Парадокс двух конвертов: почему выгодно менять любой

Перед вами два одинаковых конверта. В одном лежит вдвое больше денег, чем в другом, но какой из них «толще» - неизвестно. Вы выбрали один, заглянули внутрь и увидели сумму $A$. Стоит ли поменять конверт на второй? Наивный расчёт ожидаемой ценности уверяет: менять выгодно всегда - а значит, и обратно, и снова, до бесконечности. Это и есть парадокс двух конвертов: безупречная на вид арифметика приводит к абсурду. Ниже разберём, где именно прячется ошибка, и соберём корректный байесовский ответ. Калькулятор ниже покажет, как «выигрыш 1,25A» рассыпается, стоит лишь задать честное априорное распределение.

Постановка задачи

Условие минимально и потому коварно. Есть два неразличимых конверта; в одном сумма $x$, в другом $2x$, причём само $x$ нам неизвестно. Мы наугад берём один конверт. Ведущий разрешает либо оставить выбранный, либо обменять на второй. Спрашивается: какая стратегия даёт больший ожидаемый выигрыш?

Интуиция подсказывает, что менять бессмысленно: оба конверта симметричны, мы не получили никакой новой информации. И эта интуиция верна. Проблема в том, что существует «доказательство» обратного, которое выглядит не менее убедительно.

Рассчитать для своей задачи

Соблазнительное рассуждение

Пусть в нашем конверте лежит сумма $A$. Рассуждаем так: с вероятностью одна вторая наш конверт - меньший, и тогда во втором лежит $2A$; с вероятностью одна вторая наш - больший, и во втором лежит $A/2$. Считаем ожидаемую ценность обмена:

$$\mathbb{E}[\text{другой}] = \frac{1}{2}\cdot 2A + \frac{1}{2}\cdot \frac{A}{2} = \frac{5A}{4} = 1{,}25\,A.$$

Получается, что после обмена мы в среднем выигрываем $0{,}25A$ - четверть содержимого. Значит, менять выгодно. Но точно так же можно было бы рассуждать и про второй конверт: открыв его и обозначив сумму за $A'$, мы снова получим $1{,}25A'$ в пользу обратного обмена. Стратегия «всегда меняй» загоняет нас в бесконечный цикл, где каждый шаг якобы прибылен. Это и есть логический парадокс: из верных, казалось бы, посылок следует абсурд.

Где спрятана ошибка

Ключевая подмена - в обозначении $A$. В формуле $\tfrac{1}{2}\cdot 2A + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{A}{2}$ символ $A$ играет сразу две несовместимые роли. В первом слагаемом $A$ - это меньшая из двух сумм (значит, во втором конверте $2A$). Во втором слагаемом $A$ - уже большая сумма (во втором конверте $A/2$). Это разные величины: в одном сценарии пара конвертов равна $(A, 2A)$, в другом - $(A/2, A)$. Складывать ожидания так, будто $A$ во всех слагаемых одно и то же число, - нельзя.

Корректная переменная - это меньшая сумма $x$. Если зафиксировать её, то пара всегда $(x, 2x)$, а наш выбранный конверт с равной вероятностью содержит $x$ или $2x$. Тогда ожидаемая ценность нашего конверта - $\tfrac{3x}{2}$, и ровно столько же даёт другой конверт: симметрия восстановлена, преимущества обмена нет.

Почему вероятности не равны 1/2

Тонкость глубже простой ошибки обозначений. Даже если честно открыть конверт и увидеть конкретное число $A$, наивный расчёт предполагает, что условные вероятности «я держу меньший» и «я держу больший» по-прежнему равны одной второй. Это верно только при особом - и невозможном - априорном распределении сумм.

Обозначим через $P(x)$ априорную вероятность того, что меньшая сумма равна $x$. Увидев в конверте число $A$, мы оказываемся в одной из двух ситуаций: либо меньшая сумма $x = A$ (наш конверт меньший), либо меньшая сумма $x = A/2$ (наш конверт больший, во втором лежит $A/2$). По формуле Байеса вероятность того, что наш конверт меньший:

$$P(\text{меньший} \mid A) = \frac{P(A)}{P(A) + P(A/2)}.$$

Эта дробь равна одной второй только если $P(A) = P(A/2)$ для всех $A$ - то есть распределение должно быть одинаковым на всех масштабах, от копеек до триллионов. Такого распределения вероятностей не существует: его интеграл был бы бесконечным. Любое реальное (нормируемое) распределение где-то убывает, и в этой зоне обмен уже невыгоден.

