Структурная и приведённая форма модели в эконометрике

Когда в экономической модели несколько переменных влияют друг на друга одновременно (спрос задаёт цену, а цена задаёт спрос), одно уравнение регрессии уже не описывает систему честно. Тогда экономист записывает несколько уравнений сразу, и у этой записи есть две формы: структурная и приведённая. Структурная форма модели отражает теорию (кто на кого влияет), приведённая форма решает ту же систему относительно зависимых переменных и удобна для расчётов. Разобраться, чем они отличаются и как переходить от одной к другой, проще на конкретной системе из двух уравнений, а tool ниже соберёт под вашу задачу точный запрос с нужными переменными.

Что такое система одновременных уравнений

В классической парной регрессии есть односторонняя зависимость: $y$ объясняется через $x$, и предполагается, что $x$ не зависит от $y$. В экономике это часто нарушается. Цена и объём продаж определяются рынком вместе; потребление зависит от дохода, но и доход страны зависит от потребления. Такие связи описывают системой одновременных (взаимозависимых) уравнений, где одни и те же переменные оказываются и слева, и справа от знака равенства в разных уравнениях.

Рассчитать для своей задачи

Переменные в такой системе делятся на два класса. Эндогенные ($y_1, y_2, \dots$) определяются внутри модели, их значения объясняет сама система. Экзогенные (предопределённые) переменные ($x_1, x_2, \dots$) задаются извне и считаются независимыми от случайных ошибок: это, например, погода, налоговая ставка, лаговые значения. Это деление и есть ключ ко всему дальнейшему разговору о структурной и приведённой форме.

Структурная форма модели

Структурная форма записывает модель так, как её диктует экономическая теория: в каждом уравнении эндогенная переменная объясняется через другие эндогенные и экзогенные переменные. Для системы из двух уравнений это выглядит так:

$$\begin{aligned} y_1 &= \beta_{12} y_2 + \gamma_{11} x_1 + \gamma_{12} x_2 + \varepsilon_1, \\ y_2 &= \beta_{21} y_1 + \gamma_{21} x_1 + \gamma_{22} x_2 + \varepsilon_2. \end{aligned}$$

Коэффициенты $\beta$ при эндогенных переменных и $\gamma$ при экзогенных называются структурными параметрами: именно они имеют содержательный смысл (эластичность спроса, предельная склонность к потреблению). Главная особенность и одновременно проблема структурной формы в том, что в правой части стоят эндогенные переменные ($y_2$ в первом уравнении, $y_1$ во втором). А эндогенная переменная коррелирует со случайной ошибкой того же уравнения, ведь они оба порождаются системой совместно.

Приведённая форма модели

Приведённая форма получается, если разрешить систему структурных уравнений относительно эндогенных переменных: выразить каждую $y$ только через экзогенные переменные и ошибки. Для нашей системы это даёт:

$$\begin{aligned} y_1 &= \pi_{11} x_1 + \pi_{12} x_2 + v_1, \\ y_2 &= \pi_{21} x_1 + \pi_{22} x_2 + v_2. \end{aligned}$$

Коэффициенты $\pi$ называются приведёнными параметрами, а $v_1, v_2$ - приведёнными ошибками. Важно, что в правой части теперь стоят только экзогенные переменные, которые не коррелируют с ошибками. Поэтому каждое уравнение приведённой формы можно оценивать обычным МНК и получать состоятельные оценки $\pi$. Приведённая форма отвечает на прямой прогнозный вопрос: как изменится $y_1$ при изменении экзогенного $x_1$ с учётом всех обратных связей системы.

Как перейти от структурной формы к приведённой

Переход - это чистая алгебра: подставляем одно структурное уравнение в другое и собираем эндогенную переменную в левой части. Возьмём первое уравнение и подставим в него $y_2$ из второго. После раскрытия скобок и приведения подобных получим $y_1$, выраженный только через $x_1, x_2$ и ошибки. Приведённые коэффициенты оказываются функциями структурных. Например, для упрощённой системы связь имеет вид

$$\pi_{11} = \frac{\gamma_{11} + \beta_{12}\gamma_{21}}{1 - \beta_{12}\beta_{21}}.$$

Рассчитать для своей задачи

Ключевая мысль: переход от структурной к приведённой форме всегда возможен и однозначен (если знаменатель $1 - \beta_{12}\beta_{21} \neq 0$). А вот обратный путь - восстановить структурные $\beta$ и $\gamma$ из оценённых $\pi$ - возможен не всегда. Именно это и называется проблемой идентификации.

