Теорема Пифагора: нахождение катета по формуле

Теорема Пифагора - фундамент геометрии: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 + b^2 = c^2$. На практике чаще встречается задача в обратную сторону: гипотенуза $c$ и один катет $a$ известны, нужно найти второй катет $b$. Пользуйся калькулятором ниже, чтобы сразу получить ответ для своих чисел.

Формула нахождения катета

Из соотношения $a^2 + b^2 = c^2$ элементарно выражается любая из трёх сторон:

$$b = \sqrt{c^2 - a^2}, \quad a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Чтобы найти катет $b$: возведи гипотенузу и известный катет в квадрат, вычти меньшее из большего, извлеки корень. Порядок действий никогда не меняется.

Пример: гипотенуза $c = 13$, катет $a = 5$.

$$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Результат - «египетский» прямоугольный треугольник $5 : 12 : 13$ с целыми сторонами.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл формулы

Теорема Пифагора описывает площади: квадрат на гипотенузе по площади равен сумме квадратов на катетах. Найти катет - значит из «квадрата гипотенузы» вычесть «квадрат известного катета» и извлечь корень из полученной площади.

Именно поэтому обязательное условие корректности задачи: $c > a$ (иначе подкоренное выражение отрицательно и треугольник с такими сторонами не существует). Перед вычислением всегда проверяй, что гипотенуза строго больше каждого катета.

Рассчитать для своей задачи

Пифагоровы тройки

Существуют целочисленные наборы $(a, b, c)$, точно удовлетворяющие теореме Пифагора. Знание базовых троек экономит время на экзамене - не нужно извлекать иррациональный корень.

Любой кратный набор тоже является пифагоровой тройкой: $(6, 8, 10)$ - это $(3, 4, 5) \times 2$.

Нахождение катета в задачах на местности

Теорема Пифагора в прикладных задачах - прямоугольный треугольник нужно «увидеть» в условии.

Лестница у стены. Лестница длиной $c$ опирается о стену, её нижний конец на расстоянии $a$ от стены. Высота касания стены:

$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

Диагональ прямоугольника. Стороны прямоугольника $a$ и $b$, диагональ $c$. Найти сторону $b$ при известных $c$ и $a$ - та же формула.

Расстояние в координатах. Расстояние между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Катеты здесь - горизонтальный и вертикальный проекции отрезка.

Когда ответ иррациональный

Не каждая задача даёт целое число. Если $c = 7$, $a = 4$:

$$b = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33} \approx 5{,}74$$

В ЕГЭ и ОГЭ такой ответ оставляют в виде $\sqrt{33}$ - это точная запись. На практике (строительство, физика) вычисляют приблизительное значение с нужной точностью.

Связь с тригонометрией

Катет всегда можно выразить через гипотенузу и острый угол:

$$b = c \cdot \sin\alpha, \quad a = c \cdot \cos\alpha$$

Теорема Пифагора следует из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: умножь обе части на $c^2$ и получишь $a^2 + b^2 = c^2$. Оба подхода дают один результат - выбирай тот, для которого даны числовые данные.

Частые ошибки

• Складывают вместо вычитания. Формула для гипотенузы $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, для катета - $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. Знак операции зависит от того, что ищем.
• Не проверяют условие $c > a$. Если катет не меньше гипотенузы - задача не имеет решения, треугольник не существует.
• Подставляют не гипотенузу, а катет под $c$. Гипотенуза - сторона напротив прямого угла, всегда наибольшая.
• Округляют промежуточный результат под корнем. Сначала вычисли $c^2 - a^2$ точно, только потом извлекай корень и округляй.
• Теорема Пифагора не работает в общем треугольнике. Формула справедлива только для прямоугольного треугольника. В остальных используй теорему косинусов.

FAQ

Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику? Нет. Теорема верна только для прямоугольного треугольника (с прямым углом 90°). Для произвольного треугольника - теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.

Как найти катет, если дан только угол и гипотенуза? Используй тригонометрию: $b = c \cdot \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол, противолежащий катету $b$. Если угол $\beta$ - смежный с катетом $b$, то $b = c \cdot \cos\beta$. Теорему Пифагора применяй, когда известны две стороны.

Что значит «пифагорова тройка»? Три натуральных числа $(a, b, c)$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$. Классический пример - $(3, 4, 5)$: $9 + 16 = 25$. Существует бесконечное количество таких троек; они помогают решать задачи без вычисления корней.

Коротко

Найти катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: вычти квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеки корень - $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. Перед вычислением убедись, что гипотенуза строго больше каждого катета, а при иррациональном ответе оставляй его в виде квадратного корня для точности. Для целых ответов проверяй, не является ли задача пифагоровой тройкой.