Расчёт разветвлённой цепи постоянного тока

Разветвлённая цепь постоянного тока - это цепь с несколькими параллельными ветвями, через каждую из которых течёт отдельный ток. В отличие от последовательного соединения, здесь напряжение на всех ветвях одинаково, а суммарный ток источника делится между ними обратно пропорционально сопротивлениям. Именно этот принцип лежит в основе бытовых сетей, схем питания электронных устройств и любых параллельных нагрузок. Чтобы рассчитать такую цепь, нужно последовательно применить закон Ома и правила Кирхгофа. Попробуй калькулятор ниже: он мгновенно покажет токи всех ветвей, напряжение на зажимах и мощности при любых значениях сопротивлений.

Схема разветвлённой цепи и обозначения

Рассмотрим типовую схему: источник ЭДС $\varepsilon$ с внутренним сопротивлением $r$ питает три параллельных резистора $R_1$, $R_2$, $R_3$. Точки, где ветви сходятся, называются узлами. В нашей схеме два узла - A (верхний) и B (нижний); весь параллельный блок подключён между ними.

Рассчитать для своей задачи

Ток источника $I$ - это суммарный ток, который поступает в узел A. Он делится на $I_1$, $I_2$ и $I_3$ в зависимости от сопротивлений ветвей, а в узле B сливается обратно. Именно это описывает первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Принципиальное отличие параллельной цепи от последовательной: здесь напряжение на каждом резисторе одно и то же и равно напряжению $U$ на зажимах источника. Это прямое следствие того, что все резисторы подключены между одними и теми же узлами.

Алгоритм расчёта: от ЭДС к токам ветвей

Расчёт ведётся в строгой последовательности - каждый шаг опирается на результат предыдущего.

Шаг 1. Найти параллельное сопротивление ветвей.

Для $n$ параллельных резисторов:

$$\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

Для трёх резисторов в явном виде:

$$R_{\text{пар}} = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$$

Параллельное соединение всегда даёт сопротивление меньше наименьшего из резисторов - это важный критерий проверки правильности расчёта.

Шаг 2. Найти полное сопротивление цепи.

К параллельному блоку добавляется внутреннее сопротивление источника:

$$R_{\text{полн}} = r + R_{\text{пар}}$$

Шаг 3. Ток источника по закону Ома для полной цепи.

$$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{полн}}} = \frac{\varepsilon}{r + R_{\text{пар}}}$$

Шаг 4. Напряжение на зажимах источника.

Два эквивалентных способа вычислить одно и то же:

$$U = \varepsilon - I \cdot r = I \cdot R_{\text{пар}}$$

Первая формула - падение напряжения на внутреннем сопротивлении «съедает» часть ЭДС. Вторая - напряжение создаётся током на параллельном блоке.

Шаг 5. Токи ветвей.

Раз напряжение на каждой ветви равно $U$, ток в каждой ветви - просто закон Ома:

$$I_1 = \frac{U}{R_1}, \quad I_2 = \frac{U}{R_2}, \quad I_3 = \frac{U}{R_3}$$

Шаг 6. Проверка - первое правило Кирхгофа.

$$I_1 + I_2 + I_3 = I$$

Если сумма токов ветвей не равна суммарному току, где-то ошибка.

Рассчитать для своей задачи

Мощности и КПД источника

Зная токи, легко найти мощности. В каждой ветви:

$$P_k = I_k^2 R_k = \frac{U^2}{R_k} = I_k \cdot U$$

Все три формулы эквивалентны - берите ту, для которой уже известны значения. Мощность потерь на внутреннем сопротивлении:

$$P_r = I^2 r$$

Полная мощность, развиваемая источником:

$$P_{\text{ист}} = \varepsilon \cdot I = P_1 + P_2 + P_3 + P_r$$

КПД источника - доля мощности, которая идёт в нагрузку, а не в потери:

$$\eta = \frac{P_1 + P_2 + P_3}{P_{\text{ист}}} = \frac{R_{\text{пар}}}{r + R_{\text{пар}}}$$

Из этой формулы видно: чем меньше внутреннее сопротивление $r$ по сравнению с $R_{\text{пар}}$, тем выше КПД. При $r \to 0$ источник идеальный и $\eta = 1$.

Применение правил Кирхгофа к разветвлённой цепи

Правила Кирхгофа - универсальный метод, работающий для любой схемы, в том числе с несколькими источниками ЭДС в разных ветвях.

Первое правило (для узлов): сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих:

$$\sum I_{\text{вх}} = \sum I_{\text{вых}}$$

Второе правило (для контуров): алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на резисторах:

$$\sum \varepsilon_k = \sum I_k R_k$$

Для схемы с одним источником и тремя параллельными ветвями второе правило применяется к каждому «петлевому» контуру (например, ветвь R1 + внутреннее сопротивление). Все три контура дадут одно и то же уравнение $\varepsilon = I \cdot r + U$, поскольку напряжение на параллельном блоке одинаково.

