Третий закон Кеплера: период орбиты через полуось

Третий закон Кеплера связывает период обращения планеты вокруг Солнца с размером её орбиты: чем дальше планета, тем медленнее она движется и тем длиннее её год. Этот закон называют гармоническим, потому что он выражает строгую пропорцию между $T^2$ и $a^3$ для всех тел одной планетной системы. Ниже вы найдёте вывод формулы, объяснение физического смысла и примеры расчётов. Попробуйте сначала поиграть с калькулятором ниже: задайте большую полуось и массу звезды, и период появится сразу.

Формулировка и запись третьего закона Кеплера

Третий закон Кеплера в классической формулировке: квадраты периодов обращения двух планет относятся как кубы их больших полуосей.

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$

Если в качестве единиц выбрать год и астрономическую единицу (среднее расстояние Земля - Солнце $\approx 1{,}496 \times 10^{11}$ м), формула принимает особенно чистый вид:

$T^2 = a^3, \quad T \text{ [лет]},\; a \text{ [а. е.]}$

Для Земли: $a = 1$ а. е., $T = 1$ год - оба равны единице, закон выполняется. Для Марса: $a = 1{,}524$ а. е., $T = 1{,}524^{3/2} \approx 1{,}881$ года - именно столько длится марсианский год. Для Юпитера: $a = 5{,}203$ а. е., $T \approx 11{,}86$ лет.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы из закона тяготения Ньютона

Кеплер получил закон эмпирически в 1619 году, опираясь на наблюдения Тихо Браге. Ньютон в 1687 году показал, почему он работает: закон тяготения $F = G M m / r^2$ вместе с условием равномерного кругового движения даёт точный вывод.

Для круговой орбиты радиуса $a$ (строго говоря, круговая орбита - частный случай эллиптической при $e = 0$) центростремительная сила равна гравитационной:

$\frac{m v^2}{a} = \frac{G M m}{a^2}$

Откуда скорость $v = \sqrt{GM / a}$. Период - это длина окружности, делённая на скорость:

$T = \frac{2\pi a}{v} = \frac{2\pi a}{\sqrt{GM/a}} = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$

Возведём в квадрат:

$\boxed{T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\, a^3}$

Множитель $4\pi^2 / (GM)$ постоянен для всей системы - отсюда и пропорциональность $T^2 \propto a^3$. В единицах СИ для Солнечной системы $G M_\odot = 1{,}327 \times 10^{20}$ м$^3/$с$^2$.

Что такое большая полуось орбиты

Реальные орбиты планет - не окружности, а эллипсы (первый закон Кеплера). Большая полуось $a$ - это половина наибольшего диаметра эллипса. Она связана с перигелием $r_\text{min}$ и афелием $r_\text{max}$ простым соотношением:

$a = \frac{r_\text{min} + r_\text{max}}{2}$

Для третьего закона важна именно $a$, а не расстояние в данный момент. Это удобно: не нужно знать, где сейчас находится планета, - достаточно одной характеристики орбиты.

Рассчитать для своей задачи

Эксцентриситет орбиты Земли $e \approx 0{,}017$ (почти круг), у Марса $e \approx 0{,}093$, у Меркурия $e \approx 0{,}206$. Для третьего закона это не важно: формула $T^2 = 4\pi^2 a^3 / (GM)$ справедлива для любого эллипса.

Обобщение на произвольную центральную массу

Если тело обращается не вокруг Солнца, а вокруг звезды другой массы $M$, формула остаётся прежней:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$

В единицах «лет / а. е. / масс Солнца» она принимает удобный вид:

$T \, [\text{лет}] = \frac{a^{3/2} \, [\text{а. е.}]}{\sqrt{M \, [M_\odot]}}$

Звезда в 4 раза тяжелее Солнца даёт в 2 раза меньший период при той же полуоси. Именно это уравнение вычисляет калькулятор выше.

