Коэффициент Джоуля-Томсона: формула и температура инверсии

Когда реальный газ медленно протекает через пористую перегородку или дроссель из области высокого давления в область низкого, его температура меняется. Это и есть эффект Джоуля-Томсона: процесс происходит при постоянной энтальпии, без теплообмена с окружающей средой и без внешней работы. Степень охлаждения (или нагрева) при единичном перепаде давления как раз и описывает коэффициент Джоуля-Томсона $\mu_{JT}$. Разберём формулу, физический смысл и практические следствия - а проверить расчёт сразу можно в калькуляторе ниже.

Что такое коэффициент Джоуля-Томсона

Дифференциальный коэффициент Джоуля-Томсона определяется как скорость изменения температуры с давлением при постоянной энтальпии:

$$\mu_{JT} = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_H.$$

Размерность - кельвин на паскаль (К/Па), на практике удобнее К/МПа. Знак $\mu_{JT}$ определяет, что происходит при расширении (падении давления):

• $\mu_{JT} > 0$: газ охлаждается - типичный случай для большинства газов при не слишком высокой температуре;
• $\mu_{JT} < 0$: газ нагревается - характерно для гелия и водорода при комнатной температуре, а также для любого газа выше его температуры инверсии;
• $\mu_{JT} = 0$: идеальный газ, а также реальный газ в точке инверсии.

Изменение температуры при конечном перепаде давления $\Delta P$ оценивается просто:

$$\Delta T \approx \mu_{JT} \cdot \Delta P.$$

Рассчитать для своей задачи

Формула через уравнение Ван-дер-Ваальса

Для идеального газа $\mu_{JT} = 0$ - никакого эффекта нет. Реальные межмолекулярные взаимодействия дают ненулевой коэффициент. Вывод строится из термодинамического тождества:

$$\mu_{JT} = \frac{1}{C_P}\left[T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V\right].$$

Для газа Ван-дер-Ваальса $(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$ в пределе низких давлений получается удобное приближение:

$$\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_P}\left(\frac{2a}{RT} - b\right),$$

где $a$ - константа притяжения молекул [Па·м$^6$/моль$^2$], $b$ - собственный объём молекул [м$^3$/моль], $C_P$ - молярная теплоёмкость при постоянном давлении [Дж/(моль·К)].

Физический смысл двух слагаемых ясен:

• $2a/(RT)$ - вклад межмолекулярного притяжения: при расширении молекулы отдаляются, трата энергии на преодоление притяжения охлаждает газ;
• $b$ - вклад собственного объёма молекул: при расширении молекулы получают больше свободного пространства, это эквивалентно «работе отталкивания», которая нагревает газ.

При низкой температуре первый член преобладает ($\mu_{JT} > 0$, охлаждение), при высокой - второй ($\mu_{JT} < 0$, нагрев).

Температура инверсии

Температура, при которой $\mu_{JT} = 0$ и знак меняется, называется температурой инверсии:

$$T_{\text{inv}} = \frac{2a}{Rb}.$$

Ниже $T_{\text{inv}}$ - газ охлаждается при дросселировании, выше - нагревается. Значения для распространённых газов:

Именно поэтому водород и гелий при комнатной температуре (300 К) находятся выше своей точки инверсии и при дросселировании нагреваются. Для сжижения этих газов сначала нужно охладить их до температуры ниже $T_{\text{inv}}$ иным способом.

Рассчитать для своей задачи

Применение в технике: сжижение газов

Промышленное сжижение воздуха основано на цикле Линде, который использует эффект Джоуля-Томсона. Сжатый воздух охлаждается в рекуперативном теплообменнике и дросселируется: небольшая часть конденсируется, а холодный несжиженный поток возвращается и доохлаждает следующую порцию сжатого газа. Итоговая температура - ниже температуры кипения кислорода ($-183\,°C$) и азота ($-196\,°C$).

Ключевой параметр цикла - именно $\mu_{JT}$: чем он больше по абсолютной величине, тем эффективнее охлаждение за одну ступень дросселирования. Для воздуха при давлении ~20 МПа и температуре 300 К $\mu_{JT} \approx 0{,}25$-$0{,}30$ К/МПа.

Цикл Линде работает в несколько стадий. На первом этапе компрессор сжимает воздух до 15-20 МПа, при этом воздух нагревается и его нужно охладить водой до комнатной температуры. Затем предварительно охлаждённый поток проходит через противоточный теплообменник, где уже охлаждённым обратным потоком снижается до значительно более низкой температуры. Далее следует дросселирование с перепадом давления порядка 15-19 МПа: часть воздуха сжижается и отводится, а оставшийся холодный газ идёт в обратный канал теплообменника, охлаждая следующую порцию. После многих циклов установившийся процесс даёт непрерывный поток жидкого воздуха.

