отверстия, чтобы убедиться, что закономерность не привязана к одному движению. Доля промахов держалась около одного процента, то есть испытуемые работали на пределе скорости при заданной точности.

Результат оказался устойчивым: среднее время одного движения ложилось на прямую, если по горизонтальной оси отложить не расстояние, а логарифм отношения $2D/W$. Более того, отношение этого логарифма ко времени оставалось почти постоянным при любых сочетаниях расстояния и ширины, что и позволило Фиттсу говорить о пропускной способности двигательной системы.

Индекс сложности и биты

Логарифм в формуле не декоративный: Фиттс сознательно построил аналогию с теорией информации Шеннона. Величину

$ID = \log_2\frac{2D}{W}$

он назвал индексом сложности и измерил в битах, по тому же принципу, по которому формула Хартли считает количество информации при выборе из равновероятных вариантов. Смысл прямой: отрезок длиной $2D$ разбивается на ячейки шириной $W$, и попадание в нужную ячейку это выбор одного варианта из их числа, а логарифм по основанию два переводит этот выбор в биты.

У исходной записи есть неприятное свойство: при $W > 2D$ индекс уходит в минус, а время движения по формуле оказывается меньше свободного члена. Скотт Маккензи в 1989 году предложил шенноновскую запись

$ID = \log_2\left(\frac{D}{W} + 1\right),$

которая повторяет структуру формулы пропускной способности канала с шумом, никогда не бывает отрицательной и на реальных данных даёт заметно более высокий коэффициент детерминации. Сегодня в экспериментальных работах используют именно её, поэтому коэффициенты $a$ и $b$ нельзя переносить между двумя записями: они подогнаны каждая под свой индекс.

Пропускная способность моторной системы

Из индекса сложности и времени получается величина, ради которой закон чаще всего и применяют:

$TP = \frac{ID}{MT}.$

Фиттс называл её индексом производительности, сейчас обычно говорят о пропускной способности и измеряют в битах в секунду. Если по серии измерений построена регрессия, предельная пропускная способность устройства равна $1/b$, поскольку при больших индексах вклад свободного члена стирается. Для мыши типичные значения лежат около 4 бит в секунду, для прямого касания пальцем чуть выше, а сам Фиттс на стилусе получал порядка 10 бит в секунду.

Чтобы сравнение устройств было честным, недостаточно взять номинальную ширину цели: испытуемый может разогнаться, промахиваясь чаще. Поэтому в методику ISO 9241-411 заложена поправка на точность: вместо $W$ берут эффективную ширину $W_e = 4{,}133\,\sigma$, где $\sigma$ это стандартное отклонение точек попадания. Без такой нормировки два устройства сравнивать бессмысленно, потому что каждое будет измерено при своей доле ошибок.

Разбор задачи: считаем время наведения

Пусть курсор находится в 400 px от кнопки шириной 40 px, устройство ввода это мышь с коэффициентами $a = 130$ мс и $b = 220$ мс/бит. Индекс сложности в шенноновской записи

$ID = \log_2\left(\frac{400}{40} + 1\right) = \log_2 11 \approx 3{,}46\ \text{бит},$

в исходной записи Фиттса он был бы $\log_2 20 \approx 4{,}32$ бит. Время движения

$MT = 130 + 220 \cdot 3{,}46 \approx 891\ \text{мс},$

а пропускная способность $TP = 3{,}46 / 0{,}891 \approx 3{,}9$ бит/с.

Теперь оценим стоимость дизайнерских решений. Если увеличить кнопку до 80 px, индекс упадёт до $\log_2 6 \approx 2{,}59$ бит, а время до 699 мс: выигрыш 192 мс, а не двукратный, как подсказывает интуиция. Если, наоборот, отодвинуть ту же кнопку на 800 px, индекс вырастет до 4,39 бит, а время до 1096 мс, то есть удвоение расстояния стоит примерно 205 мс. Логарифм сглаживает и то и другое, и именно поэтому бороться за расстояние обычно выгоднее только тогда, когда цель совсем близко.

Закон Фиттса в проектировании интерфейсов

Из формулы выводятся почти все привычные правила интерфейсной эргономики. Первое касается размера: рекомендации в 44 и 48 логических точек для сенсорных целей в гайдлайнах мобильных платформ это ровно попытка удержать индекс сложности в разумных пределах при движении пальцем, который вдобавок закрывает цель собой.

