Ранговая корреляция Спирмена: формула и расчёт

Ранговая корреляция Спирмена измеряет монотонную связь между двумя переменными, не требуя нормального распределения и работая даже с порядковыми шкалами. Это делает её незаменимым инструментом в задачах, где данные нельзя считать выборкой из генеральной совокупности с нормальным законом: анкетные оценки, рейтинги, результаты ранжирования экспертами. Метод предложил Чарльз Спирмен в 1904 году как ранговый аналог корреляции Пирсона, и с тех пор остаётся стандартом непараметрического анализа в психологии, педагогике и медицинских исследованиях. Чтобы сразу увидеть, как разности рангов связаны с итоговым коэффициентом, воспользуйтесь калькулятором ниже - он пересчитывает rs в реальном времени при изменении числа пар и степени монотонной связи.

Формула коэффициента Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле:

$$r_s = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2 - 1)},$$

где $d_i = \text{rank}(x_i) - \text{rank}(y_i)$ - разность рангов $i$-го объекта по двум переменным, $n$ - число пар наблюдений. Множитель 6 в числителе и выражение $n(n^2-1)$ в знаменателе получаются из более общей формулы Пирсона, применённой к рангам 1, 2, ..., n.

Область значений: $-1 \le r_s \le 1$.

• $r_s = 1$: полная прямая монотонная связь (порядок рангов X и Y совпадает).
• $r_s = -1$: полная обратная монотонная связь (ранги Y идут в обратном порядке относительно X).
• $r_s = 0$: монотонная связь отсутствует.

Важно: $r_s$ измеряет именно монотонность - насколько с ростом X тенденциозно растёт или убывает Y, - а не линейность. Поэтому на данных с нелинейной, но монотонной зависимостью Спирмен даст высокое значение, тогда как Пирсон - заниженное.

Рассчитать для своей задачи

Пошаговый расчёт: пример

Рассмотрим данные о баллах восьми студентов по математике и физике.

Шаг 1. Расставить ранги. Каждому значению присваивается ранг от 1 (наименьшее) до $n$ (наибольшее) внутри своей переменной. При совпадении значений (связанные ранги) всем им присваивается средний ранг.

Шаг 2. Вычислить сумму $\sum d_i^2$. В примере: $1+1+0+1+0+0+0+1 = 4$.

Шаг 3. Подставить в формулу:

$$r_s = 1 - \frac{6 \cdot 4}{8 \cdot (64 - 1)} = 1 - \frac{24}{504} \approx 1 - 0{,}048 = 0{,}952.$$

Рассчитать для своей задачи

Результат $r_s \approx 0{,}95$ говорит об очень сильной положительной монотонной связи: студенты, получающие высокие баллы по математике, в подавляющем большинстве имеют высокие баллы и по физике.

Связанные ранги: поправка к формуле

Если среди значений одной переменной есть повторяющиеся, их ранг заменяют средним из тех рангов, которые они бы получили по очереди. Например, три значения на местах 3, 4, 5 получают ранг $(3+4+5)/3 = 4$.

При большом числе связанных рангов стандартная формула даёт смещённую оценку. В этом случае применяется поправка Деулефё через дисперсии рангов:

$$r_s = \frac{\frac{n^3 - n}{6} - \sum d_i^2 - T_x - T_y}{2\sqrt{\left(\frac{n^3 - n}{6} - T_x\right)\left(\frac{n^3 - n}{6} - T_y\right)}},$$

где $T_x = \sum \frac{t_k(t_k^2 - 1)}{12}$ суммируется по всем группам связанных рангов $k$ с объёмом $t_k$. На практике, если связанных рангов меньше 20 % от $n$, поправкой пренебрегают.

Проверка значимости коэффициента

Вычисленный $r_s$ - выборочная оценка; вопрос, отличается ли она от нуля значимо, решается через $t$-критерий Стьюдента:

$$t = \frac{r_s \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r_s^2}}, \quad df = n - 2.$$

Если $|t| > t_{\text{кр}}(df, \alpha)$ по таблице Стьюдента для заданного уровня значимости $\alpha$, корреляция значима. Для примера выше: $t = 0{,}952 \cdot \sqrt{6} / \sqrt{1 - 0{,}906} \approx 7{,}6$ при $df = 6$. Критическое значение $t_{0{,}05}(6) = 2{,}447$, поэтому корреляция значима.

