Постоянная Миллса: константа, печатающая простые

В 1947 году Уильям Миллс заметил удивительную вещь: существует такое вещественное число $A$, что выражение $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ при любом натуральном $n$ даёт простое число. Это число и назвали постоянной Миллса. Звучит как формула, которая «печатает» простые по требованию - но за красивым фасадом прячется хитрый круг, из-за которого практической пользы от неё почти нет. Ниже разберём, как устроена постоянная Миллса, посчитаем первые миллсовы простые в интерактивном калькуляторе и поймём, почему математики называют её «бесполезно красивой».

Что такое постоянная Миллса

Постоянная Миллса - это конкретное вещественное число, приближённо равное

$$A \approx 1{,}3063778838630806904686\ldots$$

Её определяющее свойство: для каждого целого $n \ge 1$ число

$$a_n = \left\lfloor A^{3^n} \right\rfloor$$

является простым. Здесь $\lfloor x \rfloor$ - целая часть (пол) числа $x$. То есть мы возводим $A$ в степень $3^n$, отбрасываем дробную часть - и гарантированно получаем простое. Никаких проверок на делимость, никакого решета: одна константа сразу даёт целое семейство простых чисел, которое называют миллсовыми простыми.

Важно сразу подчеркнуть: $A$ - не «магическое» число, которое кто-то угадал. Миллс доказал лишь, что такая константа существует, опираясь на тонкие свойства распределения простых. А вот её цифры вычисляют уже потом, отталкиваясь от самих простых чисел - и в этом весь подвох, к которому мы вернёмся.

Теорема Миллса 1947 года

Формально теорема Миллса звучит так: существует вещественная константа $A > 1$, для которой $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ простое при всех $n \in \mathbb{N}$. Доказательство опирается не на построение $A$ напрямую, а на результат Альберта Ингама о промежутках между соседними простыми.

Ингам показал, что для достаточно больших $N$ между $N^3$ и $(N+1)^3$ всегда найдётся хотя бы одно простое число. Это и есть рабочая лошадка доказательства: имея простое $p_n$, мы всегда можем найти следующее простое $p_{n+1}$ в интервале $(p_n^3,\ (p_n+1)^3)$. Получается цепочка простых, растущих примерно как кубы, и предел

$$A = \lim_{n \to \infty} p_n^{\,3^{-n}}$$

сходится к нужной константе. Показатель $3^{-n}$ как раз «гасит» кубический рост, оставляя в пределе фиксированное число чуть больше единицы.

Если вас интересует, как вообще устроены тонкие оценки распределения простых, посмотрите разбор числа Скьюза - там та же «кухня» логарифмического интеграла и промежутков между простыми, но с другого угла.

Первые миллсовы простые

Подставим $A \approx 1{,}30637788386\ldots$ в формулу и посчитаем по шагам:

$$\begin{aligned} a_1 &= \lfloor A^{3} \rfloor = 2, \\ a_2 &= \lfloor A^{9} \rfloor = 11, \\ a_3 &= \lfloor A^{27} \rfloor = 1361, \\ a_4 &= \lfloor A^{81} \rfloor = 2521008887. \end{aligned}$$

Все четыре - простые: 2, 11, 1361, 2521008887. Следующее, $a_5$, уже 29-значное: $16022236204009818131831320183$. А дальше выписать значения практически невозможно - и вот почему.

Рассчитать для своей задачи

Показатель $3^n$ на каждом шаге утраивается: 3, 9, 27, 81, 243, … Поскольку $A > 1$, само число $A^{3^n}$ растёт чудовищно быстро - приблизительно втрое увеличивается количество знаков за шаг. Если в $a_4$ десять цифр, то в $a_5$ их около тридцати, в $a_6$ - под сотню, и так далее. Калькулятор выше показывает этот рост в логарифмической шкале: иначе столбики просто не уместились бы на экране.

В чём подвох постоянной Миллса

Здесь и кроется главная ловушка. Чтобы вычислить $\lfloor A^{3^n} \rfloor$, нужно знать $A$ с очень высокой точностью - тем выше, чем больше $n$. Но единственный способ узнать цифры $A$ - это… взять уже известные миллсовы простые $p_n$ и вычислить $A = p_n^{\,3^{-n}}$.

