Теорема о свёртке Лапласа: образ произведения и оригинал

Теорема о свёртке Лапласа - это правило, которое связывает произведение двух образов с одной операцией над оригиналами: свёрткой. Звучит просто, но именно она превращает многие задачи операционного исчисления в работу с таблицей. Если вы умеете перемножать образы $F(s)$ и $G(s)$, то по теореме о свёртке вы автоматически знаете оригинал их произведения - это свёртка $f(t)$ и $g(t)$. Это закрывает целый класс задач: восстановление оригинала без разложения на простые дроби и решение интегральных уравнений свёрточного типа.

Если вам нужен разбор конкретной свёртки или поиск оригинала по образу - впишите задачу в форму ниже, и решение соберётся по шагам.

Что такое свёртка функций

Свёрткой двух функций $f(t)$ и $g(t)$, заданных при $t \ge 0$, называют интеграл

$$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau.$$

Это новая функция от $t$: чтобы получить её значение в точке $t$, мы «скользим» одной функцией по другой, перемножаем их со сдвигом и складываем результат по всему отрезку от $0$ до $t$. Пределы интегрирования именно такие, потому что обе функции считаются нулевыми при отрицательном аргументе (умножены на функцию Хевисайда). Свёртка коммутативна: $f * g = g * f$ - это видно после замены $\tau \to t - \tau$, и часто бывает удобно поменять функции местами, чтобы интеграл считался проще.

Рассчитать для своей задачи

Формулировка теоремы о свёртке

Теорема о свёртке Лапласа утверждает: образ свёртки двух оригиналов равен произведению их образов. Если $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ и $\mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)$, то

$$\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s)\,G(s).$$

В этом вся сила метода: сложная операция над функциями времени (интеграл свёртки) в пространстве образов превращается в обычное умножение. Поэтому теорему о свёртке часто называют ещё теоремой умножения - она встаёт в один ряд с остальными свойствами преобразования Лапласа, где дифференцирование переходит в умножение на $s$, а интегрирование - в деление.

Обратное прочтение не менее важно: если образ удалось записать как произведение $F(s)\,G(s)$ двух известных образов, то оригинал - это свёртка соответствующих функций. Именно так теорема работает «налево», для поиска оригинала.

Доказательство

Запишем образ свёртки по определению преобразования Лапласа и подставим интеграл свёртки:

$$\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} \left( \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau \right) dt.$$

Это двойной интеграл по области $0 \le \tau \le t < \infty$. Поменяем порядок интегрирования: для фиксированного $\tau$ внешняя переменная $t$ пробегает от $\tau$ до $\infty$. Получаем

$$\int_0^\infty f(\tau) \left( \int_\tau^\infty e^{-st}\,g(t - \tau)\,dt \right) d\tau.$$

Во внутреннем интеграле сделаем замену $u = t - \tau$, тогда $dt = du$ и $e^{-st} = e^{-s\tau}\,e^{-su}$:

$$\int_0^\infty f(\tau)\,e^{-s\tau} \left( \int_0^\infty e^{-su}\,g(u)\,du \right) d\tau = G(s)\int_0^\infty f(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau = F(s)\,G(s).$$

Перестановка порядка интегрирования законна, когда оба оригинала имеют ограниченный показатель роста и образы сходятся в общей правой полуплоскости - стандартные условия для функций-оригиналов. На этом доказательство завершено.

Рассчитать для своей задачи

Как искать оригинал по образу

Главное практическое применение - обратное преобразование без разложения на простые дроби. Пусть нужно найти оригинал образа

$$F(s) = \frac{1}{s^2\,(s + 1)}.$$

Запишем его как произведение двух табличных образов: $\dfrac{1}{s^2}$ - образ функции $t$, а $\dfrac{1}{s+1}$ - образ функции $e^{-t}$. По теореме о свёртке оригинал равен их свёртке:

$$f(t) = t * e^{-t} = \int_0^t \tau\,e^{-(t - \tau)}\,d\tau = e^{-t}\int_0^t \tau\,e^{\tau}\,d\tau.$$

Интеграл $\int_0^t \tau\,e^{\tau}\,d\tau = (t - 1)e^{t} + 1$ (берётся по частям), поэтому

$$f(t) = e^{-t}\big[(t - 1)e^{t} + 1\big] = t - 1 + e^{-t}.$$

Тот же ответ даёт разложение на простые дроби, но через свёртку мы избежали поиска коэффициентов - особенно это выгодно, когда один из множителей не раскладывается элементарно. Метод хорошо дополняет операционный подход к дифференциальным уравнениям, где образ решения как раз часто получается в виде произведения.

