Уравнение Прока: массивное векторное поле и его динамика

Уравнение Прока описывает динамику массивного векторного поля - то есть поля частицы со спином 1 и ненулевой массой покоя. Это прямое обобщение уравнений Максвелла: если у фотона масса равна нулю, то у гипотетического «тяжёлого фотона» или у промежуточных бозонов слабого взаимодействия она есть, и именно член с массой превращает максвелловскую теорию в теорию Прока. Разберём, откуда берётся лагранжиан Прока, как из него выводятся уравнения движения, почему условие Лоренца здесь не калибровочный выбор, а следствие, и что меняет масса в законе распространения поля. Ниже - интерактивный сборщик запроса: соберите свою задачу и получите пошаговый разбор.

Что описывает уравнение Прока

Поле Прока - это четырёхвектор $A^\mu = (\phi, \mathbf{A})$, как и электромагнитный потенциал, но наделённый массой $m$. Физически это поле переносит взаимодействие частицами спина 1 с конечной массой покоя. Классический пример из реальной физики - векторные мезоны (например $\rho$-мезон) и, исторически, описание короткодействующих сил через «тяжёлый фотон».

Главное отличие от электромагнетизма: масса делает взаимодействие короткодействующим. Безмассовый фотон даёт кулоновский потенциал $\sim 1/r$ с бесконечным радиусом, а массивное поле Прока даёт экранированный потенциал Юкавы $\sim e^{-r/\lambda}/r$, где радиус экранирования задаётся комптоновской длиной волны частицы.

Лагранжиан поля Прока

Динамика поля задаётся плотностью лагранжиана. Для поля Прока к привычному максвелловскому члену добавляется массовый:

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \frac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu$$

Здесь $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ - тот же тензор напряжённости, что и в электродинамике. Первый член - кинетическая часть (как у Максвелла), второй - массовый. Именно слагаемое $\tfrac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu$ нарушает калибровочную инвариантность: при замене $A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \chi$ массовый член меняется, тогда как максвелловская часть к ней безразлична.

Рассчитать для своей задачи

Если положить $m = 0$, лагранжиан в точности возвращается к лагранжиану свободного электромагнитного поля - это удобная проверка предельного перехода.

Вывод уравнений движения

Применим уравнения Эйлера - Лагранжа к полю $A_\nu$:

$$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0$$

Варьируя кинетический член, получаем $\partial_\mu F^{\mu\nu}$, а варьируя массовый - $m^2 A^\nu$. В результате уравнение Прока в свободном виде записывается так:

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0$$

Это и есть искомое уравнение движения. При $m = 0$ оно превращается в свободные уравнения Максвелла $\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$, и временна́я компонента $A^0 = \phi$ становится обычным электростатическим потенциалом, для которого напряжённость есть градиент потенциала электрического поля. При $m \neq 0$ этот потенциал экранируется массой.

Условие Лоренца как следствие

Здесь возникает ключевая особенность теории Прока. Возьмём четырёхдивергенцию от уравнения движения, то есть подействуем оператором $\partial_\nu$:

$$\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 \partial_\nu A^\nu = 0$$

Первое слагаемое тождественно равно нулю: $F^{\mu\nu}$ антисимметричен, а $\partial_\nu \partial_\mu$ симметричен, их свёртка обнуляется. Значит при $m \neq 0$ остаётся:

$$\partial_\nu A^\nu = 0$$

Это условие Лоренца. В электродинамике его приходится навязывать руками как калибровочное условие. В теории Прока оно автоматически вытекает из уравнений движения - поле «само» подчиняется ему. Причина проста: массовый член фиксирует калибровку, свободы выбора уже нет.

Рассчитать для своей задачи

Уравнение Клейна - Гордона для компонент

Подставив условие Лоренца обратно, упрощаем уравнение движения. Раскроем $\partial_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu) = \Box A^\nu - \partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)$. Второе слагаемое исчезает по условию Лоренца, и остаётся:

$$(\Box + m^2) A^\nu = 0$$

где $\Box = \partial_\mu \partial^\mu$ - оператор Даламбера. Каждая компонента поля Прока подчиняется уравнению Клейна - Гордона. Это означает, что поле Прока описывает частицу с массой $m$, а условие Лоренца убирает лишнюю (нефизическую) степень свободы: вместо четырёх компонент остаётся три независимых - ровно столько, сколько поляризаций у массивной частицы спина 1.

