Вихри Абрикосова: квант потока и решётка

Вихри Абрикосова - это тонкие нити магнитного потока, которые пронизывают сверхпроводник II рода, когда внешнее поле слишком велико, чтобы его полностью вытолкнуть, но ещё недостаточно велико, чтобы разрушить сверхпроводимость. Алексей Абрикосов предсказал их в 1957 году, решая уравнения Гинзбурга-Ландау, и получил за это Нобелевскую премию: оказалось, что поле проникает в образец не сплошь, а порциями - отдельными вихрями, каждый из которых несёт ровно один квант магнитного потока. Ниже разберём, почему поток квантуется, как посчитать число вихрей и плотность их решётки, чем треугольная решётка Абрикосова отличается от квадратной и где проходят границы между состояниями. Чтобы сразу почувствовать связь поля, плотности вихрей и шага решётки, покрути калькулятор: он показывает, как вихри густеют с ростом поля и как меняется постоянная решётки.

Что такое вихрь Абрикосова

Сверхпроводник стремится вытолкнуть магнитное поле из своего объёма - это эффект Мейснера. У сверхпроводников I рода так и происходит: поле либо полностью вытеснено, либо сверхпроводимость скачком разрушается. А вот у сверхпроводников II рода есть промежуточное, смешанное состояние. В нём полю энергетически выгодно проникнуть внутрь, но не сплошным фронтом, а узкими каналами - вихрями.

Каждый вихрь Абрикосова устроен как нить с нормальной (несверхпроводящей) сердцевиной радиусом порядка длины когерентности $\xi$, вокруг которой циркулирует незатухающий сверхток. Этот ток и удерживает магнитный поток внутри вихря, экранируя его от остального объёма на расстоянии порядка глубины проникновения $\lambda$. Снаружи вихря материал остаётся сверхпроводящим, поэтому образец как целое сопротивления не имеет, пока вихри стоят на месте.

Рассчитать для своей задачи

Почему магнитный поток квантуется

Главная особенность вихря - квантование потока. Поток через любой контур, охватывающий вихрь, не может быть произвольным: он кратен фундаментальной величине - кванту магнитного потока

$\Phi_0 = \frac{h}{2e} \approx 2{,}07 \cdot 10^{-15}\ \text{Вб},$

где $h$ - постоянная Планка, $e$ - заряд электрона, а двойка в знаменателе отражает то, что носители сверхтока - куперовские пары с зарядом $2e$. Каждый одиночный вихрь Абрикосова несёт ровно один такой квант. Причина в том, что волновая функция сверхпроводящего конденсата должна быть однозначной: при обходе вокруг вихря её фаза набирает целое число оборотов $2\pi$, а это и фиксирует поток кратным $\Phi_0$.

Отсюда сразу следует, как считать число вихрей. Если внутри образца площадью $A$ создана индукция $B$, то полный поток равен $B\,A$, а число вихрей - это поток, делённый на квант:

$N = \frac{\Phi}{\Phi_0} = \frac{B\,A}{\Phi_0}.$

Поверхностная плотность вихрей при этом зависит только от поля:

$n = \frac{N}{A} = \frac{B}{\Phi_0}.$

Например, при $B = 1$ Тл плотность вихрей $n = 1/\Phi_0 \approx 4{,}8 \cdot 10^{14}$ вихрей на квадратный метр - это сотни вихрей на каждый квадратный микрон. Меняя поле в калькуляторе выше, легко увидеть, что плотность строго пропорциональна $B$.

Решётка Абрикосова: почему она треугольная

Вихри отталкиваются друг от друга: их магнитные поля и токи перекрываются, и системе выгодно развести вихри как можно дальше. При фиксированной плотности максимальное расстояние между соседями даёт треугольная (гексагональная) упаковка - у каждого вихря оказывается шесть равноудалённых соседей. Именно такую решётку и предсказал Абрикосов, и именно её позже увидели в эксперименте методом декорирования и сканирующей туннельной микроскопии.

Рассчитать для своей задачи

Постоянную треугольной решётки $a$ (расстояние между соседними вихрями) находят из условия: на одну элементарную ячейку площадью $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$ приходится ровно один квант потока. Приравнивая плотность $n = B/\Phi_0$ к одному вихрю на ячейку, получаем

$a = \sqrt{\frac{2\,\Phi_0}{\sqrt{3}\,B}}.$

Постоянная решётки падает как $1/\sqrt{B}$: чем сильнее поле, тем теснее стоят вихри. При $B = 1$ Тл шаг решётки $a \approx 49$ нм, а при $B = 10$ Тл - уже около 15 нм. График $a(B)$ в калькуляторе показывает этот закон: удваивание поля сжимает решётку в $\sqrt{2}$ раз.

