Проценты на проценты за два года: формула и задачи

Когда банк начисляет проценты ежегодно и прибавляет их к вкладу, следующий год даёт доход уже с увеличенной суммы. Именно так работают «проценты на проценты» - математически это называется сложным начислением. За два года разница с обычными (простыми) процентами кажется небольшой, но понять механизм важно: на нём строятся задачи ЕГЭ по финансовой математике, банковские вклады и задачи на рост цен. Попробуй сразу подставить свои числа в калькулятор ниже - он разложит прирост по годам и покажет, почему итоговая ставка оказывается выше номинальной.

Формула сложных процентов за два года

Пусть начальная сумма равна $P$, годовая ставка - $r$ процентов. Через год сумма вырастет до:

$S_1 = P + P \cdot \frac{r}{100} = P \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right).$

На второй год проценты начисляются уже на $S_1$, а не на исходное $P$:

$S_2 = S_1 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) = P \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^2.$

Это и есть формула наращения по сложным процентам за два года. В общем виде для $n$ лет:

$S = P \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n.$

Рассчитать для своей задачи

Суммарный прирост за два года:

$D = S_2 - P = P \cdot \left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^2 - 1\right] = P \cdot \left(\frac{2r}{100} + \frac{r^2}{10000}\right).$

Слагаемое $P \cdot \frac{2r}{100}$ - это «двойные простые проценты», а $P \cdot \frac{r^2}{10000}$ - это и есть «проценты на проценты», доход второго года с дохода первого.

Эффективная ставка за два года

Поскольку итоговый прирост $D$ больше, чем $2r\%$ от $P$, говорят об эффективной ставке - годовой ставке простых процентов, дающей тот же итог:

$r_{\text{эфф}} = \left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^2 - 1\right] \times 100\%.$

При $r = 15\%$ простые проценты дали бы $30\%$ за два года, а сложные - $32{,}25\%$. Разница $2{,}25\%$ - это и есть «бонус» от начисления на выросшую базу. Именно этот показатель банки обязаны указывать как ПСК (полную стоимость кредита) или эффективную доходность вклада.

Рассчитать для своей задачи

Пошаговый разбор типовой задачи

Задача. В банке открыт вклад 10 000 руб. под 15% годовых с ежегодным начислением на остаток. Найти сумму через 2 года и суммарный доход.

Шаг 1. Записываем формулу и подставляем данные:

$S = 10\,000 \cdot \left(1 + \frac{15}{100}\right)^2 = 10\,000 \cdot 1{,}15^2.$

Шаг 2. Считаем $1{,}15^2 = 1{,}3225$:

$S = 10\,000 \cdot 1{,}3225 = 13\,225 \text{ руб.}$

Шаг 3. Находим прирост:

$D = 13\,225 - 10\,000 = 3\,225 \text{ руб.}$

Шаг 4. Проверяем разложение по годам:

• 1-й год: $10\,000 \times 0{,}15 = 1\,500$ руб.
• 2-й год: $11\,500 \times 0{,}15 = 1\,725$ руб.
• Итого: $1\,500 + 1\,725 = 3\,225$ руб. - совпадает.

«Лишние» $225$ руб. - это $15\%$ от $1\,500$ руб. дохода первого года, которые тоже пошли в работу.

Сравнение с простыми процентами

При простых процентах каждый год начисляется одна и та же сумма - $P \cdot r/100$, и база никогда не меняется:

$S_{\text{прост}} = P \cdot \left(1 + n \cdot \frac{r}{100}\right) = 10\,000 \cdot 1{,}30 = 13\,000 \text{ руб.}$

При сложных - $13\,225$ руб. Разница $225$ руб. (2,25% от начальной суммы) - это и есть «проценты на проценты». На коротком сроке (2 года) выигрыш скромный, но с ростом ставки или срока он нарастает по параболе: при $r = 20\%$ разница за два года уже $400$ руб. с каждых $10\,000$, а за $10$ лет при $15\%$ сложные проценты дают $40\,456$ руб. против $25\,000$ руб. простых.