Решение интегральных уравнений

Теорема о свёртке - основной инструмент для уравнений Вольтерра свёрточного типа, где неизвестная функция стоит под интегралом свёртки. Рассмотрим уравнение

$$y(t) = t + \int_0^t (t - \tau)\,y(\tau)\,d\tau.$$

Интеграл справа - это свёртка $y(t)$ с функцией $t$, то есть $t * y$. Применим преобразование Лапласа ко всему уравнению. Образ $t$ равен $1/s^2$, а образ свёртки по теореме равен $\dfrac{1}{s^2}\,Y(s)$:

$$Y(s) = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^2}\,Y(s).$$

Это уже алгебраическое уравнение относительно $Y(s)$. Решаем:

$$Y(s)\left(1 - \frac{1}{s^2}\right) = \frac{1}{s^2} \quad\Rightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s^2 - 1}.$$

Оригинал образа $\dfrac{1}{s^2 - 1}$ - это $\sinh t$. Значит, $y(t) = \sinh t$. Интегральное уравнение свелось к одной алгебраической строке именно благодаря тому, что свёртка перешла в произведение.

Связь с импульсной характеристикой

В теории линейных систем свёртка имеет прямой физический смысл. Если система с импульсной характеристикой $h(t)$ получает вход $x(t)$, то выход равен свёртке: $y(t) = (h * x)(t)$. В образах это значит $Y(s) = H(s)\,X(s)$, где $H(s)$ - передаточная функция. Теорема о свёртке тут объясняет, почему передаточная функция полностью описывает систему: реакция на любой вход - это просто умножение спектров. Поэтому инженеры работают именно в области образов, а во временную область возвращаются через обратную свёртку только на финальном шаге.

Частые ошибки

• Путают свёртку с обычным произведением. Образ произведения $f(t)\,g(t)$ - это НЕ $F(s)\,G(s)$, а свёртка образов в комплексной плоскости. Произведению образов соответствует именно свёртка оригиналов, а не их произведение.
• Теряют пределы интегрирования. В свёртке оригиналов интеграл идёт от $0$ до $t$, а не от $-\infty$ до $\infty$ - функции считаются нулевыми при отрицательном аргументе.
• Забывают сдвиг аргумента. В интеграле $\int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$ именно вторая функция берётся со сдвигом $t - \tau$; типичная ошибка - написать $g(\tau)$.
• Применяют теорему к функциям без оригинала. Обе функции должны быть оригиналами (равны нулю при $t < 0$, ограниченный рост) - иначе образы не определены и произведение бессмысленно.
• Считают свёртку некоммутативной. $f * g = g * f$ всегда; если интеграл с одним порядком функций берётся тяжело, можно смело поменять их местами.

FAQ

Чем теорема о свёртке отличается от теоремы умножения? Это одно и то же. «Теорема умножения» подчёркивает, что произведению образов отвечает свёртка оригиналов; «теорема о свёртке» подчёркивает обратное - что образ свёртки есть произведение образов. Формула $\mathcal{L}\{f * g\} = F(s)\,G(s)$ работает в обе стороны.

Можно ли через свёртку найти любой обратный образ? Нет, только когда образ удаётся представить как произведение двух образов с известными оригиналами. Если такого разложения не видно, обычно проще разложение на простые дроби. На практике методы дополняют друг друга, и выбор зависит от вида $F(s)$.

Зачем нужна свёртка, если есть простые дроби? Свёртка не требует искать коэффициенты разложения и хорошо работает, когда один множитель не раскладывается элементарно или повторяется. Кроме того, в интегральных уравнениях и теории систем свёртка - единственный естественный способ записать ответ.

Коротко

Теорема о свёртке Лапласа говорит, что образ свёртки двух оригиналов равен произведению их образов: $\mathcal{L}\{f * g\} = F(s)\,G(s)$. Свёртка $(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$ - это операция «скольжения» одной функции по другой. Теорема позволяет восстанавливать оригинал по произведению образов без разложения на простые дроби и сводить интегральные уравнения Вольтерра к алгебре. Доказывается перестановкой порядка интегрирования в двойном интеграле и заменой переменной.