Если в ветвях стоят собственные источники ЭДС, система уравнений усложняется: появляются разные уравнения для каждого контура. Их решают методом Крамера или подстановкой - тот же принцип, что описан в статье о правилах Кирхгофа для разветвлённых цепей.

Разбор типовой задачи

Условие: источник ЭДС $\varepsilon = 12$ В с внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом питает три параллельные ветви: $R_1 = 4$ Ом, $R_2 = 6$ Ом, $R_3 = 12$ Ом. Найти токи ветвей, напряжение на зажимах, мощности и КПД.

Решение:

Шаг 1 - параллельное сопротивление:

$$\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 2 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ $$R_{\text{пар}} = 2 \text{ Ом}$$

Шаг 2 - полное сопротивление:

$$R_{\text{полн}} = 1 + 2 = 3 \text{ Ом}$$

Шаг 3 - ток источника:

$$I = \frac{12}{3} = 4 \text{ А}$$

Шаг 4 - напряжение на зажимах:

$$U = 12 - 4 \cdot 1 = 8 \text{ В}$$

Шаг 5 - токи ветвей:

$$I_1 = \frac{8}{4} = 2 \text{ А}, \quad I_2 = \frac{8}{6} \approx 1{,}33 \text{ А}, \quad I_3 = \frac{8}{12} \approx 0{,}67 \text{ А}$$

Проверка: $2 + 1{,}33 + 0{,}67 = 4$ А = $I$. Верно.

Мощности: $P_1 = 2^2 \cdot 4 = 16$ Вт, $P_2 \approx 1{,}33^2 \cdot 6 \approx 10{,}67$ Вт, $P_3 \approx 0{,}67^2 \cdot 12 \approx 5{,}33$ Вт. Потери: $P_r = 4^2 \cdot 1 = 16$ Вт. КПД: $\eta = 32 / 48 \approx 67$ %.

Частые ошибки

• Путаница между параллельным и полным сопротивлением. $R_{\text{пар}}$ - только сопротивление ветвей; к нему нужно добавить $r$, чтобы получить $R_{\text{полн}}$ для расчёта тока источника. Если забыть $r$, ток и напряжение будут завышены.
• Напряжение вместо ЭДС в законе Ома для ветвей. Токи ветвей считаются через напряжение $U$ на зажимах (не через ЭДС $\varepsilon$). Использование $\varepsilon$ вместо $U$ даёт ошибочный результат, если $r \neq 0$.
• Игнорирование проверки по первому правилу Кирхгофа. Это бесплатная самопроверка: если $\sum I_k \neq I$, в расчёте есть ошибка.
• Неверный знак при двух источниках в контуре. Если в разных ветвях стоят источники ЭДС, нужно следить за знаком: ЭДС, направленная по обходу контура, берётся со знаком «плюс», навстречу - со знаком «минус».
• Неправильное применение формулы для двух параллельных резисторов к трём и более. Формула $R = R_1 R_2 / (R_1 + R_2)$ работает только для двух резисторов. Для трёх и более - только через сумму обратных сопротивлений.

FAQ

Почему ток в ветви с меньшим сопротивлением больше? При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково. По закону Ома $I = U/R$: чем меньше $R$, тем больше ток. Ветвь с меньшим сопротивлением «тянет» на себя больший ток - и поэтому выделяет в себе больше мощности.

Как изменится ток источника, если добавить ещё одну параллельную ветвь? Параллельное сопротивление уменьшится - ведь обратная величина складывается ещё с одним слагаемым. Следовательно, полное сопротивление цепи уменьшится, а ток источника $I = \varepsilon / R_{\text{полн}}$ увеличится. Именно поэтому включение дополнительной нагрузки в бытовую сеть увеличивает нагрузку на источник.

Что произойдёт, если одна из ветвей окажется короткозамкнутой? Если сопротивление ветви $R_k = 0$, то $1/R_k \to \infty$ и $R_{\text{пар}} \to 0$. Параллельное сопротивление обращается в ноль, ток источника ограничивается только внутренним сопротивлением $r$. На остальных ветвях напряжение $U = 0$, их токи тоже равны нулю. Весь ток течёт через замкнутую ветвь - это аварийный режим короткого замыкания.

Коротко

Расчёт разветвлённой цепи постоянного тока ведётся по шагам: найти параллельное сопротивление $R_{\text{пар}}$ через сумму обратных сопротивлений, добавить внутреннее сопротивление $r$, вычислить ток источника $I = \varepsilon / R_{\text{полн}}$ и напряжение на зажимах $U = \varepsilon - Ir$, после чего токи ветвей находятся как $I_k = U / R_k$. Проверка - первое правило Кирхгофа: сумма токов ветвей равна токуисточника. КПД источника зависит от соотношения $R_{\text{пар}} / (r + R_{\text{пар}})$: чем меньше внутреннее сопротивление, тем выше КПД.