При $n < 20$ пользуются таблицей критических значений $r_s$, специально рассчитанных для малых выборок (таблица Зар или таблица Спирмена). Для $n = 8$ и $\alpha = 0{,}05$: $r_s^{\text{кр}} \approx 0{,}738$; наш $0{,}952 > 0{,}738$ - значит, связь значима.

Интерпретация по шкале Чеддока

Абсолютное значение $|r_s|$ интерпретируется по шкале силы связи:

| $|r_s|$ | Характер связи | |---------|----------------| | 0,10 - 0,29 | слабая | | 0,30 - 0,49 | умеренная | | 0,50 - 0,69 | заметная | | 0,70 - 0,89 | сильная | | 0,90 - 1,00 | очень сильная |

Знак при $r_s$ указывает направление: «+» - прямая зависимость (высокие X сочетаются с высокими Y), «-» - обратная.

Сравнение с корреляцией Пирсона

Корреляция Пирсона $r_{xy}$ измеряет линейную зависимость и требует нормальности распределения, непрерывности шкалы и отсутствия выбросов. Спирмен $r_s$ свободен от этих ограничений, поскольку работает с рангами - устойчивой к выбросам монотонной трансформацией.

Когда данные удовлетворяют требованиям Пирсона, $r_{xy}$ точнее ($r_s$ теряет часть информации при переходе к рангам). На ненормальных данных, порядковых шкалах или при наличии выбросов Спирмен предпочтительнее. Частный случай: если связь нелинейна, но монотонна, $r_s$ даёт более высокое значение, чем $r_{xy}$.

Рассчитать для своей задачи

Частые ошибки

• Ранжируют неверно при связанных рангах. Присваивают порядковые номера вместо средних рангов - это ломает симметрию формулы и даёт неверный $r_s$. Всегда проверяйте: сумма всех рангов должна равняться $n(n+1)/2$.
• Путают $n$ - число пар с числом переменных. В формуле $n$ - это именно количество объектов (строк в таблице), а не 2 переменные.
• Применяют формулу без поправки при многих совпадениях. Если связанных рангов много, $r_s$ без поправки Деулефё будет завышен.
• Интерпретируют как линейную связь. $r_s = 0{,}9$ не означает «y приблизительно равно x», а только что монотонная связь очень сильная.
• Забывают проверить значимость. При $n = 5$ даже $r_s = 0{,}85$ может оказаться статистически незначимым - критическое значение велико для малых выборок.

FAQ

Можно ли применять Спирмена к данным на интервальной шкале?

Да. Если данные на интервальной или отношений шкале, но нарушается нормальность (выбросы, скошенное распределение), Спирмен является предпочтительной заменой Пирсону. Единственное условие - монотонная зависимость и порядковая интерпретируемость переменных.

Что делать, если $r_s$ значим, но мал по абсолюту?

Статистическая значимость и практическая значимость - разные вещи. При большом $n$ даже $r_s = 0{,}15$ может оказаться значимым, но практически это слабая связь. Оценивайте и $p$-значение, и величину эффекта по шкале Чеддока.

Как вычислить Спирмена в Excel?

Excel не имеет встроенной функции, но расчёт легко автоматизировать: столбцы РАНГ.СР() для X и Y, затем разности, их квадраты, СУММ() и формула. Либо использовать функцию КОРРЕЛ() после ранжирования - она даст тот же результат, что формула Спирмена (без поправки на связанные ранги).

Коротко

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена $r_s$ вычисляется по формуле $1 - 6\sum d_i^2 / (n(n^2-1))$, где $d_i$ - разности рангов каждой пары. Он измеряет монотонную, а не обязательно линейную связь, устойчив к выбросам и не требует нормальности. Расчёт сводится к четырём шагам: присвоить ранги (с учётом связанных), найти разности, возвести в квадрат, подставить в формулу. Значимость проверяется через $t$-критерий Стьюдента при $df = n-2$. Результат интерпретируется по шкале Чеддока: $|r_s| \ge 0{,}7$ - сильная связь, $|r_s| \ge 0{,}9$ - очень сильная.