Сгорание топлива и теплота сгорания: формула и задачи

Задачи на сгорание топлива встречаются в школьном курсе физики и на первом курсе постоянно: сколько теплоты выделится при сжигании дров, какую массу угля нужно сжечь для нагрева воды, какой КПД у горелки. В основе всех таких задач лежит одна короткая формула и одна табличная величина - удельная теплота сгорания. Ниже разберём, что она означает, как из неё получить полную выделенную теплоту, как учесть КПД нагревателя и где студенты чаще всего ошибаются с единицами. Чтобы сразу почувствовать связь массы топлива, его энергоёмкости и полезной теплоты, покрути калькулятор ниже: он считает выделенную теплоту, полезную часть и потери и сравнивает разные виды топлива на одном графике.

Что такое теплота сгорания и удельная теплота сгорания

Теплота сгорания - это количество теплоты, которое выделяется при полном сгорании топлива. Чем больше топлива сжигаем, тем больше теплоты получаем, поэтому удобно ввести величину, отнесённую к единице массы, - удельную теплоту сгорания $q$. Она показывает, сколько джоулей выделяется при полном сгорании одного килограмма данного топлива, и измеряется в джоулях на килограмм (Дж/кг). В таблицах её часто записывают в мегаджоулях на килограмм: $1$ МДж/кг $= 10^6$ Дж/кг.

Удельная теплота сгорания - табличная характеристика вещества: для сухих дров $q \approx 10$ МДж/кг, для каменного угля около $27$ МДж/кг, для бензина и керосина примерно $46$ МДж/кг, для природного газа около $44$ МДж/кг, а у водорода рекордные $120$ МДж/кг. Эти значения не нужно выводить, их берут из справочника и подставляют в формулу.

Рассчитать для своей задачи

Формула теплоты сгорания топлива

Главная формула, на которой держатся все задачи этой темы:

$Q = q\,m,$

где $Q$ - выделившаяся теплота в джоулях, $q$ - удельная теплота сгорания в Дж/кг, $m$ - масса сгоревшего топлива в килограммах. Формула линейная: удвоили массу - удвоилась теплота. Из неё легко выразить любую неизвестную величину:

$m = \frac{Q}{q}, \qquad q = \frac{Q}{m}.$

Первое выражение отвечает на вопрос «сколько топлива сжечь, чтобы получить нужную теплоту», второе позволяет найти удельную теплоту сгорания по результатам опыта. Главное условие применимости - топливо должно сгорать полностью; если часть остаётся несгоревшей, реально выделенная теплота окажется меньше расчётной.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на единицы: если $q$ взяли в МДж/кг, ответ получится в мегаджоулях, и для дальнейших расчётов (особенно с нагревом воды) его придётся перевести в джоули, умножив на $10^6$. Самый надёжный приём - сразу переводить удельную теплоту сгорания в Дж/кг и вести весь расчёт в системе СИ.

КПД нагревателя: полезная теплота и потери

В реальных задачах вся выделенная при горении теплота до нагреваемого тела не доходит: часть уносится с дымовыми газами, часть рассеивается через стенки. Долю, которая пошла на полезное дело, описывает коэффициент полезного действия нагревателя:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q} = \frac{Q_{полезн}}{q\,m}.$

Отсюда полезная теплота равна $Q_{полезн} = \eta\,q\,m$, а потери - это разность $Q - Q_{полезн}$. Часто полезная теплота идёт на нагрев воды или другого вещества, и тогда $Q_{полезн}$ заодно равна $c\,m_в\,(t_2 - t_1)$, где $c$ - удельная теплоёмкость, $m_в$ - масса нагреваемого вещества, $t_2 - t_1$ - изменение температуры. Приравняв два выражения для полезной теплоты, получаем рабочее уравнение задач на КПД:

$\eta\,q\,m = c\,m_в\,(t_2 - t_1).$

Из него находят любую неизвестную: массу топлива, КПД или конечную температуру. Калькулятор выше как раз делит выделенную теплоту на полезную и потери - поток энергии наглядно показывает, что при низком КПД большая часть теплоты топлива пропадает зря.

Как сравнивать виды топлива

Удельная теплота сгорания позволяет честно сравнить топлива по энергоёмкости. Один килограмм природного газа даёт примерно в 4 раза больше теплоты, чем килограмм сухих дров, а килограмм водорода - в 12 раз. Поэтому, чтобы получить одну и ту же теплоту $Q$, дров придётся сжечь намного больше по массе, чем газа. Это прямое следствие формулы $m = Q/q$: чем больше $q$, тем меньше требуется массы.