Удобно держать в голове и матричную запись. Если собрать эндогенные переменные в вектор $Y$, экзогенные - в вектор $X$, а структурные коэффициенты - в матрицы $B$ (при эндогенных) и $\Gamma$ (при экзогенных), структурная форма записывается компактно как $BY = \Gamma X + \varepsilon$. Умножив обе части слева на $B^{-1}$, получаем приведённую форму $Y = \Pi X + v$, где матрица приведённых коэффициентов $\Pi = B^{-1}\Gamma$, а приведённая ошибка $v = B^{-1}\varepsilon$. Эта запись сразу объясняет, почему прямой переход требует обратимости матрицы $B$, и почему один приведённый коэффициент $\pi$ оказывается сложной комбинацией нескольких структурных параметров: каждый элемент произведения $B^{-1}\Gamma$ перемешивает строки и столбцы.

Зачем нужны обе формы: идентификация

Раз приведённую форму легко оценить состоятельно, возникает план: оценить $\pi$ обычным МНК, а затем по формулам связи восстановить структурные параметры. Это косвенный МНК. Но восстановить структурные коэффициенты из приведённых удаётся, только если уравнение идентифицируемо. Возможны три случая:

• Точно идентифицируемо - структурные параметры восстанавливаются из приведённых единственным образом. Работает косвенный МНК.
• Сверхидентифицируемо - приведённых коэффициентов больше, чем нужно, оценки структурных параметров не единственны. Применяют двухшаговый метод наименьших квадратов.
• Неидентифицируемо - структурные параметры восстановить нельзя, и никакой метод не поможет без дополнительных ограничений на модель.

Грубое необходимое условие идентификации уравнения - порядковое (счётное): число исключённых из уравнения экзогенных переменных должно быть не меньше числа эндогенных переменных в правой части минус один. Если обозначить $H$ - число эндогенных переменных в уравнении, а $D$ - число предопределённых переменных всей модели, исключённых из этого уравнения, то порядковое условие записывается как $D \geq H - 1$. При $D = H - 1$ уравнение точно идентифицируемо, при $D > H - 1$ - сверхидентифицируемо. Порядковое условие необходимо, но не достаточно; строгую проверку даёт ранговое условие на матрицу коэффициентов. Подробно техника оценки сверхидентифицированных систем разобрана в материале про двухшаговый метод наименьших квадратов - он как раз вырастает из связки структурной и приведённой форм.

Логика выбора метода такая. Сначала каждое уравнение системы проверяют на идентифицируемость. Для точно идентифицируемых уравнений работает косвенный МНК: оцениваем приведённую форму обычным МНК, а затем единственным образом пересчитываем структурные коэффициенты по формулам связи $\Pi = B^{-1}\Gamma$. Для сверхидентифицируемых уравнений приведённых коэффициентов больше, чем структурных, и однозначного обратного пересчёта нет - тогда применяют двухшаговый МНК, который на первом шаге заменяет проблемный эндогенный регрессор его прогнозом по экзогенным переменным, а на втором оценивает структурное уравнение уже без корреляции с ошибкой.

Частые ошибки

• Оценивать структурное уравнение обычным МНК напрямую. Эндогенный регрессор коррелирует с ошибкой, оценки выходят смещёнными. Сначала идентификация, потом косвенный или двухшаговый МНК.
• Путать эндогенные и экзогенные переменные. От этого деления зависит вся форма системы. Лаговая эндогенная переменная обычно считается предопределённой (экзогенной).
• Считать, что приведённую форму всегда можно обратить в структурную. Обратный переход требует идентифицируемости, прямой - нет.
• Терять обозначения коэффициентов. Структурные $\beta, \gamma$ и приведённые $\pi$ - это разные параметры; смешивать их в выкладках нельзя.
• Игнорировать знаменатель $1 - \beta_{12}\beta_{21}$. Если он равен нулю, система не имеет решения относительно эндогенных переменных и приведённая форма не существует.

FAQ

Можно ли всегда перейти от структурной формы к приведённой? Да, прямой переход возможен и однозначен, если система разрешима относительно эндогенных переменных (определитель матрицы при них не равен нулю). Это просто алгебраическое преобразование, ограничений на параметры оно не требует.

Чем приведённая форма лучше структурной для прогноза? В приведённой форме каждая эндогенная переменная выражена только через экзогенные, не коррелирующие с ошибкой. Поэтому её коэффициенты оцениваются состоятельно обычным МНК, и прогноз учитывает все обратные связи системы сразу.

Зачем тогда вообще нужна структурная форма? Только структурные коэффициенты имеют экономический смысл (эластичности, склонности, мультипликаторы) и отражают причинные связи теории. Приведённая форма смешивает их в комбинации $\pi$, по которым отдельный механизм уже не виден.

Коротко

Структурная форма модели записывает систему так, как её задаёт экономическая теория: эндогенные переменные объясняются через другие эндогенные и экзогенные, а структурные коэффициенты несут содержательный смысл. Приведённая форма выражает каждую эндогенную переменную только через экзогенные и оценивается обычным МНК. Прямой переход от структурной к приведённой форме - это алгебра и он всегда возможен; обратное восстановление структурных параметров зависит от идентифицируемости уравнения и приводит к косвенному или двухшаговому МНК.