Вырожденный электронный газ: энергия и температура Ферми

Вырожденный электронный газ - это система свободных электронов в металле, у которой квантовые эффекты настолько сильны, что её поведение почти не зависит от температуры. Электроны - фермионы, и по принципу Паули в одном состоянии не может быть двух одинаковых частиц, поэтому даже при абсолютном нуле они заполняют все уровни энергии вплоть до некоторого предела - энергии Ферми. Именно вырождение объясняет, почему теплоёмкость металла на порядки меньше классической оценки и почему электроны движутся со скоростью порядка миллиона метров в секунду, хотя металл лежит на столе при комнатной температуре. Ниже разберём, что такое энергия и температура Ферми, как вывести их формулы, когда газ можно считать вырожденным и как посчитать его параметры. Чтобы сразу увидеть связь концентрации, температуры и заполнения уровней, покрути калькулятор ниже - он строит распределение Ферми-Дирака и пересчитывает энергию Ферми для любого металла.

Что значит «вырожденный» газ

Слово «вырожденный» в физике не имеет негативного смысла - оно означает, что система описывается квантовой статистикой, а не классической. Классический идеальный газ подчиняется распределению Максвелла-Больцмана: частицы редко «мешают» друг другу, и заполнение уровней определяется тепловой энергией $k_B T$. Электронный газ в металле устроен иначе. Концентрация электронов в нём огромна - порядка $10^{28}$-$10^{29}$ м$^{-3}$, а сами электроны - фермионы со спином $1/2$. Принцип запрета Паули заставляет их «складываться» по энергетическим уровням снизу вверх, и при $T = 0$ заполнены все состояния до уровня Ферми, а выше - пусто.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому температура почти не влияет на газ: чтобы возбудить электрон, его нужно перевести на свободное состояние, а все ближайшие уже заняты. Тепловую энергию $k_B T$ могут «почувствовать» только электроны в тонком слое возле уровня Ферми. Отсюда и название - газ вырожден, его свойства заданы не температурой, а квантовой статистикой и концентрацией частиц.

Энергия Ферми: вывод формулы

Энергия Ферми $E_F$ - это максимальная энергия, которую имеют электроны при абсолютном нуле. Чтобы её получить, посчитаем, сколько электронов помещается в импульсное пространство. Каждое квантовое состояние занимает объём $(2\pi\hbar)^3 / V$ в фазовом пространстве, а с учётом двух проекций спина в шаре радиуса $p_F$ (импульс Ферми) умещается

$N = 2 \cdot \frac{V}{(2\pi\hbar)^3} \cdot \frac{4}{3}\pi p_F^3.$

Выразив отсюда $p_F$ через концентрацию $n = N/V$ и перейдя к волновому числу $k_F = p_F/\hbar$, получаем волновое число Ферми:

$k_F = \left(3\pi^2 n\right)^{1/3}.$

Энергия Ферми - это просто кинетическая энергия электрона с импульсом $p_F$:

$E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2 n\right)^{2/3},$

где $m$ - масса электрона. Главное в этой формуле: $E_F$ зависит только от концентрации электронов $n$ и растёт как $n^{2/3}$. Никакой температуры в ней нет - это чисто квантовая величина.

Рассчитать для своей задачи

На графике плотности состояний $g(E) \propto \sqrt{E}$ видно, как электроны заполняют уровни снизу: при $T = 0$ закрашенная область обрывается строго на $E_F$. Площадь под этой ступенью равна полному числу электронов, а её правый край и есть уровень Ферми.

Температура и скорость Ферми

Энергии Ферми удобно сопоставить характерную температуру - температуру Ферми $T_F$:

$T_F = \frac{E_F}{k_B}.$

Это не реальная температура газа, а масштаб, с которым нужно сравнивать $T$. Для металлов $E_F$ составляет несколько электронвольт, поэтому $T_F$ получается порядка $10^4$-$10^5$ К - на два-три порядка выше комнатной. Именно поэтому при обычных условиях $T \ll T_F$, и электронный газ глубоко вырожден.

С импульсом Ферми связана и скорость Ферми - скорость электронов на верхней границе заполненной зоны:

$v_F = \frac{p_F}{m} = \frac{\hbar k_F}{m}.$

Для меди $v_F \approx 1{,}6 \cdot 10^6$ м/с - больше одного процента скорости света, хотя металл холодный. Эта скорость задаётся не теплом, а принципом Паули: электроны вынуждены занимать высокие импульсные состояния, потому что нижние уже заполнены.