Задачи на нахождение начальной суммы и ставки

Формулу можно применять в обратную сторону. Если известна итоговая сумма $S$ и нужно найти $P$:

$P = \frac{S}{\left(1 + r/100\right)^2}.$

Если нужно найти ставку, зная $P$ и $S$ за два года:

$1 + \frac{r}{100} = \sqrt{\frac{S}{P}}, \quad r = \left(\sqrt{\frac{S}{P}} - 1\right) \times 100\%.$

Пример. Депозит за 2 года вырос с 50 000 до 60 500 руб. Найти годовую ставку:

$r = \left(\sqrt{\frac{60\,500}{50\,000}} - 1\right) \times 100 = (\sqrt{1{,}21} - 1) \times 100 = (1{,}1 - 1) \times 100 = 10\%.$

Задачи на рост и снижение цен

В задачах ЕГЭ и ОГЭ часто встречается формулировка «цена выросла на $r\%$ в первый год и ещё на $r\%$ во второй год». Здесь нет слова «вклад», но математика абсолютно та же - сложное начисление. Итоговый прирост цены в процентах:

$\Delta = \left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^2 - 1\right] \times 100\%.$

При двух последовательных повышениях на $10\%$ итоговый рост составит $21\%$, а не $20\%$. Именно такая задача часто вызывает ошибку «сложили два раза по 10%».

Аналогично работает снижение: если цена падала два года подряд на $r\%$, итоговый коэффициент:

$k = \left(1 - \frac{r}{100}\right)^2.$

При двух снижениях на $10\%$ цена составит $81\%$ от исходной (не $80\%$).

Частые ошибки

• Сложение двух ставок. «За 2 года по 15% - значит, 30%». Нет: $30\%$ дают простые проценты. При сложных: $1{,}15^2 - 1 = 32{,}25\%$.
• Неправильный порядок. В формуле $S = P(1+r)^n$ степень $n$ стоит над всей скобкой $(1+r)$, а не только над $r$. Типичная ошибка: $P \cdot (1 + r^n)$ - это неверно.
• Перевод ставки. Если в условии ставка дана в процентах, подставляйте $r/100$, не $r$. При $r = 15$ пишем $1 + 15/100 = 1{,}15$, не $1 + 15 = 16$.
• Простые проценты вместо сложных. Формулировка «проценты начисляются на остаток» или «на вклад с капитализацией» означает сложное начисление.
• Округление промежуточного результата. Если посчитать $S_1$ с округлением до копейки, а потом применить к нему ставку, ответ может немного отличаться от формульного. В задачах следует работать с точными значениями до последнего шага.

FAQ

Чем отличаются простые и сложные проценты за два года? При простых база остаётся неизменной: $S = P(1 + 2r/100)$. При сложных база каждый год увеличивается: $S = P(1+r/100)^2$. Разница равна «процентам на проценты» - $P \cdot (r/100)^2$. При $P = 10\,000$ и $r = 15\%$ это $225$ руб.

Как решить задачу, если нужно найти ставку по итоговой сумме за два года? Из формулы $S = P(1+r/100)^2$ выражают ставку: $r = (\sqrt{S/P} - 1) \times 100\%$. Например, если $P = 50\,000$ и $S = 60\,500$, то $r = (\sqrt{1{,}21} - 1) \times 100 = 10\%$.

Применима ли та же формула к задачам на рост цен или зарплат? Да. Если величина последовательно растёт на один и тот же процент два года подряд, итог считается по формуле сложных процентов. «Цена выросла на 8% в оба года» - это $k = 1{,}08^2 = 1{,}1664$, то есть рост на $16{,}64\%$, а не на $16\%$.

Коротко

Проценты на проценты за два года считаются по формуле $S = P \cdot (1 + r/100)^2$. Суммарный прирост складывается из двух частей: прирост первого года $P \cdot r/100$ и прирост второго года $(P + P \cdot r/100) \cdot r/100$ - он больше, потому что база уже выросла. Итоговая эффективная ставка за два года равна $((1+r/100)^2 - 1) \times 100\%$ и всегда превышает $2r\%$. Тот же подход работает для роста цен, зарплат и любой величины, которая последовательно увеличивается на один процент.