Дисперсия и комптоновская длина волны

Ищем плоско-волновое решение $A^\nu \sim e^{-i k_\mu x^\mu}$. Подстановка в уравнение Клейна - Гордона даёт дисперсионное соотношение:

$$k_\mu k^\mu = m^2 \quad\Longleftrightarrow\quad E^2 = \mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4$$

Это релятивистская связь энергии и импульса для массивной частицы. У безмассового фотона было бы $E = pc$; масса добавляет «энергетический порог» $m c^2$. Радиус, на котором поле Прока заметно экранируется, задаётся комптоновской длиной волны:

$$\lambda = \frac{\hbar}{m c}$$

Чем больше масса, тем короче радиус действия. Для оценки масштаба взаимодействия по массе частицы (и наоборот) удобно прогнать конкретные числа - соберите запрос в инструменте выше.

Чем отличается от уравнений Максвелла

Сведём различия в список:

• Калибровочная инвариантность. У Максвелла есть, у Прока нет - её ломает массовый член $m^2 A_\mu A^\mu$.
• Условие Лоренца. У Максвелла - калибровочный выбор (можно и не использовать), у Прока - обязательное следствие уравнений движения.
• Число степеней свободы. Безмассовый фотон имеет 2 поляризации, массивное поле Прока - 3.
• Радиус действия. Максвелл даёт дальнодействие $1/r$, Прока - короткодействие Юкавы $e^{-r/\lambda}/r$.
• Дисперсия. $E = pc$ против $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$.

Теория Прока исторически важна как первая последовательная модель массивного калибровочного поля; современный механизм придания массы векторным бозонам (механизм Хиггса) сохраняет калибровочную инвариантность, но в низкоэнергетическом пределе сводится к эффективному полю Прока.

Частые ошибки

• Считать условие Лоренца калибровкой в теории Прока. Здесь это не выбор, а математическое следствие $\partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0$. Свободы калибровки нет - массовый член её снимает.
• Забывать про знак и множитель массового члена. В лагранжиане он $+\tfrac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu$ (с учётом сигнатуры), а в уравнении движения даёт $+ m^2 A^\nu$. Путаница в знаке меняет физику на нефизическую (тахион).
• Приписывать полю Прока 4 степени свободы. Условие Лоренца убирает одну, остаётся 3 - как и должно быть у массивной частицы спина 1.
• Брать предел $m \to 0$ без оговорок. Гладкого перехода числа поляризаций (3 → 2) нет: это известная разрывность (van Dam - Veltman - Zakharov для гравитации, для поля Прока - мягче, но осторожность нужна).

FAQ

Почему у поля Прока нет калибровочной инвариантности? Из-за массового члена $\tfrac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu$. При замене $A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \chi$ этот член меняется на $m^2 A_\mu \partial^\mu \chi + \dots$, тогда как у Максвелла лагранжиан не меняется. Масса физически выделяет потенциал $A_\mu$, поэтому произвол в его выборе исчезает.

Откуда в теории Прока берётся условие Лоренца? Из четырёхдивергенции уравнения движения: $\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$ тождественно (антисимметрия $F$), поэтому остаётся $m^2 \partial_\nu A^\nu = 0$, и при $m \neq 0$ это даёт $\partial_\nu A^\nu = 0$ автоматически.

Как связаны уравнение Прока и уравнение Клейна - Гордона? После подстановки условия Лоренца каждая компонента поля Прока подчиняется уравнению $(\Box + m^2)A^\nu = 0$ - это уравнение Клейна - Гордона. Поле Прока можно понимать как векторный аналог скалярного поля Клейна - Гордона.

Коротко

Уравнение Прока $\partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0$ описывает массивное векторное поле спина 1 и получается из лагранжиана Максвелла добавлением массового члена $\tfrac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu$. Этот член ломает калибровочную инвариантность, зато делает условие Лоренца $\partial_\mu A^\mu = 0$ автоматическим следствием уравнений движения. После его подстановки каждая компонента поля удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона $(\Box + m^2)A^\nu = 0$, а дисперсия принимает вид $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$. Масса делает взаимодействие короткодействующим с радиусом, равным комптоновской длине волны $\lambda = \hbar/(mc)$; в пределе $m \to 0$ теория сводится к электродинамике Максвелла.