Рассчитать для своей задачи

Критерий вырождения

Газ считается вырожденным, когда тепловое размытие границы много меньше энергии Ферми, то есть

$T \ll T_F \quad \Longleftrightarrow \quad k_B T \ll E_F.$

Физически это значит, что распределение Ферми-Дирака

$f(E) = \frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{E - \mu}{k_B T}\right) + 1}$

(где химический потенциал $\mu \approx E_F$ при низких температурах) остаётся почти ступенчатым: переход от единицы к нулю происходит в узком окне шириной порядка $k_B T$ возле $E_F$. Чем меньше отношение $T/T_F$, тем резче ступень. В калькуляторе выше это видно напрямую: при комнатной температуре для меди $T/T_F \approx 0{,}004$, и ступень почти идеально резкая, а при $T$, сравнимой с $T_F$, распределение «расплывается» и приближается к классическому максвелловскому хвосту.

Обратный предел $T \gg T_F$ возвращает классический газ, но для металлов он недостижим: металл расплавится и испарится задолго до того, как электронный газ перестанет быть вырожденным.

Как посчитать параметры для металла

Разберём типовую задачу. Концентрация свободных электронов в меди $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}$ м$^{-3}$. Сначала находим волновое число Ферми:

$k_F = \left(3\pi^2 n\right)^{1/3} \approx 1{,}36 \cdot 10^{10}\ \text{м}^{-1}.$

Затем энергию Ферми:

$E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} \approx 1{,}13 \cdot 10^{-18}\ \text{Дж} \approx 7{,}0\ \text{эВ}.$

Температура Ферми и скорость Ферми получаются подстановкой:

$T_F = \frac{E_F}{k_B} \approx 8{,}2 \cdot 10^4\ \text{К}, \qquad v_F = \frac{\hbar k_F}{m} \approx 1{,}6 \cdot 10^6\ \text{м/с}.$

Сравниваем с комнатной температурой: $T/T_F \approx 300 / 82000 \approx 0{,}004 \ll 1$, поэтому электронный газ в меди при комнатной температуре сильно вырожден. Эти же числа калькулятор выдаёт мгновенно для любой концентрации - удобно проверить себя или прикинуть параметры другого металла.

Полезно помнить и о давлении вырожденного газа: даже при $T = 0$ электроны давят на стенки за счёт энергии Ферми. Его можно выразить как $P = \tfrac{2}{5} n E_F$ - это давление вырождения, которое, например, удерживает белые карлики от гравитационного коллапса.

Частые ошибки

• Подстановка температуры в формулу энергии Ферми. $E_F$ зависит только от концентрации $n$, а не от $T$. Температура входит лишь в критерий вырождения и в распределение Ферми-Дирака.
• Путаница температуры Ферми с реальной температурой. $T_F$ - это масштаб энергии в кельвинах, а не температура газа. Газ при $T = 300$ К с $T_F = 8 \cdot 10^4$ К никак не нагрет до десятков тысяч градусов.
• Забытый множитель спина. В формуле $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ множитель $3\pi^2$ уже учитывает спиновое вырождение $g = 2$. Если посчитать состояния без спина, концентрация будет вдвое меньше нужной.
• Неверная степень концентрации. $E_F \propto n^{2/3}$, а $k_F \propto n^{1/3}$. Их легко перепутать; следите за показателем степени при переводе одной величины в другую.
• Использование классической теплоёмкости. Для вырожденного газа теплоёмкость линейна по $T$ и мала ($\propto T/T_F$), а не равна $\tfrac{3}{2} n k_B$, как у классического газа.

FAQ

Чему равна энергия Ферми меди? Для концентрации $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}$ м$^{-3}$ энергия Ферми меди составляет около $7{,}0$ эВ, а температура Ферми - порядка $8{,}2 \cdot 10^4$ К. Это типичные значения для одновалентных металлов.

Когда электронный газ становится вырожденным? Когда тепловая энергия много меньше энергии Ферми, то есть $T \ll T_F$ (или $k_B T \ll E_F$). Для металлов это выполняется при любой реальной температуре, поэтому их электронный газ всегда вырожден.

Почему теплоёмкость металла меньше классической? Потому что нагреть можно только электроны в тонком слое шириной $k_B T$ возле уровня Ферми - остальные «заперты» принципом Паули. Доля активных электронов порядка $T/T_F$, поэтому электронная теплоёмкость пропорциональна $T$ и при комнатной температуре мала.

Коротко

Вырожденный электронный газ - это квантовый газ фермионов, у которого при $T = 0$ заполнены все уровни до энергии Ферми $E_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n)^{2/3}$. Ей сопоставляют температуру Ферми $T_F = E_F/k_B$ (для металлов $10^4$-$10^5$ К) и скорость Ферми $v_F = \hbar k_F/m$. Газ вырожден, пока $T \ll T_F$: распределение Ферми-Дирака остаётся почти ступенчатым, и температура почти не влияет на его свойства. Все параметры зависят только от концентрации электронов и считаются по нескольким формулам.