Рассчитать для своей задачи

Получается замкнутый круг: формула не находит новые простые, а лишь воспроизводит те, что уже найдены другими методами. Постоянная Миллса не даёт ни одного простого, которое мы не знали бы заранее. Поэтому её ценность чисто теоретическая - это изящная демонстрация того, что «формула для простых» в принципе возможна, а не практический инструмент. Для реального поиска больших простых используют тесты вроде Миллера - Рабина и решёта, а не возведение константы в степень.

Миллсовы простые и их место в теории чисел

Стоит понимать, что постоянная Миллса - не изолированный курьёз, а часть большого сюжета о «формулах для простых чисел». Со времён Эйлера математики искали выражение, которое выдавало бы только простые: пробовали многочлены (например, знаменитый $n^2 + n + 41$, дающий простые для $n$ от 0 до 39), показательные конструкции, рекуррентные последовательности. Все они либо рано или поздно сбиваются, либо, как у Миллса, оказываются «самореферентными» - зависят от уже найденных простых.

Теорема Миллса ценна тем, что превращает качественный факт «простые встречаются достаточно часто» в конкретное замкнутое выражение $\lfloor A^{3^n} \rfloor$. Она показывает: плотность простых такова, что между близкими кубами всегда хватает простого, чтобы продолжить цепочку. В этом смысле постоянная Миллса - компактная упаковка глубокого результата о промежутках между простыми, а не отдельный трюк.

Существуют и обобщения: можно заменить куб на другую степень, если предположить более сильные оценки промежутков, и получить аналогичные «миллс-подобные» константы для меньшего показателя. Каждая из них так же упирается в свою гипотезу о распределении простых - поэтому семейство таких констант напрямую связано с открытыми вопросами теории чисел.

Известно ли значение A точно

Нет - и это ещё одна тонкость. Мы знаем сотни тысяч цифр постоянной Миллса, но все они вычислены в предположении, что гипотеза Римана верна (она гарантирует нужные промежутки между простыми и позволяет однозначно выбрать «минимальную» цепочку $p_n$). Без этого предположения мы даже не можем утверждать, что значение $A \approx 1{,}3063\ldots$ - то самое.

Более того, неизвестно, рационально ли $A$ или иррационально. Скорее всего, иррационально, но строгого доказательства нет. Так что постоянная Миллса - редкий пример константы, которую вычислили с огромной точностью, но о фундаментальных свойствах которой почти ничего не доказано.

Частые ошибки

• «Формула Миллса находит новые простые». Наоборот: чтобы её применить, простые уже надо знать - вычисление $A$ от них и зависит.
• Путают $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ с $\lfloor A^n \rfloor$. Показатель именно $3^n$ (тройка в степени), а не просто $n$. Без утроения теорема не работает.
• Считают, что $A$ известно «точно и безусловно». Все цифры получены при допущении гипотезы Римана; безусловно доказано лишь существование какой-то подходящей константы.
• Думают, что миллсовы простые идут подряд. Они растягиваются всё сильнее: $a_n$ растёт как $A^{3^n}$, между соседними - пропасть.
• Берут округление вместо пола. В формуле именно $\lfloor \cdot \rfloor$ (целая часть вниз), а не округление к ближайшему.

FAQ

Чему равна постоянная Миллса? Приближённо $A \approx 1{,}30637788386308069046\ldots$ Это наименьшее значение, дающее цепочку простых при допущении гипотезы Римана; известны сотни тысяч его цифр.

Почему в формуле стоит именно тройка в степени? Показатель $3^n$ следует из теоремы Ингама: между $N^3$ и $(N+1)^3$ для больших $N$ всегда есть простое. Это позволяет строить цепочку простых, растущих как кубы, и получить сходящийся предел.

Можно ли с её помощью найти большое простое число? Практически нет. Чтобы вычислить $\lfloor A^{3^n} \rfloor$, нужно знать $A$ с точностью, которую дают лишь сами уже известные миллсовы простые. Формула воспроизводит известное, а не открывает новое.

Коротко

Постоянная Миллса $A \approx 1{,}3063778838$ - это вещественное число, для которого $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ простое при всех $n$; первые миллсовы простые 2, 11, 1361, 2521008887. Теорема Миллса (1947) доказывает существование такой константы через оценку Ингама о промежутках между кубами. Но формула не ищет простые, а лишь воспроизводит уже известные, а её цифры вычислены в предположении гипотезы Римана - поэтому красота здесь чисто теоретическая.