Взаимная индуктивность двух катушек: формула и расчёт

Взаимная индуктивность описывает, насколько сильно две катушки связаны через общее магнитное поле: изменение тока в одной из них наводит ЭДС в другой. Именно на этом эффекте работают трансформаторы, дроссели связи и катушки беспроводной зарядки. В задачах по электромагнетизму взаимную индуктивность $M$ обычно требуется найти по геометрии катушек, а затем через неё посчитать ЭДС взаимной индукции и коэффициент связи. Ниже разберём, что такое взаимная индуктивность двух катушек, как вывести формулу $M$ для пары коаксиальных соленоидов, как связаны $M$ и собственные индуктивности и где студенты чаще всего теряют множители. Чтобы сразу почувствовать, как $M$ зависит от витков, размеров и тока, покрути калькулятор ниже: он считает взаимную индуктивность, коэффициент связи и ЭДС во вторичной катушке разом.

Что такое взаимная индуктивность двух катушек

Пусть рядом расположены две катушки. Если по первой течёт ток $I_1$, он создаёт магнитное поле, часть линий которого пронизывает витки второй катушки. Полный магнитный поток через вторую катушку (потокосцепление $\Psi_{21}$) пропорционален току в первой:

$\Psi_{21} = M\,I_1.$

Коэффициент пропорциональности $M$ и называется взаимной индуктивностью двух катушек. Он измеряется в генри (Гн) и зависит только от геометрии катушек, их взаимного расположения и магнитных свойств среды между ними, но не от тока. Замечательное свойство: взаимная индуктивность симметрична. Если поменять катушки ролями и пустить ток по второй, то поток через первую даст тот же самый коэффициент:

$M_{21} = M_{12} = M.$

Это теорема взаимности, и она сильно упрощает задачи: не важно, какую катушку считать источником, $M$ одно и то же.

Формула взаимной индуктивности двух соленоидов

Каноническая учебная модель - две катушки, намотанные на общий длинный каркас (соленоид внутри соленоида), так что обе имеют одну и ту же площадь сечения $S$ и одинаковую длину $l$. Пусть первичная катушка имеет $N_1$ витков, вторичная $N_2$.

Рассчитать для своей задачи

Магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно $B = \mu_0 \dfrac{N_1}{l} I_1$. Поток через одно сечение равен $B\,S$, а полное потокосцепление со всеми $N_2$ витками вторичной катушки:

$\Psi_{21} = N_2\, B\, S = \mu_0 \frac{N_1 N_2 S}{l}\, I_1.$

Сравнивая с определением $\Psi_{21} = M I_1$, получаем главную формулу взаимной индуктивности двух катушек:

$M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S}{l},$

где $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ Гн/м - магнитная постоянная, $S$ - площадь сечения, $l$ - длина намотки. Если каркас заполнен сердечником с магнитной проницаемостью $\mu$, добавляется множитель $\mu$: $M = \mu\mu_0 N_1 N_2 S / l$. Видно, что $M$ растёт с числом витков обеих катушек и площадью сечения и падает с длиной: на коротком плотном каркасе витки сидят теснее, и связь сильнее.

Рассчитать для своей задачи

ЭДС взаимной индукции

Главное практическое следствие: при изменении тока в первой катушке меняется поток через вторую, и по закону электромагнитной индукции Фарадея во второй катушке наводится ЭДС взаимной индукции:

$\varepsilon_2 = -\frac{d\Psi_{21}}{dt} = -M\,\frac{dI_1}{dt}.$

Знак минус - это правило Ленца: наведённая ЭДС противодействует изменению, которое её породило. По модулю ЭДС тем больше, чем быстрее меняется ток и чем сильнее связь. Для синусоидального тока $I_1 = I_{max}\sin(2\pi f t)$ производная равна $\dfrac{dI_1}{dt} = I_{max}\,2\pi f\cos(2\pi f t)$, поэтому амплитуда ЭДС во вторичной катушке:

$\varepsilon_{2,\max} = M\, I_{max}\, 2\pi f.$

Обрати внимание на сдвиг фаз: ЭДС пропорциональна не самому току, а его скорости изменения, поэтому она опережает ток на четверть периода. Максимум ЭДС приходится на моменты, когда ток проходит через ноль и меняется быстрее всего, а в пике тока ЭДС обращается в ноль. Этот сдвиг хорошо виден на графике в калькуляторе выше: золотая кривая ЭДС сдвинута относительно зелёной кривой тока.

