Задачи на совместную работу: формула и решение

Задачи на работу - один из стандартных типов в курсе алгебры: «Один рабочий выполняет работу за 6 дней, второй - за 12 дней. За сколько дней они справятся вместе?» Ответ не 9 дней (среднее), и не 18 (сумма), а 4 дня - и понять, почему, помогает единственный ключевой принцип: складывать нужно производительности, а не сроки. Задайте сроки исполнителей в калькуляторе ниже и сразу увидите совместное время и график прогресса, а в следующих разделах разберём всю математику пошагово.

Ключевой принцип: производительность, а не срок

Срок - это сколько дней уходит на работу целиком. Производительность - это какую долю работы выполняют за один день. Если исполнитель справляется за $t$ дней, его производительность равна $p = \dfrac{1}{t}$ (часть работы за день).

Производительности складываются - именно это делает задачи на совместную работу решаемыми. Если первый делает $\dfrac{1}{t_1}$ работы в день, а второй $\dfrac{1}{t_2}$ - вместе они делают $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2}$ работы в день. Время $T$, нужное для выполнения всей работы (равной единице), определяется из уравнения:

$P \cdot T = 1, \quad \text{где } P = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}.$

Отсюда совместное время:

$T = \frac{1}{P} = \frac{1}{\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}.$

Для двух исполнителей удобна компактная форма $T = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$. Для трёх и более - только через производительности: $T = \dfrac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3}}$.

Рассчитать для своей задачи

Пошаговое решение задачи на двух исполнителей

Разберём классическую постановку: первый рабочий выполняет работу за 6 дней, второй - за 12 дней. За сколько они справятся вместе?

Шаг 1. Найдём производительность каждого:

$p_1 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \text{ работы/день}, \quad p_2 = \frac{1}{12} \approx 0{,}083 \text{ работы/день}.$

Шаг 2. Сложим производительности:

$P = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$

Шаг 3. Найдём совместное время:

$T = \frac{1}{P} = \frac{1}{1/4} = 4 \text{ дня}.$

Проверка через формулу произведения: $T = \dfrac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \dfrac{72}{18} = 4$. Результат тот же. За 4 дня первый выполнит $4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ работы, второй - $4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$. В сумме ровно $1$ - задача решена верно.

Рассчитать для своей задачи

Задачи с тремя и более исполнителями

Принцип тот же - складываем все производительности. Пример: первый мастер делает работу за 4 дня, второй за 6, третий за 12. За сколько справятся втроём?

$P = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$

$T = \frac{1}{1/2} = 2 \text{ дня}.$

Здесь удобно сразу приводить дроби к общему знаменателю. Для трёх произвольных сроков явной «красивой» формулы нет - только вычисление через сумму обратных величин. Если сроки заданы неудобными числами, находим НОК знаменателей и приводим каждую дробь к нему, затем складываем числители и в конце берём обратное от результата.

Отметим важное свойство: каждый дополнительный исполнитель сокращает совместное время, но всё меньше и меньше. Первый помощник (переход с одного на двоих) сокращает срок ровно вдвое лишь в случае одинаковой производительности; в общем случае выигрыш тем меньше, чем ниже производительность добавляемого. Это прямое следствие формулы: $T = 1/(P_0 + p_{new})$, где $P_0$ - суммарная производительность уже работающих. При большом $P_0$ добавление небольшого $p_{new}$ почти не меняет знаменатель.

Обратная задача: найти срок одного исполнителя

Условие: двое вместе выполняют работу за $T$ дней, первый в одиночку - за $t_1$ дней. Найти срок второго $t_2$.

Из уравнения $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{T}$ выразим $t_2$:

$\frac{1}{t_2} = \frac{1}{T} - \frac{1}{t_1} = \frac{t_1 - T}{T \cdot t_1}, \quad t_2 = \frac{T \cdot t_1}{t_1 - T}.$

Пример: вместе делают за 3 дня, первый один - за 5 дней.

$t_2 = \frac{3 \cdot 5}{5 - 3} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \text{ дней}.$

Важно: результат всегда больше $T$ (иначе второй исполнитель уже в одиночку успел бы быстрее), и $t_1 > T$ обязательно (раз оба вместе быстрее, чем первый один). Если $t_1 \le T$, условие задачи противоречиво.

Задачи с частичным участием

Нередко исполнители работают не весь срок. Стандартная постановка: первый работает $d_1$ дней, затем к нему присоединяется второй, и они заканчивают вместе через $d_2$ дней. Нужно найти общее время или объём выполненной каждым части.

