Собственная концентрация носителей полупроводника

Собственная концентрация носителей полупроводника $n_i$ - это число электронов в зоне проводимости (или равное ему число дырок в валентной зоне), возникающих в чистом полупроводнике за счёт теплового заброса электронов через запрещённую зону. Именно $n_i$ определяет, насколько хорошо собственный полупроводник проводит ток при данной температуре, и служит отправной точкой для расчёта легированных материалов. Главное в этой величине - экспоненциальная зависимость от температуры и ширины запрещённой зоны: небольшое изменение $T$ или $E_g$ меняет $n_i$ в разы. Чтобы сразу почувствовать эту чувствительность, покрути калькулятор ниже: он считает $n_i$ для кремния, германия и арсенида галлия, строит аррениусов график и сравнивает материалы между собой, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое собственная концентрация носителей

В идеальном кристалле полупроводника при температуре абсолютного нуля все электроны связаны в валентной зоне, и свободных носителей нет - материал ведёт себя как изолятор. При нагреве тепловые колебания решётки случайно передают отдельным электронам энергию, достаточную, чтобы перепрыгнуть запрещённую зону шириной $E_g$ и оказаться в зоне проводимости. Каждый такой электрон оставляет за собой дырку - вакантное состояние в валентной зоне, которое ведёт себя как положительный носитель.

В собственном (нелегированном) полупроводнике электроны и дырки рождаются строго парами, поэтому их концентрации равны и обозначаются одной буквой:

$n = p = n_i.$

Эта величина и называется собственной концентрацией носителей. Она не зависит от наличия примесей - это характеристика самого материала при данной температуре.

Рассчитать для своей задачи

Формула собственной концентрации

Полное выражение для собственной концентрации получают, интегрируя плотность состояний с распределением Ферми. Результат - произведение корня из эффективных плотностей состояний в зоне проводимости $N_c$ и валентной зоне $N_v$ на больцмановский множитель:

$n_i = \sqrt{N_c N_v}\; e^{-E_g/(2kT)},$

где $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура, $E_g$ - ширина запрещённой зоны. Сами плотности состояний зависят от температуры степенным образом:

$N_c = 2\left(\frac{2\pi m_e^{*} kT}{h^2}\right)^{3/2}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_h^{*} kT}{h^2}\right)^{3/2},$

где $m_e^{*}$ и $m_h^{*}$ - эффективные массы электрона и дырки, $h$ - постоянная Планка. Поскольку и $N_c$, и $N_v$ растут как $T^{3/2}$, удобно свернуть все постоянные множители в один коэффициент $A$ и записать рабочую формулу:

$n_i = A\, T^{3/2}\, e^{-E_g/(2kT)}.$

Здесь предэкспоненциальный множитель $A\,T^{3/2}$ меняется медленно, а всё «поведение» концентрации задаёт экспонента. Показатель $E_g/(2kT)$ для кремния при комнатной температуре равен примерно 21,7 - то есть концентрация подавлена множителем $e^{-21{,}7}$. Именно поэтому собственная концентрация полупроводников на много порядков меньше концентрации носителей в металлах.

Рассчитать для своей задачи

Если прологарифмировать формулу, получится почти линейная зависимость $\ln n_i$ от $1/T$ с наклоном $-E_g/(2k)$ - отсюда и удобство аррениусова графика: по наклону прямой прямо определяют ширину запрещённой зоны экспериментально.

Расчёт для кремния и германия

Подставим в формулу типичные числа. Для кремния ($E_g = 1{,}12$ эВ) при комнатной температуре $T = 300$ К собственная концентрация составляет около

$n_i^{\text{Si}} \approx 1{,}0 \cdot 10^{10}\ \text{см}^{-3}.$

Для германия ширина запрещённой зоны заметно меньше ($E_g = 0{,}66$ эВ), поэтому больцмановский множитель подавляет концентрацию слабее, и при тех же 300 К:

$n_i^{\text{Ge}} \approx 2{,}4 \cdot 10^{13}\ \text{см}^{-3}.$

Разница больше трёх порядков объясняется исключительно разностью $E_g$: германий «дешевле» забрасывает электроны через узкую зону. У арсенида галлия зона шире ($E_g = 1{,}42$ эВ), и собственная концентрация падает до $n_i^{\text{GaAs}} \approx 2{,}1 \cdot 10^{6}\ \text{см}^{-3}$ - это делает GaAs удобным для приборов с малыми токами утечки. Эту же тройку материалов сравнивают столбики в калькуляторе: переключи температуру и увидишь, как разрыв между ними сжимается при нагреве.