Коэффициент связи катушек

Взаимная индуктивность не может быть произвольно большой: она ограничена собственными индуктивностями катушек. Для тех же двух соленоидов на общем каркасе собственные индуктивности равны:

$L_1 = \frac{\mu_0 N_1^2 S}{l}, \qquad L_2 = \frac{\mu_0 N_2^2 S}{l}.$

Перемножив их, легко увидеть, что $M = \sqrt{L_1 L_2}$ для этого идеального случая, когда весь поток первичной катушки пронизывает вторичную. В реальности часть линий рассеивается, поэтому вводят коэффициент связи:

$k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}, \qquad 0 \le k \le 1.$

При $k = 1$ связь идеальная (весь поток общий), при $k = 0$ катушки не связаны. У реальных трансформаторов с сердечником $k$ близок к единице (0,95 и выше), у разнесённых воздушных катушек он мал. В нашей модели коаксиальных соленоидов с общим сечением $k = 1$, потому что мы пренебрегаем рассеянием; калькулятор показывает именно этот предельный случай.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: на каркас длиной $l = 20$ см намотаны две катушки, первичная содержит $N_1 = 500$ витков, вторичная $N_2 = 200$ витков, диаметр сечения каркаса $d = 4$ см. Нужно найти взаимную индуктивность катушек.

Сначала переведём всё в СИ и найдём площадь сечения:

$S = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi\,(0{,}02)^2 \approx 1{,}26\cdot10^{-3}\ \text{м}^2, \qquad l = 0{,}20\ \text{м}.$

Теперь подставляем в формулу взаимной индуктивности двух соленоидов:

$M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S}{l} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot 500 \cdot 200 \cdot 1{,}26\cdot10^{-3}}{0{,}20} \approx 7{,}9\cdot10^{-4}\ \text{Гн} \approx 0{,}79\ \text{мГн}.$

Если по первичной катушке течёт переменный ток амплитудой $I_{max} = 2$ А с частотой $f = 50$ Гц, амплитуда ЭДС во вторичной катушке:

$\varepsilon_{2,\max} = M\, I_{max}\, 2\pi f = 7{,}9\cdot10^{-4}\cdot 2 \cdot 2\pi\cdot50 \approx 0{,}50\ \text{В}.$

Проверим коэффициент связи. Собственные индуктивности: $L_1 \approx 1{,}97$ мГн и $L_2 \approx 0{,}32$ мГн, тогда $\sqrt{L_1 L_2} \approx 0{,}79$ мГн, что совпадает с $M$, то есть $k = 1$ - для идеальной модели так и должно быть. Если ваше $k$ получается больше единицы, где-то закралась ошибка в множителях или единицах. Все эти величины калькулятор выше пересчитывает мгновенно, оставляя вам контроль над подстановкой.

Частые ошибки

• Забытая площадь сечения катушки, а не каркаса. В формуле $M$ стоит площадь, которую охватывают витки вторичной катушки. Если катушки разного диаметра, в потокосцепление входит меньшая из площадей (та, через которую реально идёт общий поток).
• Сантиметры вместо метров. Площадь и длину обязательно переводите в СИ. Диаметр 4 см это $S = \pi(0{,}02)^2$ м$^2$, а не $\pi\cdot2^2$ см$^2$ без перевода.
• Потеря числа витков второй катушки. Поток через одно сечение умножается на $N_2$ витков вторичной обмотки. Частая ошибка - оставить в формуле только $N_1$.
• Знак ЭДС и правило Ленца. В $\varepsilon_2 = -M\,dI_1/dt$ минус обязателен: ЭДС противодействует изменению тока. По модулю важна именно скорость изменения тока, а не его величина.
• Коэффициент связи больше единицы. Если $k = M/\sqrt{L_1 L_2} > 1$, значит, перепутаны индуктивности или единицы: физически $k$ не может превышать 1.

FAQ

Чему равна взаимная индуктивность двух катушек на общем каркасе с 500 и 200 витками? По формуле $M = \mu_0 N_1 N_2 S / l$ при длине 20 см и сечении диаметром 4 см получается около 0,79 мГн. Конкретное значение зависит от площади сечения и длины намотки, поэтому удобнее посчитать его в калькуляторе.

Как найти ЭДС взаимной индукции? ЭДС во второй катушке равна $\varepsilon_2 = -M\,dI_1/dt$, то есть произведению взаимной индуктивности на скорость изменения тока в первой катушке. Для синусоидального тока амплитуда ЭДС равна $M\,I_{max}\,2\pi f$.

В чём разница между взаимной и собственной индуктивностью? Собственная индуктивность $L$ связывает поток катушки с её же током, а взаимная индуктивность $M$ связывает поток одной катушки с током другой. Они связаны через коэффициент связи: $M = k\sqrt{L_1 L_2}$, где $0 \le k \le 1$.

Коротко

Взаимная индуктивность двух катушек $M$ показывает, какое потокосцепление наводит во второй катушке единичный ток первой: $\Psi_{21} = M I_1$, и величина симметрична ($M_{12} = M_{21}$). Для пары соленоидов на общем каркасе $M = \mu_0 N_1 N_2 S / l$. Изменение тока наводит ЭДС взаимной индукции $\varepsilon_2 = -M\,dI_1/dt$, а связь катушек характеризует коэффициент $k = M/\sqrt{L_1 L_2}$, не превышающий единицы. Эти три формулы покрывают почти все задачи на взаимную индуктивность.