Системы дифференциальных уравнений: операционный метод

Когда уравнения в системе связаны друг с другом - производная $x$ зависит от $y$, а производная $y$ от $x$, - классические приёмы вроде исключения переменной быстро превращаются в громоздкие выкладки. Операционный метод снимает эту связность: каждое уравнение системы переходит в алгебраическое относительно изображений, и вся задача Коши сводится к решению линейной системы относительно $X(p)$ и $Y(p)$. Ниже разберём весь путь - от записи изображений до возврата к оригиналам - и соберём запрос на разбор вашей конкретной системы.

Что такое операционный метод для системы

Операционный метод (операционное исчисление) основан на преобразовании Лапласа: функции-оригиналу $x(t)$ ставится в соответствие функция-изображение

$$X(p) = \int_0^{\infty} x(t)\, e^{-pt}\, dt.$$

Ключевое свойство, ради которого всё затевается, - изображение производной. Для функции с начальным значением $x(0)$ оно равно

$$x'(t) \;\longrightarrow\; p\,X(p) - x(0).$$

Дифференцирование в пространстве оригиналов превращается в умножение на $p$ в пространстве изображений. Именно это убирает производные из уравнений: система дифференциальных уравнений становится системой линейных алгебраических уравнений. Начальные условия при этом не «прикручиваются» в конце, как в методе характеристического уравнения, а входят в выкладки сразу - это одно из главных удобств метода. Если вы решаете одиночное уравнение, логика та же - см. разбор в статье про операционный метод решения дифференциального уравнения.

Рассчитать для своей задачи

Алгоритм решения системы по шагам

Разберём типовую систему двух уравнений первого порядка с искомыми $x(t)$ и $y(t)$. Алгоритм состоит из четырёх шагов.

1. Перейти к изображениям. Каждое уравнение системы заменяем его лапласовым образом, используя формулу производной с начальными условиями $x(0)$ и $y(0)$. Производные исчезают, остаются $X(p)$ и $Y(p)$.
2. Собрать алгебраическую систему. Группируем слагаемые так, чтобы получить линейную систему относительно неизвестных $X(p)$ и $Y(p)$. Коэффициенты при них - многочлены от $p$.
3. Решить систему изображений. Находим $X(p)$ и $Y(p)$ - подстановкой, исключением или по правилу Крамера через определители.
4. Вернуться к оригиналам. Каждое изображение раскладываем на простейшие дроби и по таблице соответствий находим оригиналы $x(t)$ и $y(t)$.

Главное отличие от одиночного уравнения - на втором и третьем шаге мы работаем не с одним выражением, а со связанной системой относительно нескольких изображений. Дальше всё сводится к технике линейной алгебры.

Переход к системе в изображениях

Возьмём конкретный пример - простейшую связанную систему

$$\begin{aligned} x'(t) &= y(t),\\ y'(t) &= -x(t), \end{aligned}$$

с начальными условиями $x(0) = 1$, $y(0) = 0$. Применяя формулу изображения производной к обоим уравнениям, получаем

$$\begin{aligned} p\,X(p) - 1 &= Y(p),\\ p\,Y(p) - 0 &= -X(p). \end{aligned}$$

Производных больше нет. Перенесём всё с неизвестными изображениями влево:

$$\begin{aligned} p\,X(p) - Y(p) &= 1,\\ X(p) + p\,Y(p) &= 0. \end{aligned}$$

Это уже система двух линейных уравнений с двумя неизвестными $X(p)$ и $Y(p)$. Заметьте: начальное условие $x(0) = 1$ перешло в правую часть первого уравнения автоматически. Тип правой части исходной системы (постоянная, синус, экспонента, импульс) влияет только на вид правых частей в изображениях - техника решения не меняется. Если правые части разрывные, удобно вспомнить преобразование Лапласа производной и теорему запаздывания.

Правило Крамера и матричная запись

Систему в изображениях удобно записать в матричном виде. Для нашего примера это

$$\begin{pmatrix} p & -1 \\ 1 & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X(p) \\ Y(p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

Определитель системы - это многочлен от $p$:

$$\Delta(p) = \begin{vmatrix} p & -1 \\ 1 & p \end{vmatrix} = p^2 + 1.$$

По правилу Крамера каждое изображение равно отношению вспомогательного определителя к главному. Заменяя соответствующий столбец на правую часть, получаем

$$X(p) = \frac{\Delta_1(p)}{\Delta(p)} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & p \end{vmatrix}}{p^2 + 1} = \frac{p}{p^2 + 1}, \qquad Y(p) = \frac{\Delta_2(p)}{\Delta(p)} = \frac{\begin{vmatrix} p & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}}{p^2 + 1} = \frac{-1}{p^2 + 1}.$$

Матричная запись особенно выручает в системах из трёх и более уравнений: вместо громоздкого исключения переменных вы выписываете определители и сразу получаете каждое изображение.

