Угол между диагональю куба и плоскостью грани

Угол между диагональю куба и плоскостью грани - одна из самых частых задач школьной стереометрии, и почти всегда она решается одинаково: диагональ проецируют на грань, получают прямоугольный треугольник и берут тангенс. Удивительная особенность этой задачи в том, что ответ не зависит от размера куба: какой бы ни была длина ребра, угол всегда один и тот же, примерно $35{,}26^\circ$. Ниже разберём, что считать проекцией диагонали, как из неё собрать прямоугольный треугольник, как вывести формулу через тангенс и синус и почему длина ребра в ответ не входит. Чтобы сразу почувствовать, как меняются длины и остаётся неизменным угол, покрутите калькулятор ниже: он показывает и сам куб с диагональю, и собранный из неё треугольник.

Что такое угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью - это угол между самой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Иначе говоря, нужно «уронить» прямую на плоскость, опустив из её конца перпендикуляр, и измерить угол между исходной прямой и тенью, которую она отбрасывает. Этот угол всегда острый и лежит в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Для диагонали куба плоскостью служит одна из граней (обычно берут нижнюю - основание), а проекцией диагонали оказывается диагональ этой грани. Как только мы это поняли, задача из объёмной превращается в плоскую: всё дальнейшее происходит в одном прямоугольном треугольнике.

Рассчитать для своей задачи

Проекция диагонали и прямоугольный треугольник

Возьмём куб с ребром $a$ и вершинами основания $A$, $B$, $C$, $D$, а верхние вершины обозначим со штрихом. Рассмотрим диагональ $AC'$: она идёт из нижней вершины $A$ в противоположную верхнюю $C'$. Опустим из $C'$ перпендикуляр на основание - он попадёт ровно в вершину $C$. Значит, проекцией диагонали $AC'$ на нижнюю грань является отрезок $AC$, то есть диагональ грани.

Теперь рассмотрим треугольник $ACC'$. В нём:

• катет $AC$ - это проекция диагонали на грань, то есть диагональ квадрата со стороной $a$, равная $a\sqrt{2}$;
• катет $CC'$ - это вертикальное ребро куба, равное $a$;
• гипотенуза $AC'$ - сама диагональ куба, равная $a\sqrt{3}$.

Угол $\alpha$ между диагональю и плоскостью грани - это угол при вершине $A$, между гипотенузой $AC'$ и катетом $AC$. Прямой угол находится при вершине $C$, потому что ребро $CC'$ перпендикулярно основанию.

Рассчитать для своей задачи

На этой схеме видно, откуда берутся все три длины: горизонтальный катет - это след диагонали на грани, вертикальный - подъём на высоту куба, а гипотенуза соединяет противоположные вершины. Угол между гипотенузой и горизонтальным катетом и есть искомый угол.

Формула угла через тангенс

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Противолежащий углу $\alpha$ катет - это высота $CC' = a$, прилежащий - проекция $AC = a\sqrt{2}$. Значит:

$\tan\alpha = \frac{CC'}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ребро $a$ сократилось - именно поэтому угол не зависит от размера куба. Остаётся вычислить арктангенс:

$\alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 35{,}26^\circ.$

Это значение стоит просто запомнить: угол между диагональю любого куба и плоскостью его грани всегда примерно $35{,}26^\circ$ (точнее $35^\circ 15' 52''$). В радианах это около $0{,}615$.

Запись через синус и косинус

Тот же угол удобно выражать и через синус - особенно если по условию известна сама диагональ. Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin\alpha = \frac{CC'}{AC'} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$

Аналогично косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos\alpha = \frac{AC}{AC'} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}.$

Все три записи - $\tan\alpha = 1/\sqrt{2}$, $\sin\alpha = 1/\sqrt{3}$, $\cos\alpha = \sqrt{2/3}$ - описывают один и тот же угол. Какой из них использовать, зависит от того, какие отрезки заданы в условии: если известны высота и проекция, удобнее тангенс; если известны высота и диагональ - синус. Калькулятор выше показывает все длины разом, чтобы можно было проверить любую из этих формул.