Рассчитать для своей задачи

Байесовское решение

Корректная стратегия зависит от того, что мы знаем о возможных суммах. Если у нас есть разумное априорное распределение $P(x)$ (а оно всегда есть - деньги ограничены сверху), то, увидев $A$, мы честно считаем ожидаемый выигрыш обмена:

$$\mathbb{E}[\text{обмен} \mid A] = P(\text{меньший}\mid A)\cdot 2A + P(\text{больший}\mid A)\cdot \frac{A}{2}.$$

При малых $A$ (где $P(A) \approx P(A/2)$, распределение ещё «плоское») обмен может быть слегка выгоден. Но при больших $A$, ближе к верхней границе сумм, вероятность $P(A/2)$ заметно превышает $P(A)$ - значит, наш конверт скорее больший, и менять не стоит. В среднем по всем возможным $A$ выигрыши и проигрыши точно компенсируются: безусловное ожидание обмена равно нулю, как и требует симметрия.

Иначе говоря, информация в наблюдаемом $A$ реальна, но она работает не так, как в наивном расчёте: большое $A$ - слабый сигнал, что вам уже достался больший конверт. Это роднит задачу с другими сюжетами теории принятия решений, где правильный ответ требует явной вероятностной модели, а не «голой» симметрии.

Вариант с закрытым конвертом

Особый случай - когда конверт не вскрывают и сумму $A$ не наблюдают. Тогда никакой информации нет вообще, и парадокс исчезает на корню: оба конверта обмениваемы по определению, ожидаемая ценность каждого одинакова. Формально мы сравниваем $\mathbb{E}[\text{наш}]$ и $\mathbb{E}[\text{второй}]$ без всякого условия - и обе равны $\tfrac{3}{2}\,\mathbb{E}[x]$.

Именно поэтому фраза «менять выгодно независимо от того, что в конверте» так подозрительна: если решение одинаково при любом $A$, то знание $A$ не нужно - а раз оно не нужно, ситуация полностью симметрична и обмен ничего не даёт. Это рассуждение «от противного» само по себе разоблачает парадокс ещё до всякой арифметики.

Частые ошибки

• Одна буква $A$ для двух разных сумм. Самая распространённая ловушка: в формуле $1{,}25A$ величина $A$ молча меняет смысл от слагаемого к слагаемому. Фиксируйте меньшую сумму $x$ - и парадокс исчезает.
• Предположение, что $P(\text{меньший}\mid A) = 1/2$. Это равенство требует невозможного равномерного распределения на всей положительной оси. Любое реальное распределение делает его ложным при больших $A$.
• Смешение закрытого и открытого вариантов. В закрытом варианте информации нет и обмен нейтрален; в открытом - нужна байесовская модель. Это разные задачи, а не одна.
• Игнорирование верхней границы сумм. В жизни деньги ограничены. Как только есть максимум, при суммах около него обмен заведомо невыгоден, и баланс сходится.
• Вывод о бесконечном обмене. Если каждый обмен «выгоден», бесконечная цепочка обменов должна давать бесконечный выигрыш - явный признак, что в посылке ошибка, а не в мире.

FAQ

Так менять конверт или нет? Если вы не видели сумму - без разницы, ожидаемые ценности равны. Если видели $A$ - ответ зависит от вашего априорного представления о возможных суммах: при «больших» $A$ менять, как правило, не стоит.

Почему же расчёт даёт 1,25A, если это неверно? Потому что в нём $A$ незаметно обозначает то меньшую, то большую сумму. Это не корректное условное ожидание, а сумма двух величин из разных сценариев, выданная за одно число.

Существует ли распределение, при котором менять всегда выгодно? Нет нормируемого распределения с этим свойством. Можно построить «несобственные» конструкции с бесконечным матожиданием, но они не описывают реальную лотерею с конечными деньгами.

Чем это похоже на другие вероятностные парадоксы? Как и парадокс Монти Холла, задача показывает: интуиция о вероятностях ненадёжна, пока не выписана явная модель того, как устроен случайный выбор и что именно мы наблюдаем.

Коротко

Парадокс двух конвертов - это не загадка про деньги, а демонстрация того, как небрежное обозначение и молчаливое допущение о равных вероятностях рождают абсурдный вывод «меняй всегда». Стоит зафиксировать меньшую сумму $x$ или выписать честное априорное распределение $P(x)$ - и симметрия возвращается: в закрытом варианте обмен нейтрален, в открытом им управляет байесовское обновление, а бесконечный обмен оказывается невозможным.