Формулы тройного угла синуса и косинуса

Формулы тройного угла - это точные алгебраические выражения, позволяющие вычислить $\sin(3\alpha)$ и $\cos(3\alpha)$ только через $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ базового угла, без обращения к таблицам или компьютеру. Их знание экономит время при упрощении тригонометрических выражений, решении уравнений и доказательстве тождеств. Ниже разберём вывод каждой формулы шаг за шагом, выясним связь с полиномами Чебышёва и рассмотрим типичные случаи применения. Чтобы сразу увидеть, как меняются $\sin(3\alpha)$ и $\cos(3\alpha)$ при изменении угла, воспользуйся калькулятором:

Сами формулы

Две основные формулы тройного угла:

$$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$$ $$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$

Обе формулы симметричны по форме: правая часть - полином третьей степени от тригонометрической функции базового угла. Это не совпадение - именно такая структура возникает при последовательном применении формул сложения.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы для sin(3α)

Представим $3\alpha$ как сумму $2\alpha + \alpha$ и применим формулу синуса суммы:

$$\sin(3\alpha) = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin(2\alpha)\cos\alpha + \cos(2\alpha)\sin\alpha.$$

Подставим формулы двойного угла:

$$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha.$$

Тогда:

$$\sin(3\alpha) = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha)\sin\alpha.$$

Раскроем скобки:

$$\sin(3\alpha) = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha.$$

Заменим $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

$$\sin(3\alpha) = 2\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha = 2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha.$$

Итого:

$$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha.$$

Вся цепочка состоит из трёх шагов: формула сложения → формулы двойного угла → замена $\cos^2\alpha$ по основному тригонометрическому тождеству. Эту цепочку удобно воспроизвести по памяти на экзамене.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы для cos(3α)

Аналогично: $\cos(3\alpha) = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos(2\alpha)\cos\alpha - \sin(2\alpha)\sin\alpha$.

Подставим $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$$\cos(3\alpha) = (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha.$$

Раскроем:

$$\cos(3\alpha) = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha.$$

Заменим $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$$\cos(3\alpha) = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha)\cos\alpha = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha.$$

Сведём подобные:

$$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha.$$

Ключевой приём тот же: через формулу двойного угла для косинуса ($2\cos^2\alpha - 1$) и основное тождество ($\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$) всё сводится к полиному от $\cos\alpha$.

Связь с полиномами Чебышёва

Формулы тройного угла - частный случай полиномов Чебышёва первого рода $T_n(\cos\alpha) = \cos(n\alpha)$ и второго рода, связанного с $\sin(n\alpha)/\sin\alpha$. При $n = 3$:

$$T_3(x) = 4x^3 - 3x, \qquad x = \cos\alpha,$$

что в точности совпадает с формулой $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$. Для синуса:

$$\sin(3\alpha) = \sin\alpha \cdot U_2(\cos\alpha), \qquad U_2(x) = 4x^2 - 1,$$

где $U_2$ - полином Чебышёва второго рода. Раскрывая: $\sin\alpha(4\cos^2\alpha - 1) = 4\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin\alpha = 4\sin\alpha(1-\sin^2\alpha) - \sin\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. Это та же формула.

Полиномы Чебышёва важны в численных методах: они минимизируют максимальную погрешность при приближении функций и встречаются в теории фильтров Чебышёва (радиотехника), в алгоритмах быстрого вычисления тригонометрических функций и в задачах минимакса. Знание формул тройного угла в такой форме помогает распознать эти полиномы в задачах курса «Специальные функции» или «Численные методы».

Частные значения: проверка формул

Подставим несколько характерных углов, чтобы убедиться в правильности формул. Это полезно делать сразу после вывода - одно числовое несовпадение сигнализирует об ошибке в знаке или коэффициенте ещё до сдачи работы.

Угол 30° ($\sin 30° = 1/2$, $\cos 30° = \sqrt{3}/2$):

$$\sin(90°) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} - 4 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2} = 1. \checkmark$$ $$\cos(90°) = 4 \cdot \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{8} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = 0. \checkmark$$

Угол 60° ($\sin 60° = \sqrt{3}/2$, $\cos 60° = 1/2$):

$$\sin(180°) = 3 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{8} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = 0. \checkmark$$

Угол 45° ($\sin 45° = \cos 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$):

$$\sin(135°) = 3 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \tfrac{3\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}. \checkmark$$

Все три проверки подтверждают формулы. Заметим важную закономерность: при $\alpha = 60°$ получаем $\sin(180°) = 0$, то есть уравнение $3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = 0$ имеет решение $\alpha = 60°$. Это означает, что $\sin 60° = \sqrt{3}/2$ является корнем полинома $3x - 4x^3 = 0$, то есть выполняется $x(3 - 4x^2) = 0$. Аналогично для косинуса: $\cos(3 \cdot 30°) = \cos 90° = 0$ означает, что $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ является корнем $4x^3 - 3x = 0$, то есть $x(4x^2 - 3) = 0$. Такое «перекрёстное» использование формул позволяет находить точные значения синусов и косинусов нестандартных углов.