Рассчитать для своей задачи

Обратное преобразование к оригиналам

Остаётся последний шаг - прочитать оригиналы из таблицы соответствий. Для нашего примера изображения уже имеют табличный вид:

$$X(p) = \frac{p}{p^2 + 1} \;\longrightarrow\; x(t) = \cos t, \qquad Y(p) = \frac{-1}{p^2 + 1} \;\longrightarrow\; y(t) = -\sin t.$$

Проверка начальных условий мгновенная: $x(0) = \cos 0 = 1$ и $y(0) = -\sin 0 = 0$ - совпадает с условием. Это решение описывает вращение по окружности, что неудивительно: система $x' = y$, $y' = -x$ - каноническая модель гармонических колебаний.

Когда изображение не сводится к табличному сразу, его раскладывают на простейшие дроби. Если знаменатель $\Delta(p)$ имеет комплексные корни, в оригинале появляются синусы и косинусы; кратные вещественные корни дают множители вида $t\,e^{at}$. Подробнее о технике разложения - в материале про преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения.

Неоднородные системы и разрывные правые части

Если в правых частях системы стоят функции времени - экспоненты, синусы, ступеньки, - алгоритм не меняется, добавляется лишь работа с их изображениями. Например, правая часть $e^{at}$ даёт в изображении слагаемое $\dfrac{1}{p - a}$, а синус $\sin\omega t$ - слагаемое $\dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$. Эти члены попадают в правую часть алгебраической системы, и дальше всё идёт привычным порядком.

Разрывные правые части (включение источника в момент $t = \tau$) описываются функцией Хевисайда $\eta(t - \tau)$, а её сдвиг учитывается теоремой запаздывания: множитель $e^{-\tau p}$ в изображении соответствует задержке оригинала. Именно на таких задачах операционный метод обыгрывает классические приёмы - там, где подбор частного решения по виду правой части был бы громоздким, изображение остаётся простой дробью.

Когда операционный метод удобнее классического

Метод исключения переменных и метод собственных значений матрицы тоже решают линейные системы, но операционный подход выигрывает в нескольких ситуациях. Во-первых, когда заданы начальные условия - они входят в решение сразу, без отдельного этапа подбора констант. Во-вторых, когда правые части разрывны или импульсны - функция Хевисайда и дельта-функция в изображениях работают так же гладко, как и непрерывные функции. В-третьих, когда система велика: матричная запись с определителями масштабируется лучше последовательного исключения.

Минус один: нужна таблица соответствий и навык разложения на простейшие дроби. Но это техника, а не идея, и она быстро автоматизируется.

Частые ошибки

• Забыли начальное значение в изображении производной. Формула $x' \to p\,X(p) - x(0)$ требует именно $x(0)$ для каждой функции отдельно; пропуск $y(0)$ во втором уравнении ломает всю систему.
• Перепутали столбцы в правиле Крамера. Для $X(p)$ на правую часть заменяется первый столбец, для $Y(p)$ - второй. Замена не того столбца даёт неверное изображение.
• Не привели систему к стандартному виду. Перед составлением определителя все неизвестные изображения должны быть слева, свободные члены - справа.
• Оставили ответ в изображениях. Решение задачи - это оригиналы $x(t)$, $y(t)$, а не $X(p)$, $Y(p)$. Последний шаг - обратное преобразование - обязателен.
• Ошиблись со знаком определителя. $\Delta(p)$ - многочлен от $p$, и именно его корни определяют характер решения; потеря знака меняет тип корней и весь оригинал.

FAQ

Чем решение системы отличается от решения одного уравнения? Принцип тот же - переход к изображениям и обратно, - но на промежуточном шаге вы получаете не одно алгебраическое уравнение, а систему относительно нескольких изображений $X(p)$, $Y(p)$. Её решают подстановкой или по правилу Крамера.

Можно ли решать так системы из трёх и более уравнений? Да, метод не ограничен по размеру. Для трёх уравнений получится матрица $3\times 3$ и определитель третьего порядка; правило Крамера и обратное преобразование работают точно так же, просто выкладок больше.

Что делать, если начальные условия не заданы? Тогда задача не является задачей Коши, и в ответе останутся произвольные постоянные. На практике в изображении начальные значения $x(0)$, $y(0)$ оставляют как символы и подставляют в финальный оригинал - он будет зависеть от них как от параметров.

Коротко

Операционный метод решает систему дифференциальных уравнений в четыре шага: перевод каждого уравнения в изображение по формуле производной с начальными условиями, сборка линейной алгебраической системы относительно $X(p)$ и $Y(p)$, её решение (удобнее всего по правилу Крамера через определители) и обратное преобразование к оригиналам $x(t)$, $y(t)$. Связность уравнений, разрывные правые части и заданные начальные условия - именно те случаи, где этот метод обыгрывает классические приёмы.