Помимо промышленного применения, эффект Джоуля-Томсона используется в быстрых миниатюрных охладителях Джоуля-Томсона для инфракрасных детекторов: газ (например, аргон или смесь газов) дросселируется через тонкое сопло и мгновенно охлаждает детектор до 77-80 К за секунды, что критически важно для военных прицелов и медицинских тепловизоров.

Связь с уравнением состояния и отличие от адиабатного расширения

Эффект Джоуля-Томсона часто путают с адиабатным расширением. Разница принципиальная:

• Дросселирование (эффект Джоуля-Томсона): процесс изоэнтальпийный ($H = \text{const}$), газ не совершает полезной работы во внешней среде. Давление падает из-за вязкого трения в дросселе.
• Адиабатное расширение (поршень или турбина): энтропия постоянна ($S = \text{const}$), газ совершает работу и охлаждается сильнее. Для идеального газа $\Delta T = -(\gamma-1)/\gamma \cdot T \cdot \Delta P/P$.

Для идеального газа дросселирование даёт $\Delta T = 0$ независимо от давления; только реальные межмолекулярные силы приводят к температурному эффекту. Это прямое экспериментальное доказательство отклонения реального газа от идеального поведения.

Исторически именно опыт Джоуля-Томсона 1852-1854 годов стал первым строгим свидетельством того, что реальные газы отличаются от идеальных не только при очень высоких давлениях. Джеймс Джоуль и Уильям Томсон (лорд Кельвин) пропускали воздух, водород, азот и углекислый газ через пористую перегородку из шёлка и хлопка и измеряли температуру на обеих сторонах точными термометрами. Для воздуха и углекислого газа охлаждение было отчётливым, для водорода - слабым нагревом. Это наблюдение напрямую привело к введению поправок в уравнение состояния, которые Ван-дер-Ваальс впоследствии объединил в свою знаменитую формулу.

Частые ошибки

• Применение формулы к идеальному газу. Для идеального газа $a = b = 0$, поэтому $\mu_{JT} = 0$ - никакого эффекта нет. Формула $\mu_{JT} \approx (2a/RT - b)/C_P$ работает только для реальных газов с ненулевыми константами Ван-дер-Ваальса.
• Путаница знака dP. При расширении давление падает: $dP < 0$. Тогда $dT = \mu_{JT} \cdot dP$; если $\mu_{JT} > 0$, то $dT < 0$ - охлаждение. Неверный знак перепада давления переворачивает физику.
• Игнорирование температуры инверсии. Водород и гелий при комнатной температуре нагреваются при дросселировании - это не аномалия, а следствие нахождения выше $T_{\text{inv}}$.
• Отождествление с адиабатным расширением. Дросселирование - изоэнтальпийный, а не изоэнтропийный процесс; формулы разные и смешивать их нельзя.
• Использование $C_V$ вместо $C_P$. В знаменателе формулы стоит именно $C_P$ (теплоёмкость при постоянном давлении), потому что процесс идёт при постоянной энтальпии, связанной с $C_P$.

FAQ

Почему коэффициент Джоуля-Томсона равен нулю для идеального газа? Для идеального газа энтальпия зависит только от температуры: $H = H(T)$. При изоэнтальпийном дросселировании температура остаётся постоянной - $\mu_{JT} = 0$. Ненулевой эффект появляется только из-за реальных взаимодействий между молекулами, которых в идеальном газе нет по определению.

Как связаны температура инверсии и критическая температура? Для газа Ван-дер-Ваальса температура инверсии $T_{\text{inv}} = 2a/(Rb)$, а критическая температура $T_c = 8a/(27Rb)$. Отсюда $T_{\text{inv}} = 27/4 \cdot T_c \approx 6{,}75\,T_c$. Для реальных газов отношение несколько отличается из-за упрощений модели, но порядок сохраняется.

Как используется эффект Джоуля-Томсона в криогенике? В цикле Линде сжатый газ дросселируется ниже точки инверсии, частично конденсируется, и холодный несжиженный газ охлаждает следующую порцию через теплообменник. Итерации постепенно снижают температуру до точки кипения. Для водорода и гелия предварительное охлаждение ниже $T_{\text{inv}}$ обязательно - иначе цикл не работает.

Коротко

Коэффициент Джоуля-Томсона $\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H$ характеризует изменение температуры реального газа при изоэнтальпийном дросселировании. Для газа Ван-дер-Ваальса $\mu_{JT} \approx (2a/RT - b)/C_P$: ниже температуры инверсии $T_{\text{inv}} = 2a/(Rb)$ коэффициент положителен и газ охлаждается, выше - отрицателен и газ нагревается. Для идеального газа эффект равен нулю. На этом принципе работает промышленное сжижение воздуха в цикле Линде; водород и гелий требуют предварительного охлаждения ниже $T_{\text{inv}}$ - иначе дросселирование даёт не охлаждение, а нагрев.