Рассчитать для своей задачи

Второе правило про края. Курсор упирается в границу экрана и не может её проскочить, поэтому полоса вдоль края работает как цель с фактически бесконечной шириной вдоль направления движения: индекс сложности схлопывается почти до нуля независимо от расстояния. Отсюда старый спор о строке меню, которая в macOS прижата к верхнему краю, а в оконном интерфейсе Windows находится внутри окна и требует прицеливания. Углы ещё выгоднее, потому что ограничивают движение сразу по двум осям, и промахнуться по ним невозможно ни в одном направлении.

Третье правило про расстояние: контекстное и круговое меню открываются под курсором, а значит $D$ сводится к нескольким десяткам пикселей. Обратная сторона того же закона неприятна: опасное действие рядом с часто используемым тоже становится «удобным», и промах превращается в удалённый файл. По той же причине разработчику стоит держать в голове разницу между временем движения и временем поиска взглядом: второе описывается не законом Фиттса, а зависимостями типа закона Хика, и общий срок реакции складывается из обоих слагаемых, а внимание распределяется по правилам, которые разбираются в материале о селективном внимании.

Ограничения закона и его модификации

Закон одномерный: он знает только ширину цели вдоль направления движения и ничего не знает про её высоту. Для прямоугольных целей применяют либо упрощение $W' = \min(W, H)$, либо двумерные модели Аккота и Чжая, где обе стороны входят со своими весами.

Рассчитать для своей задачи

Второе ограничение серьёзнее: формула описывает движение к точечной цели, а не движение по траектории с ограничениями. Для проведения курсора по узкому коридору, как в каскадном подменю, действует закон рулевого движения Аккота и Чжая 1997 года, где время растёт линейно по отношению длины пути к ширине коридора, а не логарифмически.

Есть и более тонкие оговорки. При очень малых индексах сложности, примерно ниже двух бит, точки систематически отклоняются от прямой, потому что движение становится баллистическим и корректирующая фаза почти исчезает. Наконец, закон описывает моторную сторону, но не решение о том, куда двигаться, и не восприятие цели: логарифмическая форма роднит его с законом Вебера-Фехнера, но природа логарифма там другая, из различения интенсивностей, а не из выбора ячейки.

Частые ошибки

• Берут ширину кнопки, а не ширину вдоль движения. У широкой низкой кнопки при подходе сверху работает высота, и подстановка длинной стороны занижает время в разы.
• Смешивают две записи индекса. Коэффициенты, подогнанные под $\log_2(2D/W)$, нельзя подставлять в шенноновскую запись: свободный член поедет, и регрессия перестанет описывать данные.
• Забывают про свободный член. При нулевом индексе сложности время не равно нулю: остаются реакция, старт и нажатие, и на коротких дистанциях именно $a$ определяет результат.
• Ждут пропорционального выигрыша от увеличения цели. Логарифм означает, что удвоение ширины снимает меньше одного бита, а не половину времени.
• Сравнивают устройства без поправки на промахи. Пропускная способность без эффективной ширины $W_e$ измеряет не устройство, а выбранную испытуемым долю ошибок.

FAQ

Чем шенноновская запись индекса лучше исходной? Она не даёт отрицательных значений при широких целях, точнее повторяет структуру формулы пропускной способности канала с шумом и на реальных выборках объясняет большую долю дисперсии времени.

Почему углы экрана удобнее краёв? Край ограничивает движение по одной оси, поэтому промах вдоль края всё ещё возможен. Угол ограничивает сразу по двум, и любое достаточно размашистое движение в его сторону заканчивается попаданием, то есть эффективная ширина цели становится огромной по обеим координатам.

Работает ли закон для пальца на сенсорном экране? Работает, но с оговорками. Палец закрывает цель, точка касания определяется как центр пятна контакта, а не как видимая точка, поэтому эффективная ширина цели меньше нарисованной. Именно это и заставляет закладывать в гайдлайнах минимальный размер касаемой области около 9 мм.

Коротко

Закон Фиттса это регрессионная модель времени прицельного движения: $MT = a + b\log_2(2D/W)$ в исходной записи Фиттса и $MT = a + b\log_2(D/W + 1)$ в шенноновской, где индекс сложности измеряется в битах, а отношение индекса ко времени даёт пропускную способность моторной системы в битах в секунду. Из логарифмической формы следует, что решает не расстояние и не размер по отдельности, а их отношение, поэтому края и углы экрана оказываются самыми быстрыми целями, а уменьшение кнопки вдвое стоит меньше одного бита. За пределы модели выходят двумерные цели, движение по коридору и время визуального поиска, для которых существуют отдельные модификации и отдельные законы.