Число Скьюза: когда li(x) уступит π(x)

До числа Скьюза логарифмический интеграл $\operatorname{li}(x)$ неизменно опережает счётную функцию простых чисел $\pi(x)$: на всём видимом нам горизонте $\operatorname{li}(x) > \pi(x)$. Это выглядит как непреложный факт, и многие математики XIX века были убеждены, что так будет всегда. Стэнли Скьюз в 1933 году первым доказал обратное - существует такое $x$, при котором знак разности $\operatorname{li}(x) - \pi(x)$ меняется, - и оценил его сверху числом, впоследствии названным числом Скьюза. Оно настолько велико, что Годфри Харди назвал его «самым большим числом, которое когда-либо служило математическому доказательству». Чтобы почувствовать, насколько загадочна эта «погоня», исследуйте калькулятор ниже: он покажет, насколько далеко $\operatorname{li}(x)$ убежало вперёд уже в диапазоне до 500 000.

Что такое счётная функция простых чисел

Счётная функция $\pi(x)$ - это просто количество простых чисел, не превышающих $x$. Например, $\pi(10) = 4$ (простые 2, 3, 5, 7), $\pi(100) = 25$, $\pi(1000) = 168$. Определение элементарно, но поведение $\pi(x)$ при больших $x$ оказывается одним из самых глубоких объектов математики.

В 1896 году Адамар и де ла Валле-Пуссен независимо доказали теорему о распределении простых чисел:

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} \quad (x \to \infty),$

то есть $\pi(x) / (x / \ln x) \to 1$. Это хорошее качественное утверждение, но количественно $x / \ln x$ уступает другой функции.

Логарифмический интеграл li(x) и почему он точнее

Логарифмический интеграл определяется как

$\operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}$

(несобственный интеграл со стандартным значением в нуле и единице; обычно в теории чисел берут $\operatorname{li}_2(x) = \int_2^x dt / \ln t$, начиная от двойки). На практике удобно использовать разложение:

$\operatorname{li}(x) \approx \frac{x}{\ln x}\!\left(1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{\ln^2 x} + \frac{6}{\ln^3 x} + \cdots\right),$

то есть $\operatorname{li}(x)$ - это $x / \ln x$ плюс систематические поправки. Это и объясняет, почему он точнее: Гаусс в 1849 году вычислял $\pi(x)$ вручную и обнаружил, что $\operatorname{li}(x)$ всегда даёт чуть большее значение, чем реальный счётчик простых.

Рассчитать для своей задачи

Теорема Литтлвуда: знак всё-таки меняется

В 1914 году Джон Эдензор Литтлвуд доказал поразительный результат: разность $\operatorname{li}(x) - \pi(x)$ меняет знак бесконечно много раз при $x \to \infty$. Это означает, что существует бесконечная последовательность $x_1 < x_2 < \cdots$, при которых $\pi(x_k) > \operatorname{li}(x_k)$. Впрочем, Литтлвуд лишь доказал существование таких $x$, не дав ни одного конкретного примера.

Доказательство опирается на явную формулу Римана для $\pi(x)$ через нули дзета-функции:

$\pi(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho:\,\zeta(\rho)=0} \operatorname{li}(x^\rho) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1)\ln t},$

где сумма берётся по нетривиальным нулям $\rho$ функции Римана $\zeta(s)$. Каждый нуль вносит осциллирующий вклад в разность, и суммарно эти вклады неизбежно приводят к знакопеременам.

Рассчитать для своей задачи

Первое число Скьюза: оценка 1933 года

Станислав Скьюз в 1933 году дал первую явную верхнюю границу для наименьшего $x$, при котором $\pi(x) \geq \operatorname{li}(x)$. Предполагая справедливость обобщённой гипотезы Римана (GRH), он получил:

$\operatorname{Sk}_1 = e^{e^{e^{79}}} \approx 10^{10^{10^{34}}}.$

Это «первое число Скьюза» - число, записанное в виде башни степеней. Его размер настолько непостижим, что не описывается экспоненциальной нотацией: $10^{34}$ в показателе степени само астрономически велико.

В 1955 году Скьюз избавился от предположения о GRH и получил безусловную оценку:

$\operatorname{Sk}_2 = e^{e^{e^{e^{7.705}}}} \approx 10^{10^{10^{964}}},$

которая ещё на несколько «этажей» выше первой.

Современные оценки: от башни к степени

Главный прорыв произошёл в 1987 году, когда Те Риле (Herman te Riele) доказал, что первое пересечение $\pi(x) = \operatorname{li}(x)$ происходит не позднее:

$x_0 \approx 6{,}658 \times 10^{370},$

причём в диапазоне $[1{,}398 \times 10^{316},\; 1{,}398 \times 10^{316} + 10^{301}]$ содержится по меньшей мере $10^{180}$ точек пересечения. «Башня» свалилась до обычной степени десятки - это был колоссальный прогресс.

