Преобразование Стилтьеса: определение и примеры

Преобразование Стилтьеса переводит функцию или меру, заданную на положительной полуоси, в аналитическую функцию комплексной переменной $z$, разрезанную вдоль отрицательной оси. Оно появляется там, где нужно восстановить распределение по его «сглаженному следу»: проблема моментов, спектральная теория самосопряжённых операторов, теория случайных матриц (там же его называют преобразованием Коши, или резольвентой). Формально это повторный Лаплас, но смотреть на него удобнее как на интеграл с ядром Коши $1/(x+z)$. Разберём строгое определение, классический пример со степенной функцией, формулу обращения Стилтьеса–Перрона и связь с соседними преобразованиями.

Ниже - интерактивный калькулятор: подвигайте параметр $z$ и посмотрите, как значение образа совпадает с замкнутой формулой, а ядро $1/(x+z)$ задаёт вес, с которым каждая точка плотности входит в интеграл.

Определение преобразования Стилтьеса

Преобразованием Стилтьеса функции $f(x)$, заданной при $x > 0$, называют интеграл

$$S\{f\}(z) = F(z) = \int_0^{\infty} \frac{f(x)}{x + z}\,dx,$$

где $z$ - комплексная переменная, не лежащая на луче $(-\infty, 0]$. Ядро здесь - простая дробь $1/(x+z)$, та самая, что стоит в интегральной формуле Коши, поэтому преобразование Стилтьеса часто называют преобразованием Коши меры $f(x)\,dx$.

В более общем виде интегрируют не функцию, а меру $d\mu(x)$:

$$S_\mu(z) = \int_0^{\infty} \frac{d\mu(x)}{x + z}.$$

Эта запись и объясняет имя: интеграл понимается в смысле Стилтьеса (Римана–Стилтьеса), поэтому годятся и плотности, и точечные массы. Образ $F(z)$ аналитичен всюду вне носителя меры: особенности (полюсы и разрез) собираются ровно там, где «живёт» $f$ или $\mu$.

Рассчитать для своей задачи

Образ степенной функции

Канонический пример, на котором стоит проверять все формулы, - преобразование Стилтьеса степенной функции $f(x) = x^{a-1}$ при $0 < a < 1$ (показатель ограничен, чтобы интеграл сходился и в нуле, и на бесконечности):

$$S\{x^{a-1}\}(z) = \int_0^{\infty} \frac{x^{a-1}}{x + z}\,dx = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}\, z^{a-1}.$$

Здесь $z > 0$, а ветвь $z^{a-1}$ берётся главная. Множитель $\pi/\sin(\pi a)$ - это значение бета-функции $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)$, в которое сворачивается интеграл. Частный случай $a = 1/2$ даёт особенно красивую формулу:

$$S\{x^{-1/2}\}(z) = \int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}\,(x + z)} = \frac{\pi}{\sqrt{z}}.$$

Именно эту замкнутую форму считает калькулятор выше: значение образа $\pi/\sqrt{z}$ совпадает с площадью под подынтегральной функцией $\frac{1}{\sqrt{x}\,(x+z)}$, и видно, как рост $z$ «придавливает» ядро и уменьшает образ.

Связь с преобразованием Лапласа

Преобразование Стилтьеса - не самостоятельный «чужак», а повторное преобразование Лапласа. Воспользуемся тождеством $\frac{1}{x+z} = \int_0^{\infty} e^{-(x+z)t}\,dt$, верным при $\Re(z) > 0$, и подставим его в определение:

$$\begin{aligned} F(z) &= \int_0^{\infty} f(x) \int_0^{\infty} e^{-(x+z)t}\,dt\,dx \\ &= \int_0^{\infty} e^{-z t} \left( \int_0^{\infty} e^{-x t} f(x)\,dx \right) dt \\ &= \int_0^{\infty} e^{-z t}\, \mathcal{L}\{f\}(t)\,dt = \mathcal{L}\{\mathcal{L}\{f\}\}(z). \end{aligned}$$

То есть Стилтьес - это преобразование Лапласа, применённое дважды: сначала к самой функции, потом к её лаплас-образу. Отсюда сразу следуют многие свойства: например, область аналитичности и поведение на бесконечности наследуются от Лапласа. С преобразованием Меллина связь ещё прямее - образ степенной функции выражается через ту же бета-функцию, потому что под интегралом сидит степенное ядро.

Формула обращения Стилтьеса-Перрона

Главный практический вопрос - как восстановить плотность по образу. Ответ даёт формула обращения Стилтьеса–Перрона: значение меры на отрицательной полуоси выражается через скачок мнимой части образа поперёк разреза. Если $F(z)$ аналитична вне $(-\infty, 0]$, то плотность в точке $x > 0$ восстанавливается как

$$f(x) = \frac{1}{2\pi i}\,\big[\, F(-x - i0) - F(-x + i0) \,\big] = \frac{1}{\pi}\,\Im\, F(-x - i 0).$$

Рассчитать для своей задачи

Смысл прост: на самом разрезе ядро $1/(x+z)$ обращается в бесконечность, и предельные значения образа сверху и снизу от разреза отличаются ровно на $2\pi i$, помноженное на плотность в этой точке (формулы Сохоцкого–Племеля). Поэтому мнимая часть граничного значения $F$ - это и есть плотность с точностью до множителя $1/\pi$. Этот приём лежит в основе восстановления спектральной плотности оператора по его резольвенте и плотности собственных значений случайной матрицы по её преобразованию Коши.

