Эндогенные и экзогенные переменные: система уравнений

В эконометрике связь между показателями редко бывает односторонней. Цена влияет на спрос, но и спрос давит на цену; доход определяет потребление, а потребление формирует доход. Когда переменные взаимно влияют друг на друга, одного уравнения недостаточно - нужна система. И тут первый шаг - правильно разделить переменные на эндогенные и экзогенные, иначе вся модель окажется построена неверно. Ниже разберём, чем они отличаются по сути, как распределить переменные в системе одновременных уравнений и зачем добавляют предопределённые и лаговые величины. Чтобы сразу примерить логику к своей задаче, воспользуйтесь разборщиком ниже.

Что такое эндогенные переменные

Эндогенная переменная (от греч. endon - внутри) - это переменная, значение которой определяется внутри модели. Она является результатом действия описанных в системе механизмов. В системе одновременных уравнений эндогенных переменных столько же, сколько уравнений: каждое уравнение «объясняет» одну из них.

Классический пример - рыночная модель с уравнением спроса и уравнением предложения. И равновесная цена $P$, и равновесный объём $Q$ определяются внутри системы их взаимодействием. Поэтому обе - эндогенные:

$Q^d = a_0 + a_1 P + a_2 Y + u_1$ $Q^s = b_0 + b_1 P + b_2 W + u_2$

Здесь $Q$ и $P$ - эндогенные: они формируются совместным решением двух уравнений. Главная особенность эндогенной переменной в том, что она коррелирует со случайным возмущением $u$. Именно из-за этой корреляции обычный МНК даёт смещённые и несостоятельные оценки, и приходится применять специальные методы.

Что такое экзогенные переменные

Экзогенная переменная (от греч. exo - снаружи) - переменная, значение которой задаётся извне модели. Система не объясняет, откуда она взялась: для модели это данность. Экзогенные переменные считаются независимыми от случайных возмущений и потому пригодны как инструменты при оценивании.

Рассчитать для своей задачи

В примере выше доход потребителей $Y$ и погодные условия $W$ (влияющие на урожай и предложение) - экзогенные. Модель не пытается объяснить, чем определён доход или погода: она берёт их как заданные и смотрит, как они сдвигают спрос и предложение. Признак экзогенной переменной - она влияет на эндогенные, но обратного влияния со стороны системы на неё нет. Связь односторонняя.

Граница между эндогенным и экзогенным не абсолютна, а определяется постановкой задачи. Доход в рыночной модели одного товара экзогенен, но в макромодели всей экономики он становится эндогенным - его объясняет уравнение потребления и инвестиций. Поэтому первый вопрос исследователя: что я объясняю, а что беру извне.

Как различить: ключевой признак

Чтобы отнести переменную к эндогенным или экзогенным, проверьте два условия. Эндогенная переменная (1) стоит в левой части хотя бы одного уравнения как объясняемая и (2) испытывает обратное влияние от других переменных системы. Экзогенная переменная (1) встречается только в правых частях и (2) не объясняется ни одним уравнением системы.

Рассчитать для своей задачи

Простое правило: если убрать уравнение, объясняющее переменную, и она «осиротеет» (её больше нечем определить), значит, она была эндогенной. Если переменная и так приходит готовой со стороны - она экзогенная. Похожая логика стоит за делением модели на структурную и приведённую форму: в приведённой форме каждая эндогенная переменная выражается только через экзогенные.

Предопределённые и лаговые переменные

Помимо двух базовых типов в системах вводят ещё две категории. Лаговые эндогенные переменные - это значения эндогенных переменных за прошлые периоды, например $Y_{t-1}$. В момент времени $t$ их значение уже известно и зафиксировано, поэтому оно не коррелирует с текущим возмущением $u_t$.

Объединение текущих экзогенных и лаговых эндогенных даёт класс предопределённых переменных:

$\text{Предопределённые} = \text{экзогенные}_t + \text{лаговые эндогенные}_{t-1, t-2, \dots}$

Именно предопределённые переменные играют роль инструментов в двухшаговом методе наименьших квадратов и используются в условии идентификации. С точки зрения оценивания они ведут себя как экзогенные: их можно считать независимыми от текущей ошибки. Поэтому в большинстве учебников счётное правило идентификации формулируют именно через число предопределённых переменных, а не «чистых» экзогенных.

Зачем это нужно: проблема одновременности

Главная причина всей этой классификации - смещение из-за одновременности (simultaneity bias). Если применить обычный МНК к уравнению спроса напрямую, оценка коэффициента при цене окажется смещённой: цена $P$ эндогенна и коррелирует с возмущением $u_1$. МНК ошибочно «припишет» цене часть влияния, идущего на самом деле от ошибки.