В 2000 году Кадвелл уточнил оценку: первое пересечение лежит не позднее $\approx 1{,}397 \times 10^{316}$. В 2010 году Зегадло и Соузалид (Saouter, Demichel) нашли конкретный диапазон вблизи $x \approx 1{,}4 \times 10^{316}$, содержащий пересечения. Само по себе конкретное наименьшее $x$ до сих пор неизвестно.

Почему li(x) обгоняет на «видимом» горизонте

На первый взгляд кажется парадоксом: если $\operatorname{li}(x) - \pi(x)$ меняет знак бесконечно часто, почему мы никогда этого не видим в вычислениях? Ответ состоит из двух частей.

Во-первых, осциллирующие члены в формуле Римана, связанные с нулями $\zeta(s)$, растут очень медленно - порядка $x^{1/2} / \ln x$ (при условии GRH нули лежат на прямой $\Re s = 1/2$, что и определяет этот порядок). Основной вклад $\operatorname{li}(x)$ растёт как $x / \ln x$, поэтому осциллирующие поправки «доросли» до него лишь при совершенно непостижимых значениях $x$.

Во-вторых, все видимые нам $x$ (скажем, до $10^{25}$, где проверено, что $\operatorname{li}(x) > \pi(x)$) - это даже не пылинка по сравнению с $10^{316}$.

Частые ошибки

• Путать $\operatorname{li}(x)$ и $\ln(x)$. $\operatorname{li}(x)$ - это интеграл от $1/\ln t$, а не логарифм. $\ln x$ и вовсе растёт логарифмически, тогда как $\operatorname{li}(x) \sim x / \ln x$.
• Думать, что $\operatorname{li}(x) > \pi(x)$ - закон природы. Это лишь эмпирическое наблюдение в очень малом (по меркам теоремы Литтлвуда) диапазоне.
• Путать «число Скьюза» и «числа Скьюза»: их два - $\operatorname{Sk}_1$ (с GRH) и $\operatorname{Sk}_2$ (безусловное). Второе значительно больше первого.
• Считать, что теорема Литтлвуда строго доказывает $\pi(x) > \operatorname{li}(x)$. Она доказывает лишь бесконечность числа знакоперемен; конкретная точка первого пересечения - отдельная, открытая задача.
• Игнорировать разницу между $\operatorname{li}(x)$ и $\operatorname{Li}(x) = \int_2^x dt / \ln t$. В ряде источников $\operatorname{Li}(x)$ обозначает интеграл от двух (и совпадает с $\operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)$). Разница - константа $\operatorname{li}(2) \approx 1{,}045$.

FAQ

Что такое число Скьюза простыми словами? Это первое $x$, при котором счётная функция простых чисел $\pi(x)$ «догоняет» и превышает логарифмический интеграл $\operatorname{li}(x)$. До этого $x$ значение $\operatorname{li}(x)$ всегда немного больше $\pi(x)$, несмотря на то что оба приближают число простых до $x$.

Существует ли точное значение числа Скьюза? Нет. Известны лишь верхние оценки для наименьшего $x_0$, при котором $\pi(x_0) \geq \operatorname{li}(x_0)$. Современная оценка Те Риле даёт $x_0 \leq 1{,}397 \times 10^{316}$ (при GRH). Конкретное наименьшее значение до сих пор не вычислено - оно принципиально недостижимо для прямого перебора.

Связано ли число Скьюза с гипотезой Римана? Напрямую. Первоначальная оценка Скьюза ($e^{e^{e^{79}}}$) предполагала истинность обобщённой гипотезы Римана. «Безусловная» оценка Скьюза 1955 года ($e^{e^{e^{e^{7{,}705}}}}$) значительно хуже. Доказательство или опровержение гипотезы Римана напрямую улучшило бы оценку числа Скьюза.

Коротко

Число Скьюза - верхняя граница для наименьшего $x$, при котором логарифмический интеграл $\operatorname{li}(x)$ перестаёт опережать счётную функцию простых $\pi(x)$. На всём вычислительно доступном горизонте $\operatorname{li}(x) > \pi(x)$, однако Литтлвуд в 1914 году доказал, что знак разности меняется бесконечно часто. Скьюз в 1933 году оценил сверху первое пересечение башней $e^{e^{e^{79}}}$, а современные результаты опустили эту границу до вполне «обычного» $\approx 10^{316}$ - всё ещё фантастически огромного, но уже не «башенного» числа.