Аналитические свойства образа

Образ Стилтьеса - это не произвольная аналитическая функция, а функция Эрглотца–Неванлинны (для меры на положительной полуоси - с дополнительной монотонностью). Перечислим ключевые свойства, которые делают преобразование удобным инструментом:

• Аналитичность вне носителя. $F(z)$ голоморфна во всей плоскости с разрезом вдоль $(-\infty, 0]$; единственные особенности собраны на носителе меры.
• Знак мнимой части. Для положительной меры $\Im z$ и $\Im F(z)$ имеют противоположные знаки - это и есть свойство Неванлинны, гарантирующее, что обращение даёт неотрицательную плотность.
• Асимптотика на бесконечности. При $z \to \infty$ образ раскладывается в ряд по моментам: $F(z) \sim \sum_{k \ge 0} (-1)^k m_k / z^{k+1}$, где $m_k = \int x^k\,d\mu$. Это связывает Стилтьес с классической проблемой моментов.
• Монотонность на оси. На положительной действительной оси $F(z)$ строго убывает и положительна - отсюда удобство численного обращения.

Разложение по моментам показывает, почему преобразование Стилтьеса - естественный язык для проблемы моментов: восстановить меру по последовательности $m_0, m_1, m_2, \dots$ значит восстановить её образ как непрерывную дробь.

Где применяется преобразование Стилтьеса

Преобразование Стилтьеса - рабочий инструмент сразу нескольких разделов анализа и теории вероятностей:

• Проблема моментов. Гамбургерова и стилтьесова проблемы моментов формулируются и решаются через сходимость непрерывных дробей образа Стилтьеса; критерий определённости меры - это критерий на её образ.
• Спектральная теория. Резольвента $(A - z)^{-1}$ самосопряжённого оператора - это операторный аналог преобразования Стилтьеса спектральной меры; обращение Перрона восстанавливает спектральную плотность.
• Случайные матрицы. Преобразование Коши (Стилтьеса) эмпирической спектральной меры удовлетворяет самосогласованному уравнению; так выводят закон полукруга Вигнера и закон Марченко–Пастура.
• Аппроксимации Паде. Усечения непрерывной дроби образа дают наилучшие рациональные приближения - основа квадратур Гаусса и оценок интегралов.

Частые ошибки

• Забыть про условие сходимости. Образ $S\{x^{a-1}\}(z) = \pi z^{a-1}/\sin(\pi a)$ верен только при $0 < a < 1$. При $a \ge 1$ интеграл расходится на бесконечности, при $a \le 0$ - в нуле; формула держится лишь как аналитическое продолжение.
• Перепутать ядро со знаком. Классическое ядро Стилтьеса - $1/(x+z)$, а не $1/(x-z)$. Знак определяет, где идёт разрез ($(-\infty,0]$ против $[0,\infty)$); версия с минусом - это резольвентная форма из теории операторов, и путать их нельзя.
• Выбрать не ту ветвь при обращении. В формуле Перрона важна сторона разреза: $F(-x - i0)$ и $F(-x + i0)$ дают мнимые части противоположного знака. Берут граничное значение с одной стороны и не смешивают.
• Считать образ вещественным на разрезе. На самом разрезе $(-\infty,0]$ образ не определён как обычный интеграл; именно скачок мнимой части поперёк разреза несёт информацию о плотности.
• Игнорировать различие меры и плотности. Точечная масса даёт у образа простой полюс, а не разрез. Проблема моментов работает с мерами, и сводить всё к гладким плотностям нельзя.

FAQ

Чем преобразование Стилтьеса отличается от преобразования Лапласа? Лаплас интегрирует функцию с экспоненциальным ядром $e^{-xt}$ и переводит её в функцию параметра $t$. Стилтьес интегрирует с дробным ядром Коши $1/(x+z)$ и даёт аналитическую функцию с разрезом. При этом они связаны: Стилтьес - это в точности повторный Лаплас, $\mathcal{L}\{\mathcal{L}\{f\}\}$, поэтому свойства аналитичности и асимптотики наследуются.

Что такое формула обращения Стилтьеса-Перрона? Это способ восстановить меру по её образу: плотность в точке равна $\frac{1}{\pi}\Im F(-x - i0)$ - мнимой части граничного значения образа поперёк разреза. Она опирается на формулы Сохоцкого–Племеля и работает даже тогда, когда обычная обратная формула неприменима.

Почему преобразование Стилтьеса называют преобразованием Коши? Потому что ядро $1/(x+z)$ - то же самое, что в интегральной формуле Коши. В теории случайных матриц и комплексном анализе образ меры с этим ядром стандартно называют преобразованием Коши (или резольвентой), и это синоним преобразования Стилтьеса.

Коротко

Преобразование Стилтьеса $F(z) = \int_0^{\infty} \frac{f(x)}{x+z}\,dx$ переводит функцию или меру с положительной полуоси в аналитическую функцию $z$ с разрезом вдоль $(-\infty,0]$ и устроено вокруг ядра Коши. Канонический пример - образ степенной функции $x^{a-1}$, равный $\pi z^{a-1}/\sin(\pi a)$, а при $a=1/2$ - просто $\pi/\sqrt{z}$. Стилтьес - это повторный Лаплас, его асимптотика на бесконечности раскладывается по моментам, а формула обращения Стилтьеса–Перрона восстанавливает плотность через скачок мнимой части образа поперёк разреза. Отсюда его роль в проблеме моментов, спектральной теории и теории случайных матриц.