Решение - заменить эндогенный регрессор его прогнозом по предопределённым переменным. На этом построен двухшаговый метод наименьших квадратов: сначала каждую эндогенную переменную из правой части регрессируют на все предопределённые, затем подставляют полученные «очищенные» значения. Так разрывается корреляция регрессора с ошибкой и оценки становятся состоятельными.

Подсчёт переменных в системе

Перед оцениванием полезно составить полный список переменных и отнести каждую к своему типу. Для системы из $G$ уравнений число эндогенных переменных равно $G$. Обозначим число предопределённых переменных во всей системе как $K$. Эти два числа входят в условие идентификации уравнения.

Счётное (порядковое) условие идентификации отдельного уравнения: уравнение идентифицируемо, если число исключённых из него предопределённых переменных не меньше числа эндогенных переменных в его правой части. Формально, для уравнения с $k$ включёнными предопределёнными и $m$ эндогенными в правой части:

$K - k \geq m - 1$

Если условие выполнено строго ($>$) - уравнение сверхидентифицируемо, если как равенство - точно идентифицируемо, если нарушено - неидентифицируемо и оценить его нельзя. Правильное разделение переменных на эндогенные и предопределённые - необходимый первый шаг этой проверки.

Пример распределения переменных

Возьмём упрощённую кейнсианскую модель с двумя уравнениями:

$C_t = \alpha_0 + \alpha_1 Y_t + \alpha_2 C_{t-1} + u_t$ $Y_t = C_t + I_t$

Разберём переменные. Потребление $C_t$ - эндогенное: его объясняет первое уравнение, и оно же входит в тождество дохода. Доход $Y_t$ - эндогенный: он определяется вторым уравнением и влияет на потребление. Инвестиции $I_t$ - экзогенные: модель их не объясняет, они приходят извне. Лаговое потребление $C_{t-1}$ - предопределённое: значение прошлого периода уже известно. Итого: эндогенных две ($C_t$, $Y_t$), экзогенная одна ($I_t$), предопределённых тоже две ($I_t$ и $C_{t-1}$).

Частые ошибки

• Путают эндогенность с зависимой переменной. Не всякая переменная в левой части эндогенна для системы: тождество дохода тоже имеет левую часть, но классифицируют по сути взаимосвязей, а не по позиции в одном уравнении.
• Считают лаговую эндогенную переменную эндогенной. $Y_{t-1}$ предопределена: её значение зафиксировано в прошлом и не коррелирует с текущей ошибкой. Это меняет всё при идентификации.
• Применяют обычный МНК к структурному уравнению. Если справа стоит эндогенная переменная, МНК даёт смещение из-за одновременности. Нужны 2МНК или инструментальные переменные.
• Считают деление абсолютным. Одна и та же переменная (доход, цена) бывает экзогенной в одной модели и эндогенной в другой. Тип определяется постановкой задачи, а не названием.
• Забывают экзогенную переменную при идентификации. Пропущенная предопределённая переменная искажает подсчёт $K$ и ведёт к неверному выводу об идентифицируемости.

FAQ

Может ли одна переменная быть и эндогенной, и экзогенной? В рамках одной системы - нет, она относится к одному типу. Но в разных моделях статус меняется: доход экзогенен в модели рынка одного товара и эндогенен в макромодели. Решает постановка задачи, что объясняется внутри, а что берётся извне.

Чем экзогенная переменная отличается от предопределённой? Экзогенная - задаётся извне в текущем периоде. Предопределённая шире: это экзогенные плюс лаговые эндогенные (их прошлые значения уже известны). При оценивании предопределённые ведут себя как экзогенные - не коррелируют с текущей ошибкой.

Почему нельзя оценить систему обычным МНК? Потому что эндогенный регрессор коррелирует со случайным возмущением, и МНК даёт смещённые, несостоятельные оценки. Это смещение одновременности. Его устраняют, заменяя эндогенный регрессор прогнозом по предопределённым переменным - в этом суть двухшагового МНК.

Коротко

Эндогенные переменные определяются внутри системы уравнений (их столько же, сколько уравнений) и коррелируют со случайным возмущением; экзогенные задаются извне и независимы от ошибок. Лаговые эндогенные переменные вместе с текущими экзогенными образуют класс предопределённых - они ведут себя как экзогенные и служат инструментами при оценивании. Правильное разделение переменных - необходимый первый шаг: от него зависит проверка идентификации уравнения и выбор метода оценивания. Обычный МНК работает, только пока справа нет эндогенных регрессоров; иначе нужны двухшаговый МНК и инструментальные переменные.