Тот же закон применяют к спутникам планет. Для системы Земля - Луна: $G M_\oplus = 3{,}986 \times 10^{14}$ м$^3/$с$^2$, $a_\text{Луна} \approx 3{,}844 \times 10^8$ м, что даёт $T \approx 27{,}3$ суток - точное значение сидерического месяца.

Третий закон и орбитальная скорость

Из вывода выше следует: орбитальная скорость убывает с расстоянием как $v \propto a^{-1/2}$:

$v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$

Земля движется со скоростью $\approx 29{,}78$ км/с, Марс - $\approx 24{,}13$ км/с, Юпитер - $\approx 13{,}07$ км/с. Именно потому, что дальние планеты движутся медленнее по более длинным орбитам, их годы несравнимо длиннее земного.

Как решать задачи на третий закон Кеплера

Метод отношений - самый быстрый способ, когда дано сравнение двух тел одной системы. Если известен период одной планеты $T_1$ и её полуось $a_1$, а надо найти период второй с полуосью $a_2$:

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$

Пример: полуось орбиты Урана $a = 19{,}19$ а. е. Период: $T = 19{,}19^{3/2} \approx 84{,}0$ лет.

Формула через $G$ и $M$ - когда тело обращается вокруг тела с известной массой (спутник, экзопланета), и нужны единицы СИ. Алгоритм: подставить $G$, $M$, $a$ в метрах - получить $T$ в секундах.

Обратная задача - найти полуось по периоду: $a = (T^2)^{1/3}$ в единицах а. е./лет (при $M = M_\odot$).

Частые ошибки

• Смешивание единиц. Формула $T^2 = a^3$ работает только в годах и а. е. (и только для Солнечной системы). Для расчётов в СИ надо подставлять $G$, $M$, $a$ в метрах и получать секунды.
• Пропуск квадратного корня. Из $T^2 = a^3$ следует $T = a^{3/2}$, а не $T = a^3$. Типичная ошибка: взять куб вместо $3/2$-й степени.
• Забытый корень из массы. При переходе к другой звезде: $T \propto 1/\sqrt{M}$. Если масса в 4 раза больше, период в 2 раза меньше, а не в 4.
• Большая полуось vs текущее расстояние. Для третьего закона нужна $a$, а не мгновенное расстояние до Солнца в перигелии или афелии.
• Эксцентриситет в формуле. Эксцентриситет орбиты не входит в третий закон Кеплера. Период определяется только полуосью и массой центрального тела.

FAQ

Почему закон называют гармоническим? Потому что он устанавливает «гармонию» - строгую числовую пропорцию - между характеристиками орбит всех тел одной системы. Именно этот термин использовал сам Кеплер, находившийся под влиянием пифагорейской идеи о музыке сфер.

Выполняется ли третий закон для спутников планет? Да, но константа в формуле другая: $4\pi^2 / (G M_\text{планеты})$. Период $\propto a^{3/2}$ сохраняется, но теперь $M$ - масса планеты, а не Солнца. Луна и все искусственные спутники Земли подчиняются этому же закону.

Что значит, что зависимость линейная на графике $T^2$ vs $a^3$? В координатах $T^2 = f(a^3)$ все планеты одной системы лежат на прямой, проходящей через начало координат. Наклон прямой равен $4\pi^2 / (GM)$. Отклонение точки от прямой означало бы, что на неё действует дополнительная сила, не предусмотренная законом тяготения. Именно таким способом в XIX веке поняли, что на Уран влияет неизвестная планета, - это привело к открытию Нептуна.

Коротко

Третий закон Кеплера $T^2 = 4\pi^2 a^3 / (GM)$ связывает период обращения любого тела с большой полуосью его орбиты и массой центрального объекта. В единицах лет и а. е. для Солнечной системы он принимает вид $T^2 = a^3$. Закон выводится из ньютоновского тяготения, работает для любой центральной массы и не зависит от эксцентриситета орбиты. Главная практическая ценность: зная полуось, мгновенно находим период - и наоборот.