Уравнение Фоккера-Планка: вывод, снос и диффузия

Уравнение Фоккера-Планка описывает, как со временем меняется плотность вероятности $p(x, t)$ найти случайно блуждающую частицу в точке $x$. Если уравнение Ланжевена следит за одной отдельной траекторией со случайными толчками, то уравнение Фоккера-Планка смотрит на ансамбль сразу и говорит, как расплывается и смещается всё облако вероятности. Это центральный инструмент статистической физики, теории броуновского движения, финансовой математики и химической кинетики. Ниже разберём, из чего складывается уравнение, что означают коэффициенты сноса и диффузии, как из него получить стационарное распределение и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь сноса, диффузии и формы распределения, покрутите калькулятор: он показывает, как пакет вероятности одновременно стягивается к равновесию и расплывается.

Что описывает уравнение Фоккера-Планка

Представьте множество одинаковых частиц, каждая из которых движется под действием регулярной силы (сноса) и случайных толчков (диффузии). Отслеживать каждую траекторию по отдельности безнадёжно. Зато можно описать, какая доля частиц в каждый момент находится возле точки $x$, - это и есть плотность вероятности $p(x, t)$. Уравнение Фоккера-Планка - это уравнение в частных производных, которое предсказывает эволюцию этой плотности:

$\frac{\partial p(x, t)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\big[A(x)\,p(x, t)\big] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big[D(x)\,p(x, t)\big].$

Здесь $A(x)$ - коэффициент сноса (drift), $D(x)$ - коэффициент диффузии. Первое слагаемое описывает направленное движение центра облака, второе - его расплывание. Уравнение можно записать в форме закона сохранения $\partial_t p = -\partial_x J$, где $J$ - поток вероятности: вероятность не исчезает и не возникает, а только перетекает вдоль оси $x$.

Рассчитать для своей задачи

Коэффициенты сноса и диффузии

Физический смысл коэффициентов проще всего понять через моменты малого приращения координаты $\Delta x$ за малое время $\Delta t$. Снос - это средняя скорость смещения, диффузия - скорость роста разброса:

$A(x) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\langle \Delta x \rangle}{\Delta t}, \qquad D(x) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\langle (\Delta x)^2 \rangle}{2\,\Delta t}.$

Снос отвечает за то, куда систематически сдвигается центр распределения, а диффузия - за то, как быстро распределение расползается в ширину. Если толчки полностью случайны и симметричны, снос равен нулю и остаётся чистая диффузия (обычное броуновское движение). Если есть возвращающая сила, снос направлен к положению равновесия, и облако не разбегается бесконечно, а останавливается на конечной ширине.

Рассчитать для своей задачи

Связь с уравнением Ланжевена

Уравнение Фоккера-Планка не висит в воздухе - оно напрямую следует из уравнения Ланжевена, которое описывает одну случайную траекторию. Для частицы под действием силы и белого шума $\xi(t)$ уравнение Ланжевена имеет вид:

$\frac{dx}{dt} = A(x) + \sqrt{2D}\,\xi(t), \qquad \langle \xi(t)\,\xi(t') \rangle = \delta(t - t').$

Каждое отдельное решение этого уравнения - изломанная случайная траектория. Но если усреднить по всем реализациям шума, плотность вероятности $p(x, t)$ подчиняется именно уравнению Фоккера-Планка с теми же $A(x)$ и $D$. Это два взгляда на одно явление: Ланжевен следит за одной частицей, Фоккер-Планк - за вероятностью по всему ансамблю. Поэтому в задачах их часто переводят друг в друга: из стохастического дифференциального уравнения выписывают коэффициенты и подставляют в уравнение для плотности.

Стационарное распределение

Самый частый вопрос в задачах - найти, к чему придёт система через долгое время. Стационарное распределение $p_\text{ст}(x)$ не зависит от времени, поэтому $\partial p / \partial t = 0$, а значит, поток вероятности постоянен. Для системы в ящике (поток на границах нулевой) это даёт $J = 0$, и уравнение интегрируется явно. Для линейного сноса $A(x) = -\theta\,(x - \mu)$ и постоянной диффузии $D$ это процесс Орнштейна-Уленбека, и стационарное распределение оказывается гауссовым:

$p_\text{ст}(x) = \sqrt{\frac{\theta}{2\pi D}}\;\exp\!\left(-\frac{\theta\,(x - \mu)^2}{2D}\right).$

Это гаусс с центром в точке равновесия $\mu$ и дисперсией $\sigma_\infty^2 = D/\theta$. Видно соревнование двух эффектов: чем сильнее снос $\theta$, тем уже стационарный пик (возврат подавляет разброс), а чем больше диффузия $D$, тем пик шире. В калькуляторе выше это видно сразу: подвигайте $\theta$ и $D$ и проследите, как меняется пунктирная стационарная кривая.