Применение формул в задачах

Упрощение выражений. Если в условии встречается комбинация вида $3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$, её можно мгновенно заменить на $\sin(3\alpha)$. Это особенно полезно при интегрировании:

$$\int(3\sin x - 4\sin^3 x)\,dx = \int\sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C.$$

Без формулы тройного угла пришлось бы интегрировать $\sin^3 x$ через понижение степени ($\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}$), а значит, всё равно свестись к той же формуле - только с обходным путём.

Решение уравнений. Уравнение $4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = 0$ по формуле тройного угла равносильно $\cos(3\alpha) = 0$, откуда $3\alpha = \pi/2 + \pi n$, то есть $\alpha = \pi/6 + \pi n/3$. Без формулы пришлось бы выносить $\cos\alpha$ за скобку и решать квадратное уравнение относительно $\cos\alpha$ - больше шагов, больше возможностей для ошибки.

Тождества кратных углов. Из формул тройного угла легко вывести полезные тождества:

$$\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}, \qquad \cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}.$$

Это стандартный приём понижения степени перед интегрированием. Например, $\int\sin^3 x\,dx = \int\frac{3\sin x - \sin 3x}{4}\,dx = -\tfrac{3}{4}\cos x + \tfrac{1}{12}\cos 3x + C$.

Признак кратности. Из формул следует: $\sin(3\alpha) = 0$ тогда и только тогда, когда $3\alpha = \pi n$, то есть $\alpha = \pi n/3$. Поэтому сумма $3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ обращается в нуль при $\alpha = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°$ - шести равномерно распределённых точках на окружности. Этот факт проявляется в теории правильного шестиугольника и в разложении Фурье периодических функций.

Частые ошибки

• Перепутать знаки в формуле для cosинуса. Студенты нередко пишут $\cos(3\alpha) = 3\cos\alpha - 4\cos^3\alpha$ по аналогии с формулой для синуса, но это неверно: у косинуса главный член $+4\cos^3\alpha$, а знак минус стоит перед $3\cos\alpha$.
• Использовать $\cos(2\alpha) = 1 - 2\cos^2\alpha$ вместо $2\cos^2\alpha - 1$. При выводе формулы для $\cos(3\alpha)$ нужна версия с $\cos$, а не с $\sin$; путаница в знаке сдвигает итог.
• Не заменять $\cos^2\alpha$ или $\sin^2\alpha$ до конца. После раскрытия скобок остаются «лишние» переменные; нужно довести замену до конца (основное тождество) иначе полином не упростится до нужной формы.
• Проверять только по числовому значению одного угла. Совпадение при $\alpha = 30°$ не гарантирует верность формулы: формула должна работать для всех $\alpha$. Выведи её аналитически или проверь не менее двух-трёх значений.
• Путать $\sin(3\alpha)$ и $3\sin\alpha$. Это разные функции: $3\sin\alpha$ - в три раза большая амплитуда, $\sin(3\alpha)$ - в три раза более частые колебания. На графике калькулятора выше хорошо видно это различие.

FAQ

Можно ли вывести формулы тройного угла не через формулу сложения?

Да. Второй способ - через комплексные числа: $e^{i3\alpha} = (e^{i\alpha})^3 = (\cos\alpha + i\sin\alpha)^3$. Раскрывая по биному, выделяем вещественную и мнимую части и сразу получаем оба тождества.

Как связаны формулы тройного угла с методом Виета решения кубических уравнений?

Кардано искал корни кубического уравнения $x^3 - px - q = 0$ через подстановку $x = 2\sqrt{p/3}\cos\theta$. После замены уравнение принимало вид $\cos(3\theta) = \text{const}$, что и решалось. Именно поэтому формула $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ позволяет аналитически решить часть кубических уравнений - в случае трёх вещественных корней («casus irreducibilis»).

Существуют ли аналогичные формулы для других кратных углов?

Да: для $n = 4$ уже четыре члена, для любого $n$ формула выражается через полином Чебышёва $T_n(\cos\alpha)$ или $U_{n-1}(\cos\alpha)$. Эти полиномы рекуррентно вычисляются по формуле $T_n = 2\cos\alpha \cdot T_{n-1} - T_{n-2}$, что позволяет строить формулы любого кратного угла без повторного вывода.

Коротко

Формулы тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ и $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ выводятся через формулу сложения и замену двойного угла за три шага. Обе являются полиномами Чебышёва третьей степени и применяются при упрощении выражений, решении уравнений и понижении степени перед интегрированием. Главные ошибки - неверный знак у ведущего члена $\cos(3\alpha)$ и неполная замена $\sin^2\alpha$ или $\cos^2\alpha$ через основное тождество.