В калькуляторе столбики наглядно выстраивают топлива по $q$: видно, во сколько раз одно энергоёмче другого, и какое выбрать выгоднее при ограничении по массе. Именно на таком сравнении строятся задачи вида «во сколько раз больше дров, чем угля, нужно сжечь для одинаковой теплоты».

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: нужно нагреть $m_в = 50$ кг воды от $t_1 = 10\ °C$ до $t_2 = 100\ °C$, сжигая природный газ с удельной теплотой сгорания $q = 44$ МДж/кг. КПД горелки $\eta = 60\%$. Сколько газа потребуется? Теплоёмкость воды $c = 4200$ Дж/(кг·°C).

Сначала найдём полезную теплоту - ту, что пойдёт именно на нагрев воды:

$Q_{полезн} = c\,m_в\,(t_2 - t_1) = 4200 \cdot 50 \cdot (100 - 10) = 18\,900\,000\ \text{Дж} = 18{,}9\ \text{МДж}.$

Теперь учтём КПД: при горении выделится больше, ведь полезной будет лишь доля $\eta$:

$Q = \frac{Q_{полезн}}{\eta} = \frac{18{,}9}{0{,}6} = 31{,}5\ \text{МДж}.$

Наконец, из формулы $Q = q\,m$ находим массу газа, переведя удельную теплоту сгорания в те же единицы:

$m = \frac{Q}{q} = \frac{31{,}5\ \text{МДж}}{44\ \text{МДж/кг}} \approx 0{,}72\ \text{кг}.$

Проверка: $0{,}72 \cdot 44 = 31{,}7$ МДж выделится при горении, $60\%$ от этого - около $19$ МДж, что совпадает с нужной полезной теплотой. Если у вас числа эту проверку не проходят, ищите ошибку в переводе единиц или в том, куда подставлен КПД.

Частые ошибки

• Удельная теплота сгорания в МДж/кг при расчёте в джоулях. Если $q$ оставить в мегаджоулях, а теплоёмкость воды взять в Дж/(кг·°C), единицы не сойдутся. Переводите: $q\ [\text{Дж/кг}] = q\ [\text{МДж/кг}] \cdot 10^6$.
• Путаница, на что делить КПД. Полная теплота $Q$ больше полезной, поэтому $Q = Q_{полезн}/\eta$, а не наоборот. Деление полезной теплоты на КПД даёт большее число - это и есть выделенная теплота.
• КПД в процентах вместо доли. В формулу $\eta\,q\,m$ подставляют долю: $60\%$ это $0{,}6$, а не $60$. Иначе ответ ошибётся в сто раз.
• Масса топлива и масса нагреваемого вещества. В формуле $Q = q\,m$ под $m$ понимают массу сгоревшего топлива, а в $c\,m_в\,\Delta t$ - массу воды. Это разные массы, их нельзя путать.
• Неполное сгорание. Формула $Q = q\,m$ даёт теплоту при полном сгорании. Если топливо сгорает не до конца, реальная теплота меньше, и это нужно оговаривать отдельно.

FAQ

Сколько теплоты выделится при сгорании 3 кг сухих дров? Удельная теплота сгорания дров $q = 10$ МДж/кг, тогда $Q = q\,m = 10 \cdot 3 = 30$ МДж $= 3 \cdot 10^7$ Дж. Это теплота при полном сгорании, без учёта потерь нагревателя.

Чем теплота сгорания отличается от удельной теплоты сгорания? Теплота сгорания $Q$ - это вся выделенная теплота для конкретной массы топлива, она зависит от массы. Удельная теплота сгорания $q$ - характеристика вещества, теплота при сгорании одного килограмма; именно её берут из таблицы и умножают на массу.

Как найти массу топлива по нужной теплоте? Из формулы $Q = q\,m$ выразите массу: $m = Q/q$. Например, чтобы получить $540$ МДж от угля с $q = 27$ МДж/кг, нужно $m = 540/27 = 20$ кг угля.

Коротко

Все задачи на сгорание топлива опираются на формулу $Q = q\,m$, где $q$ - табличная удельная теплота сгорания в Дж/кг, а $m$ - масса сгоревшего топлива. Если теплота идёт на нагрев через нагреватель с КПД $\eta$, полезная часть равна $\eta\,q\,m$ и приравнивается к $c\,m_в\,(t_2 - t_1)$. Главное - переводить удельную теплоту сгорания в систему СИ и не путать массу топлива с массой нагреваемого вещества.