Как меняется распределение со временем

Для процесса Орнштейна-Уленбека уравнение Фоккера-Планка решается точно. Если в начальный момент частица была строго в точке $x_0$, то распределение в любой момент остаётся гауссовым, а меняются только его центр и ширина:

$m(t) = \mu + (x_0 - \mu)\,e^{-\theta t}, \qquad \sigma^2(t) = \frac{D}{\theta}\big(1 - e^{-2\theta t}\big).$

Среднее экспоненциально приближается к равновесию $\mu$ с характерным временем релаксации $\tau = 1/\theta$: за время $\tau$ начальное отклонение спадает в $e$ раз. Дисперсия стартует с нуля (частица точно в $x_0$) и растёт к стационарному значению $\sigma_\infty^2 = D/\theta$. В пределе $t \to \infty$ оба слагаемых выходят на постоянные значения, и распределение совпадает со стационарным $p_\text{ст}(x)$. Этот переходный процесс хорошо иллюстрирует правая диаграмма в калькуляторе: оранжевая линия среднего идёт к $\mu$, а голубой коридор $\pm\sigma$ расширяется до стационарной ширины.

Похожая логика встречается и в других уравнениях математической физики, где плотность или поле эволюционируют от начального условия к установившемуся виду - например, в волновом уравнении Даламбера.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку. Частица движется по процессу Орнштейна-Уленбека с коэффициентом сноса $\theta = 1$, коэффициентом диффузии $D = 0{,}5$ и положением равновесия $\mu = 0$. В начальный момент она находится строго в точке $x_0 = 3$. Нужно найти среднее и среднеквадратичное отклонение распределения в момент $t = 0{,}5$, а также стационарную ширину.

Сначала среднее. Оно смещается к равновесию экспоненциально:

$m(0{,}5) = 0 + (3 - 0)\,e^{-1 \cdot 0{,}5} = 3\,e^{-0{,}5} \approx 1{,}82.$

Центр облака за полвремени релаксации прошёл больше половины пути к нулю. Теперь дисперсия и СКО:

$\sigma^2(0{,}5) = \frac{0{,}5}{1}\big(1 - e^{-2 \cdot 0{,}5}\big) = 0{,}5\,(1 - e^{-1}) \approx 0{,}316, \qquad \sigma(0{,}5) \approx 0{,}56.$

Наконец, стационарная ширина, к которой облако придёт в пределе $t \to \infty$:

$\sigma_\infty = \sqrt{\frac{D}{\theta}} = \sqrt{\frac{0{,}5}{1}} \approx 0{,}71.$

То есть в момент $t = 0{,}5$ распределение ещё не достигло стационарной ширины ($0{,}56 < 0{,}71$) и продолжает расплываться, а его центр ещё не дошёл до равновесия. Время релаксации здесь $\tau = 1/\theta = 1$ - значит, заметная часть переходного процесса как раз приходится на $t \approx 0{,}5$. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: подставьте те же числа и сверьте среднее, СКО и стационарную ширину.

Частые ошибки

• Путают порядок производной в слагаемых. Снос входит с первой производной по $x$, диффузия - со второй. Если поставить вторую производную к сносу, размерность и смысл уравнения рушатся.
• Забывают про знак минус у сносового слагаемого. В стандартной форме перед $\partial_x[A\,p]$ стоит минус. Потеря знака даёт неустойчивое решение, которое разбегается вместо релаксации.
• Коэффициент диффузии путают с дисперсией. $D$ - это скорость роста разброса (множитель при второй производной), а $\sigma^2$ - сама дисперсия в данный момент. Связь между ними - результат решения, а не определение.
• Берут снос как силу, забывая про массу и трение. В пределе сильного трения снос пропорционален силе, делённой на коэффициент трения, а не самой силе. Это типичная ошибка при выводе из механики.
• Считают стационарное распределение для системы без возврата. Если сноса к равновесию нет (чистая диффузия), стационарного распределения на всей оси не существует - облако расплывается бесконечно.

FAQ

В чём разница между уравнением Фоккера-Планка и уравнением Ланжевена? Уравнение Ланжевена описывает одну случайную траекторию частицы со случайной силой, а уравнение Фоккера-Планка - эволюцию плотности вероятности по всему ансамблю траекторий. Это два эквивалентных описания одного процесса: из уравнения Ланжевена выводятся коэффициенты сноса и диффузии для уравнения Фоккера-Планка.

Почему уравнение Фоккера-Планка называют уравнением Колмогорова? В теории вероятностей то же уравнение известно как прямое уравнение Колмогорова: математики вывели его независимо при изучении марковских процессов. Содержание то же - эволюция плотности перехода во времени, отличается только традиция обозначений в физике и в математике.

Как из уравнения Фоккера-Планка получить стационарное распределение? Нужно положить производную по времени равной нулю и потребовать нулевой поток вероятности. Для линейного сноса это даёт гауссово распределение с дисперсией, равной отношению коэффициента диффузии к коэффициенту сноса.

Коротко

Уравнение Фоккера-Планка описывает эволюцию плотности вероятности $p(x, t)$ под действием сноса $A(x)$ (направленное смещение центра) и диффузии $D$ (расплывание): $\partial_t p = -\partial_x[A\,p] + \partial_x^2[D\,p]$. Оно эквивалентно уравнению Ланжевена для отдельной траектории, но смотрит на весь ансамбль. Для линейного сноса (процесс Орнштейна-Уленбека) решение остаётся гауссовым: среднее экспоненциально идёт к равновесию за время $\tau = 1/\theta$, а дисперсия выходит на стационарное значение $D/\theta$. Стационарное распределение получается приравниванием потока вероятности к нулю.