Суммарный объём работы:

$W = d_1 \cdot p_1 + d_2 \cdot (p_1 + p_2) = 1.$

Отсюда находим неизвестное (обычно $d_1$ или $d_2$). Удобный приём - сначала подставить $p_1$ и $p_2$ числами, затем решить линейное уравнение.

Пример: первый рабочий работает самостоятельно 2 дня, затем приходит второй и они завершают вместе. Первый делает работу за 6 дней ($p_1 = 1/6$), второй за 4 дня ($p_2 = 1/4$). За сколько дней $d_2$ они завершат вместе после присоединения?

$\frac{2}{6} + d_2 \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\right) = 1.$

$\frac{1}{3} + d_2 \cdot \frac{5}{12} = 1, \quad d_2 = \frac{1 - 1/3}{5/12} = \frac{2/3}{5/12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \text{ дней}.$

Итого: работа завершится через $2 + 1{,}6 = 3{,}6$ дня. Бывает удобнее выразить через целые числа: $d_2 = 8/5$ суток, то есть 1 день и 3/5 суток (или 14 часов 24 минуты при восьмичасовом рабочем дне - хотя в задачах обычно принимают рабочий день равным всему суткам).

Частые ошибки

• Сложение сроков вместо производительностей. Интуитивный ответ «6 + 12 = 18 дней» совершенно неверен. Складывать нужно $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$, а не $t_1 + t_2$.
• Усреднение сроков. Среднее $(6 + 12)/2 = 9$ тоже не даёт ответа. Среднее производительностей - ещё одна ловушка: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{8}$, то есть 8 дней - это неверно при совместной работе.
• Ошибка в обратной задаче. При поиске $t_2$ из $\frac{1}{T} - \frac{1}{t_1}$ студенты иногда вычитают сроки напрямую: $t_2 = t_1 - T$ - это неверно.
• Неприведение к общему знаменателю. При трёх исполнителях дроби $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ часто складывают неаккуратно. Проверяйте: НОК(4,6,12) = 12.
• Отрицательное или бесконечное время. Если в обратной задаче $t_1 \le T$, первый исполнитель один не успевает за то же время, что и в паре, - это противоречие условию.

FAQ

Почему совместное время всегда меньше любого из сроков по отдельности?

Потому что суммарная производительность $P = p_1 + p_2 > p_1$ и $P > p_2$. А время $T = 1/P$ - убывающая функция $P$: чем выше производительность, тем меньше срок. Добавление любого исполнителя с $p > 0$ только увеличивает $P$ и сокращает $T$.

Можно ли применить формулу $T = t_1 t_2 / (t_1 + t_2)$ для трёх исполнителей?

Напрямую нельзя. Но можно применить её дважды: сначала для первых двух - $T_{12} = t_1 t_2 / (t_1 + t_2)$, затем рассматривать эту «мини-команду» как одного исполнителя со сроком $T_{12}$ и применить формулу снова с третьим: $T = T_{12} \cdot t_3 / (T_{12} + t_3)$.

Как решать задачи, где часть работы уже выполнена?

Оставшаяся работа $w = 1 - w_0$, где $w_0$ - уже сделанная доля. Дальше работают исполнители с суммарной производительностью $P$, оставшееся время $\tau = w / P$. Если $w_0 = 0{,}4$ и $P = 1/4$, то $\tau = 0{,}6 \cdot 4 = 2{,}4$ дня.

Задача с переменной производительностью

Иногда условие говорит не о сроке, а о доле работы, которую исполнитель выполняет за день. Например: «первый делает 1/5 работы в день, второй - 1/10 в день». Производительности в этом случае уже известны напрямую, и искать $1/t$ не нужно. Совместная производительность:

$P = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}.$

Совместное время: $T = 1/P = 10/3 \approx 3{,}3$ дня.

Частный случай - два одинаковых исполнителя: $t_1 = t_2 = t$. Тогда $T = t \cdot t / (t + t) = t^2 / (2t) = t/2$. Вдвоём одинаково сильные исполнители делают работу ровно вдвое быстрее. Для трёх одинаковых: $T = t/3$, для $n$ одинаковых - $T = t/n$.

Коротко

Задачи на совместную работу решаются через производительности: $p = 1/t$ - доля работы за день. Суммарная производительность команды равна сумме производительностей каждого, а совместное время $T = 1/P$. Для двух исполнителей это выражается формулой $T = t_1 t_2 / (t_1 + t_2)$, для трёх и более - только через сумму обратных величин. В задачах с частичным участием составляется уравнение баланса работы: сумма произведений производительности на время каждого этапа равна единице. Ключевая ошибка - складывать сроки или брать среднее вместо сложения производительностей.