Зависимость от температуры

Главная особенность собственной концентрации - её крутой рост с температурой. Показатель экспоненты $E_g/(2kT)$ уменьшается при нагреве, и величина $n_i$ растёт очень быстро. Для кремния нагрев всего от 300 до 350 К увеличивает концентрацию примерно в 28 раз, а от 300 до 400 К - более чем в 300 раз:

$\frac{n_i(T_2)}{n_i(T_1)} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2} \exp\!\left[\frac{E_g}{2k}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)\right].$

Степенной множитель $(T_2/T_1)^{3/2}$ здесь вносит лишь небольшой вклад - основной рост даёт экспонента. Этот эффект имеет прямое практическое значение: при нагреве собственная концентрация в легированном полупроводнике может превысить концентрацию примесных носителей, и прибор теряет управляемость. Так задаётся верхняя рабочая температура: у германия (узкая зона) она ниже, чем у кремния, а у GaAs и карбида кремния - выше.

Рассчитать для своей задачи

Связь с уровнем Ферми и законом действующих масс

Из выражения для $n_i$ вытекает один из центральных результатов физики полупроводников - закон действующих масс:

$n \cdot p = n_i^2,$

справедливый и для легированного материала в равновесии. Он означает, что произведение концентраций электронов и дырок при данной температуре постоянно и равно квадрату собственной концентрации. Если донорное легирование увеличивает $n$, то $p$ автоматически падает так, чтобы произведение осталось равным $n_i^2$. Поэтому собственная концентрация - это не только характеристика чистого материала, но и масштаб, к которому привязаны все равновесные концентрации в легированных структурах. Уровень Ферми собственного полупроводника лежит почти посередине запрещённой зоны, слегка смещаясь из-за разницы эффективных масс электронов и дырок. Это смещение невелико, поэтому в большинстве учебных задач уровень Ферми собственного материала считают совпадающим с серединой зоны, а отсчёт энергий ведут именно от него.

Практический смысл такой связки прост. Зная собственную концентрацию и одну из примесных концентраций, по закону действующих масс сразу находят вторую: например, в донорном кремнии с концентрацией электронов $n = 10^{16}$ см⁻³ концентрация дырок равна $p = n_i^2 / n \approx 10^{4}$ см⁻³ - на двенадцать порядков меньше. Поэтому величина $n_i$ нужна не только для чистого материала, но и в любом расчёте легированной структуры, диода или транзистора.

Частые ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия. В показателе $E_g/(2kT)$ температура только абсолютная. Перед расчётом переводи градусы в кельвины: $T_K = t_{°C} + 273$.
• Несогласованные единицы $E_g$ и $k$. Если $E_g$ в электронвольтах, бери $k = 8{,}617\cdot10^{-5}$ эВ/К; если в джоулях, то $k = 1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К. Смешивать нельзя.
• Двойка в показателе. В экспоненте стоит $E_g/(2kT)$, а не $E_g/(kT)$: множитель порождается тем, что уровень Ферми лежит посередине зоны. Забытая двойка завышает показатель вдвое и занижает $n_i$ на порядки.
• Игнорирование предэкспоненты $T^{3/2}$. Для грубой оценки экспоненты достаточно, но при сравнении концентраций при разных температурах множитель $T^{3/2}$ учитывать нужно.
• Путаница $n_i$ и концентрации примесей. Собственная концентрация - характеристика чистого материала; в легированном полупроводнике она задаёт лишь нижний фон и проявляется при высоких температурах.

FAQ

Чему равна собственная концентрация носителей в кремнии при 300 К? Около $1{,}0 \cdot 10^{10}$ см⁻³. Это стандартное справочное значение при ширине запрещённой зоны 1,12 эВ и комнатной температуре. У германия при тех же условиях она больше трёх порядков выше из-за более узкой зоны.

Почему собственная концентрация так сильно зависит от температуры? Потому что температура стоит в показателе экспоненты $e^{-E_g/(2kT)}$. Уменьшение показателя при нагреве даёт экспоненциальный рост, а не линейный. Степенной множитель $T^{3/2}$ добавляет лишь небольшую поправку.

Как ширина запрещённой зоны влияет на собственную концентрацию? Чем шире запрещённая зона, тем сильнее подавлен больцмановский множитель и тем меньше $n_i$. Поэтому у материалов с широкой зоной (GaAs, SiC) собственная концентрация мала, а токи утечки и тепловая генерация ниже.

Коротко

Собственная концентрация носителей полупроводника $n_i$ - это равное число электронов и дырок, рождаемых тепловым забросом через запрещённую зону в чистом материале. Она считается по формуле $n_i = A\,T^{3/2}e^{-E_g/(2kT)}$ и экспоненциально зависит от температуры и ширины зоны: для кремния при 300 К это около $10^{10}$ см⁻³, для германия - на три порядка больше. Через закон действующих масс $np = n_i^2$ эта величина задаёт масштаб концентраций и в легированных полупроводниках.