Границы смешанного состояния: Hc1 и Hc2

Смешанное состояние с вихрями существует не при любом поле, а в окне между двумя критическими значениями. Нижнее критическое поле $H_{c1}$ - это порог, при котором первому вихрю становится выгодно войти в образец: ниже него работает чистый эффект Мейснера, поле вытолкнуто полностью. Верхнее критическое поле $H_{c2}$ - это предел, при котором вихри стоят уже так плотно, что их нормальные сердцевины перекрываются и сверхпроводимость исчезает.

Оценить $H_{c2}$ помогает та же геометрия. Сердцевина вихря имеет радиус порядка длины когерентности $\xi$, поэтому перекрытие наступает, когда на площадь $2\pi\xi^2$ приходится один квант потока:

$B_{c2} = \frac{\Phi_0}{2\pi\,\xi^2}.$

Чем короче длина когерентности, тем выше верхнее критическое поле - именно поэтому жёсткие сверхпроводники II рода с малым $\xi$ выдерживают десятки тесла и используются в сверхпроводящих магнитах. В калькуляторе длина когерентности задаёт размер сердцевины вихря: когда шаг решётки $a$ приближается к $\xi$, сердцевины начинают касаться - это и есть подход к $H_{c2}$.

Зачем считать вихри: пиннинг и потери

Пока вихри неподвижны, сверхпроводник не имеет сопротивления. Но при пропускании тока на вихри действует сила Лоренца, и если они начинают двигаться, возникает диссипация - появляется эффективное сопротивление. Чтобы этого избежать, вихри «закрепляют» на дефектах структуры - этот механизм называют пиннингом. Плотность вихрей, которую мы считаем по формуле $n = B/\Phi_0$, напрямую определяет, сколько центров пиннинга нужно и какой ток сверхпроводник выдержит без потерь. Поэтому расчёт числа и плотности вихрей - не абстрактное упражнение, а основа проектирования сверхпроводящих кабелей и магнитов.

Частые ошибки

• Квант потока с зарядом $e$ вместо $2e$. В знаменателе $\Phi_0 = h/(2e)$ стоит удвоенный заряд, потому что носители - куперовские пары. Подстановка $h/e$ даёт вдвое завышенный квант и вдвое заниженное число вихрей.
• Путаница поля $B$ и напряжённости $H$. В формулах числа и плотности вихрей фигурирует именно индукция $B$ внутри образца, а критические поля $H_{c1}$, $H_{c2}$ задают границы окна. Смешивать их в одной формуле нельзя.
• Квадратная решётка вместо треугольной. Для квадратной упаковки ячейка имеет площадь $a^2$, а не $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$. Использование квадратной формулы даёт неверный шаг решётки примерно на 7 процентов.
• Забытый перевод единиц длины. Длина когерентности обычно в нанометрах, площадь - в квадратных миллиметрах. Перед подстановкой в формулы всё переводят в метры, иначе порядок числа вихрей уедет на много степеней.
• Применение модели к сверхпроводнику I рода. Вихри Абрикосова существуют только во II роде. У I рода смешанного состояния нет - там поле либо вытолкнуто, либо сверхпроводимость разрушена.

FAQ

Сколько магнитного потока несёт один вихрь Абрикосова? Ровно один квант магнитного потока $\Phi_0 = h/(2e) \approx 2{,}07 \cdot 10^{-15}$ Вб. Это фундаментальная константа: ни больше, ни меньше один изолированный вихрь нести не может, потому что фаза волновой функции конденсата при обходе вихря меняется на целое число оборотов.

Почему решётка вихрей именно треугольная, а не квадратная? Вихри отталкиваются, и при заданной плотности треугольная упаковка разводит их на максимальное расстояние - энергия системы при этом минимальна. Квадратная решётка возможна в особых анизотропных материалах, но в изотропном сверхпроводнике устойчива именно треугольная.

Чем вихри Абрикосова отличаются от сверхпроводника I рода? В сверхпроводнике I рода смешанного состояния нет: поле либо полностью вытолкнуто (эффект Мейснера), либо при превышении критического поля сверхпроводимость скачком исчезает. Вихри возникают только во II роде, где есть промежуточное окно между $H_{c1}$ и $H_{c2}$.

Коротко

Вихри Абрикосова - это квантованные нити магнитного потока в сверхпроводниках II рода: каждый несёт один квант $\Phi_0 = h/(2e)$, а число вихрей равно $N = B\,A/\Phi_0$. Они отталкиваются и выстраиваются в треугольную решётку с постоянной $a = \sqrt{2\Phi_0/(\sqrt{3}\,B)}$, которая сжимается как $1/\sqrt{B}$. Смешанное состояние с вихрями живёт в окне между $H_{c1}$ и $H_{c2}$, а верхнее поле $B_{c2} = \Phi_0/(2\pi\xi^2)$ наступает, когда сердцевины вихрей перекрываются.