Почему длина ребра не влияет на угол

Главный вывод задачи: угол между диагональю куба и плоскостью грани не зависит от длины ребра. Причина чисто геометрическая - при изменении ребра $a$ все три стороны треугольника $ACC'$ умножаются на один и тот же множитель, ведь они равны $a$, $a\sqrt{2}$ и $a\sqrt{3}$. Треугольник остаётся подобным самому себе, а у подобных треугольников все углы одинаковы.

Поэтому в ответе достаточно написать $\alpha = \arctan(1/\sqrt{2}) \approx 35{,}26^\circ$, и числовое значение ребра можно даже не подставлять. Если же в задаче просят ещё и длину диагонали, тогда ребро уже понадобится: например, при $a = 4$ см диагональ равна $4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ см, а угол по-прежнему $35{,}26^\circ$.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: ребро куба равно $a = 4$ см, нужно найти угол между диагональю куба и плоскостью основания, а заодно длину диагонали.

Сначала находим проекцию диагонали на основание - это диагональ нижней грани:

$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\ \text{см}.$

Высота, на которую поднимается диагональ, равна ребру: $CC' = a = 4$ см. Теперь записываем тангенс искомого угла и сразу видим, что ребро сокращается:

$\tan\alpha = \frac{CC'}{AC} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 35{,}26^\circ.$

Длину диагонали находим по формуле диагонали куба:

$AC' = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\ \text{см}.$

Проверка через синус: $\sin 35{,}26^\circ \approx 0{,}577$, и $a/(a\sqrt{3}) = 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577$ - совпадает. Ответ: угол примерно $35{,}26^\circ$, диагональ около $6{,}93$ см. Если поменять ребро в калькуляторе, угол останется тем же, а длины пересчитаются.

Частые ошибки

• Перепутана проекция диагонали. Проекцией диагонали куба на грань служит диагональ грани $a\sqrt{2}$, а не ребро $a$. Если взять ребро, получится угол с ребром, а не с плоскостью.
• В тангенс ставят диагональ вместо высоты. В числителе тангенса стоит высота $a$ (противолежащий катет), в знаменателе - проекция $a\sqrt{2}$. Подстановка диагонали $a\sqrt{3}$ даёт неверный угол.
• Угол с плоскостью путают с углом с ребром. Угол между диагональю и ребром куба - это другая задача с другим ответом; здесь речь именно об угле с плоскостью грани.
• Подстановка ребра в ответ. Угол от ребра не зависит, поэтому конкретное число $a$ в формулу угла подставлять не нужно - оно всё равно сократится.
• Округление синуса вместо угла. Удобнее оставить точную запись $\arctan(1/\sqrt{2})$ или $\arcsin(1/\sqrt{3})$ и округлить только итоговый угол до $35{,}26^\circ$.

FAQ

Чему равен угол между диагональю куба и плоскостью грани? Он равен $\arctan(1/\sqrt{2}) \approx 35{,}26^\circ$ (точнее $35^\circ 15' 52''$). Это значение одинаково для куба любого размера, потому что длина ребра в формуле тангенса сокращается.

Зависит ли этот угол от длины ребра куба? Нет. При изменении ребра все стороны прямоугольного треугольника умножаются на одно и то же число, треугольник остаётся подобным, а углы у подобных треугольников совпадают. Поэтому угол всегда около $35{,}26^\circ$.

Чем угол с гранью отличается от угла между диагональю и ребром? Угол с гранью измеряется между диагональю и её проекцией на плоскость грани и равен примерно $35{,}26^\circ$. Угол между диагональю куба и непересекающим её ребром - другая величина: там в основании другой прямоугольный треугольник, и ответ иной.

Коротко

Чтобы найти угол между диагональю куба и плоскостью грани, диагональ проецируют на грань: проекцией служит диагональ грани $a\sqrt{2}$, высотой - ребро $a$, гипотенузой - сама диагональ $a\sqrt{3}$. Тогда $\tan\alpha = 1/\sqrt{2}$, или $\sin\alpha = 1/\sqrt{3}$, и угол равен $\arctan(1/\sqrt{2}) \approx 35{,}26^\circ$. Этот угол не зависит от длины ребра, потому что прямоугольный треугольник при любом $a$ остаётся подобным самому себе.